Федеральное агентство по образованию
Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет
Кафедра Телекоммуникационные Системы

	Кафедра ТС

Курсовая работа по
Электромагнитным полям и волнам

Расчёт параметров электромагнитного поля
(Вариант 1)

	Выполнил:
	студент группы МКС-315,
	Абзалов А. В.
	Проверил:
	преподаватель
	Зуев О. О.

Уфа – 2006

Содержание
Содержание
1. Часть 1
Исходные данные и задания
1. Расчёт ёмкости системы и нахождение фиктивного заряда
2. Построение графиков распределения напряжённости электрического поля и потенциала в плоскости KF
3. Расчёт и построение векторов электрической напряжённости, индукции и поляризации в точке М
4. Построение эквипотенциали с потенциалом, равным 0,25U
5. Построение графика распределения плотности заряда по цилиндрической поверхности R1
2. Часть 2
Исходные данные и задания
1. Определение плотности тока и напряженности магнитного поля внутри проводника.
2. Построение графиков зависимости модуля плотности тока и напряженности магнитного поля от расстояния r от оси провода.
3. Часть 3
Исходные данные и задания
2. Запись выражения для мгновенных значений векторов напряженности электрического и магнитного полей в точках A и B.
Вывод

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

2

КУРСОВАЯ РАБОТА

1. Часть 1
Исходные данные и задания
Две металлические трубы радиусов R1=6 мм и R2=2,5 мм находятся в среде относитель
Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

3

КУРСОВАЯ РАБОТА

ной диэлектрической проницаемостью =4,5 на расстоянии между центрами сечений d=16 мм, приложенное напряжение U=500 B (см. рис. 1.1).

Рисунок 1.1. Исходная схема № 3 двух проводников
Рассчитать ёмкость системы на единицу длины. Найти фиктивный заряд и его геометрическое расположение.
1.	Рассчитать и построить графики распределения напряжённости электрического поля и потенциала в плоскости KF.
2.	Рассчитать и построить векторы электрической индукции, напряжённости и поляризации в точке М.
3.	Провести эквипотенциаль с потенциалом, равным 0,25U, где U – приложенное напряжение.
4.	Рассчитать и построить график распределения плотности заряда по цилиндрической поверхности R1.
1. Расчёт ёмкости системы и нахождение фиктивного заряда
Потенциал поля в точке, расположенной на расстоянии r от заряженной оси равен:
	, [В]	(1.1)
где τ – линейная плотность заряда.
Пусть начало координат лежит на середине отрезка, соединяющего фиктивные заряженные оси.

Рисунок 1.2. Сечения проводников в декартовой системе координат
Потенциал поля нескольких заряженных осей определяется алгебраической суммой потенциалов, создаваемых каждой осью в отдельности. Если две оси имеют одинаковую по модулю плотность зарядов, противоположных по знаку, то
	, [В]	(1.2)
Если принять за 0 потенциал начала координат, то нетрудно показать, что в выражении (1) C будет равно 0, т. е.
	. [В]	(1.3)
Отсюда определим потенциалы точек 1, 2, 3 и 4 (см. рис. 1.2):

S1, S2 и a можно определить, исходя из того, что цилиндрические поверхности R1 и R2 проводников являются эквипотенциалями, т. е. φ1=φ2, φ
Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

4

КУРСОВАЯ РАБОТА

3=φ4, и S1+S2=d.
Полученная система уравнений
 или 
позволяет определить следующие значения S1=8,9296875 мм=8,9296875*10–3 м, S2=7,0703125 мм=7,0703125*10–3 м, a=6,613570809 мм=6,613570809*10–3 м.
Ёмкость системы на единицу длины определяется по формуле C=τ/U, где U – разность потенциалов между металлическими трубами, т. е. между двумя любыми точками на поверхности каждого из проводников, например, между точками 1 и 3. Тогда ёмкость системы на единицу длины вычисляется:

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

5

КУРСОВАЯ РАБОТА

Линейная плотность заряда τ=C0U=94,2757451746*10–12*500=
=4,7137872587*10–8 Кл/м.
2. Построение графиков распределения напряжённости электрического поля и потенциала в плоскости KF
Если за начало координат взять середину отрезка, соединяющего фиктивные заряженные оси, то зависимость потенциала φ от координаты x будет иметь вид:
	, [В]	(1.4)

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

6

КУРСОВАЯ РАБОТА

Рисунок 1.3. График распределения потенциала электрического поля в плоскости KF
Напряжённость поля бесконечной заряженной оси определяется по формуле:
	 [В/м]	(1.5)
Напряжённость нескольких заряженных бесконечных осей определяется по принципу наложения (суперпозиции): 
Если за положительное направление принять направление оси 0x, тогда зависимость напряжённости поля от координаты x будет иметь вид:
	, [В/м]	(1.6)

Рисунок 1.4. График распределения напряжённости электрического поля в плоскости KF
3. Расчёт и построение векторов электрической напряжённости, индукции и поляризации в точке М
Векторы электрической напряжённости, индукции и поляризации в однородной изотропной среде связаны между собой соотношениями: , . Отсюда видно, что вектора ,  и  сонаправлены.
Для определения вектора  в точке M его необходимо представить в виде , где  – проекция  на 0x,  – проекция  на 0y. Но из граничных условий металл-диэлектрик следует, что тангенциальная составляющая  равна 0, т. е. .
Вектор электрической напряжённости  равен:

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

7

КУРСОВАЯ РАБОТА

где  и 
Вектор электрической индукции  равен:

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

8

КУРСОВАЯ РАБОТА

=8,854187818*10–12*4,5**2,3274398509*104=
=*9,2734153086*10–7 Кл/м2.
Вектор электрической поляризации  равен:
*9,2734153086*10–7–8,854187818*10–12*
*2,3274398509*104=*7,2126563511*10–6 Кл/м2.
На рисунке 1.5 изображены вектор  электрической напряжённости , вектор электрической индукции  и вектор электрической поляризации , которые одинаково направлены, но их масштабы построения различны.
Примечание: при выполнении задания 3 учитывалось, что толщина стенок трубок незначительная, а точка М лежит в среде диэлектрика.

Рисунок 1.5. Изображение векторов ,  и 
4. Построение эквипотенциали с потенциалом, равным 0,25U
Пусть начало координат лежит на середине отрезка, соединяющего фиктивные заряженные оси. Эквипотенциаль с потенциалом, равным 0,25U, представляет собой окружность (см. рис. 1.6), центр которой лежит на оси 0x (система симметрична относительно оси 0x).

Рисунок 1.6. Изображение эквипотенциали
Это значит, что эквипотенциаль пересекает ось 0x в двух точках, а её центр лежит на оси 0x. Для определения параметров эквипотенциали вначале следует определить координаты x её точек пересечения с осью 0x из уравнения: , или , где . Принимая a=6,613570809 и b=3,7655644371 за постоянные величины, в результате преобразований получается квадратное уравнение (1–b)x2–2a(1+b)x+a2(1–b)=0, решением которого являются корни x1=–20,6774240468 мм и x2=–2,1153175922 мм.
Тог
Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

9

КУРСОВАЯ РАБОТА

да x-ая координата центра эквипотенциали равна  мм, т. е. центр эквипотенциали находиться слева на расстоянии S=9,2810532273 мм от начала координат.
Радиус эквипотенциали R=|x0–x2|=|–9,2810532273–(–2,1153175922)|=
=7,1657356351 мм.
5. Построение графика распределения плотности заряда по цилиндрической поверхности R1
Выражение для распределения плотности заряда по цилиндрической поверхности R1 определяется из граничных условий металл–диэлектрик: , где  – нормальная составляющая вектора  к поверхности проводника, qs – поверхностная плотность свободных зарядов (см. рис. 1.7).

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

10

КУРСОВАЯ РАБОТА

Рисунок 1.7. Схема распределения плотности заряда
	,	(1.7)
Пусть Dx+, Dx-, Dy+, и Dy- – составляющие вектора  соответственно от +τ и –τ по осям 0x и 0y.
Тогда ||=(Dx++Dx-)cosα+(Dy++Dy-)sinα. Следовательно, после подстановки значений составляющих вектора  итоговое выражение примет вид:

Таким образом, исходя из полученного выражения график распределения плотности заряда по цилиндрической поверхности R1 в зависимости от α представлен на рисунке 1.8.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

11

КУРСОВАЯ РАБОТА

Рисунок 1.8. График распределения плотности заряда по цилиндрической поверхности R1

2. Часть 2
Исходные данные и задания
Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

12

КУРСОВАЯ РАБОТА

По круглому цилиндрическому проводнику протекает синусоидальный ток i=Imsint=2sint, А. Радиус проводника R=1,2 мм, удельная проводимость материала σ=0,75*107 См/м, относительная магнитная проницаемость μ=100.

Рисунок 2.1. Исходная схема
1.	Определить плотность тока и напряженность магнитного поля внутри проводника. Числовой ответ дать для точек, находящихся на расстоянии от оси провода r=0; r=0,25R; r=0,5R; r=0,75R; r=R при двух частотах f=50 Гц и nf=8*50=400 Гц.
2.	Построить графики зависимостей модулей плотности тока и напряженности магнитного поля от r.
1. Определение плотности тока и напряженности магнитного поля внутри проводника
Электромагнитное поле для неподвижных тел и сред описывается системой уравнений Максвелла:
	,	(2.1)
	,	(2.2)
	,	(2.3)	
	,	(2.4)
	,	(2.5)
	,	(2.6)
	
Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

13

КУРСОВАЯ РАБОТА

.	(2.7)
По условию, ток i во времени изменяется по гармоническому закону, значит , связанный с i равенством , тоже изменяется гармонически. Исходя из уравнений (2.7), (2.5), (2.1) и (2.6) следует, что изменения ,, и  также носят гармонический характер. Следовательно, можно воспользоваться символическим методом расчета.
Пусть  – изображение ,  – ,  – ,  – . Операция дифференцирования по времени заменяется умножением на iω (где i – мнимая единица). В данном случае среда однородная и изотропная. После умножения уравнения (2.2) на σ, и в силу уравнения (2.7) и всего выше изложенного, уравнение (2.2) примет вид:
	.	(2.8)
Уравнение (2.1) с учетом уравнений (2.5) и (2.7):
	.	(2.9)
Отношение ωε0ε<<σ, а значит вторым слагаемым с большой степенью точности в правой части уравнения (9) можно пренебречь. Тогда:
	,	или	.	(2.10)
Если от обеих частей уравнения (2.8) взять операцию ротора, то получится: .
Далее, исходя из уравнения (2.10) и соотношения , следует:
	.	(2.11)
После дивергенции обоих частей уравнения (10): .
Так как из теории поля известно, что , то значит . Тогда уравнение (2.11) примет вид:
	.	(2.12)
В цилиндрических координатах . Но  от α и z не з
Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

14

КУРСОВАЯ РАБОТА

ависит и направлено вдоль оси цилиндра (см. рис. 2.1). Следовательно: . При обозначении , получается:
		или	.	(2.13)
В математике известно, что решение уравнения (2.13) записывается в виде , где J0(qr) – функция Бесселя нулевого порядка первого рода, N0(qr) – функция Бесселя нулевого порядка второго рода. N0(qr) при qr=0 обращается в бесконечность. Из физических соображений  всюду конечен, поэтому можно принять, что B=0. Из выражения (2.8) можно определить , учитывая, что , в цилиндрических координатах :
 где  – единичный орт оси 0α. , J1(qr) – функция Бесселя первого порядка первого рода.
	.	(2.14)
Из закона полного тока  определяется  на поверхности провода (при r=R), если его приравнять значению , полученному из соотношения (2.14), а также определяется значение A: , .
Окончательно получено значение:
Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

15

КУРСОВАЯ РАБОТА

	, [А/м2]	(2.15)
	, [А/м]	(2.16)
где  – единичный орт оси 0z, а  – единичный орт оси 0α.
Далее необходимо проделать предварительные вычисления для подстановки значений в выражения (2.15) и (2.16).
Циклическая частота: ω1=2πf=2*π*50=314,15926535898 рад/с и ω2=2πnf=2*π*8*50=2513,2741228718 рад/с.
Абсолютная магнитная проницаемость μa=μ0μ=4*10–7*π*100=4*10–5*π Гн/м.
Комплексный аргумент
q1=√ω1σμa=√314,15926535898*0,75*107*4*10–5*π=544,1398092703,
q2=√ω2σμa=√2513,2741228718*0,75*107*4*10–5*π=1539,0597961942.
Таблица 2.1.
Модули и аргументы функций Jo(qr) и J1(qr)
r√ωσμa	b0	β0	b1	β1	
0	1,000	0	0	-45,000	
1	1,015	14,220	0,501	-37,840	
2	1,229	52,280	1,041	-16,730	
3	1,950	96,520	1,800	15,710	
4	3,439	138,190	3,173	53,900	
5	6,231	178,930	5,812	93,550	
6	11,501	219,620	10,850	133,450	
7	21,548	260,290	20,500	173,510	
8	40,820	300,920	39,070	213,690	
9	77,960	341,520	74,970	253,950	
10	149,800	382,100	144,580	294,270	
Функции Бесселя J0(qr) и J1(qr) от комплексного аргумента rq=r√ωσμa√–i тоже являются комплексами и могут быть представлены в показа
Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

16

КУРСОВАЯ РАБОТА

тельной форме: J0(qr)=b0eiβ0, J1(qr)=b1eiβ1, где b0 – модуль, а β0 – аргумент функции J0(qr), b1 – модуль, а β1 – аргумент функции J1(qr). Для вычисления значений функций Бесселя строятся графики (см. рис. 2.2) по заданным значениям модулей в таблице 1. Аргументами β0 и β1 можно пренебречь и не использовать в вычислениях, так как их значения при построении графиков не использовались. Тогда функции Бесселя  можно  представить в виде: J0(qr)=b0, J1(qr)=b1.
На поверхности проводника значения функций Бесселя J1(q1R)=0,3259 для частоты 50Гц и J1(q2R)=0,9509 для частоты 400Гц определены из графика.
Вычисляя значения qr и по графикам (см. рис. 2.2) определяя значения функций Бесселя, а также подставляя полученные значения переменных в формулы (2.15) и (2.16), определяются значения плотности тока и напряжённости магнитного поля.
Для частоты 50 Гц:
1) при r=0 (центр проводника), rq1=0, J0(0)=1, J1(0)=0,  
2) при r=0,25R, rq1=0,1632419428, J0(0,1632419428)=1,0017, J1(0,1632419428)=0,0813,  
3) при r=0,5R, rq1=0,3264838856, J0(0,3264838856)=1,0055, J1(0,3264838856)=0,1621,  
4) при r=0,75R, rq1=0,4897258283, J0(0,4897258283)=1,008, J1(0,4897258283)=0,2442,  
5) при r=R, rq1=0,6529677711, J0(0,6529677711)=1,0106, J1(0,6529677711)=0,3259,  
Для частоты 400 Гц:
1) при r=0 (центр проводника), rq2=0, J0(0)=1, J1(0)=0,  
2) при r=0,25R, rq2=0,4617179389, J0(0,4617179389)=1,0068, J1(0,461717
Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

17

КУРСОВАЯ РАБОТА

9389)=0,2291,  
3) при r=0,5R, rq2=0,9234358777, J0(0,9234358777)=1,0144, J1(0,9234358777)=0,4614,  
4) при r=0,75R, rq2=1,3851538166, J0(1,3851538166)=1,0573, J1(1,3851538166)=0,6975,  
5) при r=R, rq2=1,8468717554, J0(1,8468717554)=1,1709, J1(1,8468717554)=0,9509,  

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

18

КУРСОВАЯ РАБОТА

Рисунок 2.2. Графики для вычисления значений функций Бесселя, построенные по заданным значениям модулей в таблице 1
Графики построены на интервале от 0 до 2 так как полученные значения rq не превышают данного интервала.
2. Построение графиков зависимости модуля плотности тока и напряженности магнитного поля от расстояния r от оси провода

Ри
Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

19

КУРСОВАЯ РАБОТА

сунок 2.3. Графики зависимости плотности тока  от расстояния r от оси провода

Рисунок 2.4. Графики зависимости напряжённости магнитного поля  от расстояния r от оси провода

3. Часть 3
Исходные данные и задания
По отрезку прямолинейного провода длиной l=12 см проходит переменный ток i=Imsin108t=110sin108t, А. Среда, окружающая провод – воздух. Считать, что со средней точкой отрезка провода совмещено начало отсчёта сферической системы координат, и что ось отсчёта углов совпадает с положительным направлением тока в проводе.

Рисунок 3.1. Исходная схема
1.	Построить полярную диаграмму зависимости от угла  модуля среднего за период значения вектора Пойнтинга в точках сферы радиусом R=100 м.
2.	Записать выражения для мгновенных значений векторов напряженности электрического и магнитного полей в точках A и B, предварительно выяснив, в какой зоне поля находится каждая точка. Радиус R=100 м,  координаты точек A и B в сферической системе координат соответственно равны RA=0,2 м, A=130°, RB=950 м, B=30°.
1. Построение полярной диаграммы зависимости от угла  модуля среднего за период значения вектора Пойнтинга в точках сферы радиус
Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

20

КУРСОВАЯ РАБОТА

ом R=100 м
Так как средой, окружающей провод является воздух, причём среда однородна и изотропна, то ε=1 и μ=1.
Из решения уравнения Даламбера  следует, что , или . Так как по условию ток синусоидальный, то значит можно применить комплексный метод. Таким образом,
Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

21

КУРСОВАЯ РАБОТА

	.	(3.1)
Магнитная индукция определяется из соотношения . Выражение для комплекса магнитной индукции в сферических координатах будет выглядеть следующим образом:
		(3.1)
или для мгновенных значений
		(3.2)
Среда однородна и изотропна, то напряженность магнитного поля равна:
		(3.3)
В соответствии с первым уравнением Максвелла , так как в рассматриваемой точке пространства носителей заряда нет, то , . Тогда в комплексной форме . Отсюда
,
или для мгновенных значений

Из уравнения переменного тока циклическая частота ω=108 рад/с, а длина волны  Дальность точек находящихся на сфере радиуса R=100 м оценивается следующим образом: ,  (3<<100
Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

22

КУРСОВАЯ РАБОТА

), т. е. точки лежат в дальней зоне. Тогда , а среднее значение равно: , , а среднее значение равно , где zв=120π Ом для воздуха.
Выражение вектора Пойнтинга для дальней зоны:
	(3.4)
Модуль вектора Пойнтинга (мгновенное значение):
	, [Вт/м2]	(3.5)
Среднее значение вектора Пойнтинга:
	, [Вт/м2].	(3.6)
Вектор Пойнтинга направлен по радиусу R, а среднее значение его модуля за период времени :

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

23

КУРСОВАЯ РАБОТА

Рисунок 3.2. Полярная диаграмма зависимости модуля среднего значения вектора Пойнтинга от угла 
2. Запись выражения для мгновенных значений векторов напряженности электрического и магнитного полей в точках A и B
Точка A расположена в ближней зоне, так как  (3<<0,2), а точка B – в дальней зоне, так как  (3<<950). Тогда мгновенные значения напряжённости электрического E и магнитного H поля вычисляются по формулам, приведённым выше, где в компонентах электромагнитного поля остаются слагаемые с наивысшим порядком (для точки A). Если точка расположена в дальней зоне, то в вышеприведённых формулах при вычислении E и H, первыми слагаемыми можно пренебречь.
Для точки A:

Для точки B:

Вывод
В данной лабораторной работе удалось решить 3 основные задачи, часто встречающиеся при расчёте параметров электромагнитного поля. В частности, в первой задаче для системы двух металлических труб были определены ёмкость, напряжённость, вектора электрической индукции, напряжённости и поляризации, а также получена линия эквипотенциали; во второй задаче были представлены зависимости плотности тока и напряжённости магнитного поля от расстояния r и частоты при рассмотрении цилиндрического проводника; в третьей задаче была построена полярная диаграмма зависимости модуля вектора Пойнтинга от угла , а также записаны выражения для мгновенных значений векторов напряжённости электрического и магнитного полей.
Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

24

КУРСОВАЯ РАБОТА