Федеральное агентство по образованию
Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет
Кафедра Телекоммуникационные Системы

	Кафедра ТС

Курсовая работа по
Электромагнитным полям и волнам

Расчёт параметров электромагнитного поля
(Вариант 1)

	Выполнил:
	студент группы МКС-315,
	Абзалов А. В.
	Проверил:
	преподаватель
	Зуев О. О.

Уфа – 2006

Часть 1.
Исходные данные.
Две металлические трубы радиусов R1=6 мм и R2=2,5 мм находятся в среде относительной диэлектрической проницаемостью =4,5 на расстоянии между центрами сечений d=16 мм, приложенное напряжение U=500 B (см. рис. 1).	
Рисунок 1. Исходная схема 3 двух проводников.	
1.	Рассчитать ёмкость системы на единицу длины. Найти фиктивный заряд и его геометрическое расположение.
2.	Рассчитать и построить графики распределения напряжённости электрического поля и потенциала в плоскости KF.
3.	Рассчитать и построить векторы электрической индукции, напряжённости и поляризации в точке М.
4.	Провести эквипотенциаль с потенциалом, равным 0,25U, где U – приложенное напряжение.
5.	Рассчитать и построить график распределения плотности заряда по цилиндрической поверхности R1.
1. Расчёт ёмкости системы и нахождение фиктивного заряда.
Потенциал поля в точке, расположенной на расстоянии r от заряженной оси равен:
, где τ – линейная плотность заряда.
Пусть начало координат лежит на середине отрезка, соединяющего фиктивные заряженные оси.	
Рисунок 2. Сечения проводников в декартовой системе координат.	
Потенциал поля нескольких заряженных осей определяется алгебраической суммой потенциалов, создаваемых каждой осью в отдельности. Если две оси имеют одинаковую по модулю плотность зарядов, противоположных по знаку, то
	.	(1)
Если принять за 0 потенциал начала координат, то нетрудно показать, что в выражении (1) C будет равно 0, т. е. .
Отсюда определим потенциалы точек 1, 2, 3 и 4 (см. рис. 2):

S1, S2 и a можно определить, исходя из того, что цилиндрические поверхности R1 и R2 проводников являются эквипотенциалями, т. е. φ1=φ2, φ3=φ4, и S1+S2=d.
Полученная система уравнений:
 или 
позволяет определить следующие значения S1=8,9296875 мм=8,9296875*10–3 м, S2=7,0703125 мм=7,0703125*10–3 м, a=6,613570809 мм=6,613570809*10–3 м.
Ёмкость системы на единицу длины определяется по формуле C=τ/U, где U – разность потенциалов между металлическими трубами, т. е. между двумя любыми точками на поверхности каждого из проводников, например, между точками 1 и 3. Тогда ёмкость системы на единицу длины вычисляется:

Линейная плотность заряда τ=C0U=94,2757451746*10–12*500=4,7137872587*10–8 Кл/м.
2. Построение графиков распределения напряжённости электрического поля и потенциала в плоскости KF.
Если за начало координат взять середину отрезка, соединяющего фиктивные заряженные оси, то зависимость потенциала φ от координаты x будет иметь вид:

Рисунок 3. График распределения потенциала электрического поля в плоскости KF.
Напряжённость поля бесконечной заряженной оси определяется по формуле:

Напряжённость нескольких заряженных бесконечных осей определяется по принципу наложения (суперпозиции): 
Если за положительное направление принять направление оси 0x, тогда зависимость напряжённости поля от координаты x будет иметь вид:

Рисунок 4. График распределения напряжённости электрического поля в плоскости KF.
3. Расчёт и построение векторов электрической напряжённости, индукции и поляризации в точке М.
Векторы электрической напряжённости, индукции и поляризации в однородной изотропной среде связаны между собой соотношениями: , . Отсюда видно, что вектора ,  и  сонаправлены.
Для определения вектора  в точке M его необходимо представить в виде , где  – проекция  на 0x,  – проекция  на 0y. Но из граничных условий металл-диэлектрик следует, что тангенциальная составляющая  равна 0, т. е. .
Вектор электрической напряжённости  равен:
где  и 
Вектор электрической индукции  равен:
=8,854187818*10–12*4,5**2,3274398509*104=*9,2734153086*10–7 Кл/м2.
Вектор электрической поляризации  равен:
*9,2734153086*10–7–8,854187818*10–12*2,3274398509*104=*
*7,2126563511*10–6 Кл/м2.
На рисунке 5 изображены вектор  электрической напряжённости , вектор электрической индукции  и вектор электрической поляризации , которые одинаково направлены, но их масштабы построения различны.
Примечание: при выполнении задания 3 учитывалось, что толщина стенок трубок незначительная, а точка М лежит в среде диэлектрика.	
Рисунок 5. Изображение векторов ,  и .	
4. Построение эквипотенциали с потенциалом, равным 0,25U.
Пусть начало координат лежит на середине отрезка, соединяющего фиктивные заряженные оси. Эквипотенциаль с потенциалом, равным 0,25U, представляет собой окружность (см. рис. 6), центр которой лежит на оси 0x (система симметрична относительно оси 0x). Это значит, что эквипотенциаль пересекает ось 0x в двух точках, а её центр лежит на оси 0x. Для определения параметров эквипотенциали вначале следует определить координаты x её точек пересечения с осью 0x из уравнения:	
Рисунок 6. Изображение эквипотенциали.	
, , где . Принимая a=6,613570809 и b=3,7655644371 за постоянные величины, в результате преобразований получается квадратное уравнение (1–b)x2–2a(1+b)x+a2(1–b)=0, решением которого являются корни x1=–20,6774240468 мм и x2=–2,1153175922 мм.
Тогда x-ая координата центра эквипотенциали равна  мм, т. е. центр эквипотенциали находиться слева на расстоянии S=9,2810532273 мм от начала координат.
Радиус эквипотенциали R=|x0–x2|=|–9,2810532273–(–2,1153175922)|=7,1657356351 мм.
5. Построение графика распределения плотности заряда по цилиндрической поверхности R1.
Выражение для распределения плотности заряда по цилиндрической поверхности R1 определяется из граничных условий металл–диэлектрик: , где  – нормальная составляющая вектора  к поверхности проводника, qs – поверхностная плотность свободных зарядов  (см. рис. 7).    Пусть	
Рисунок 7. Схема распределения плотности заряда.	
Dx+, Dx-, Dy+, и Dy- – составляющие вектора  соответственно от +τ и –τ по осям 0x и 0y.
Тогда ||=(Dx++Dx-)cosα+(Dy++Dy-)sinα. Следовательно, после подстановки значений составляющих вектора  итоговое выражение примет вид:

Таким образом, исходя из полученного выражения график распределения плотности заряда по цилиндрической поверхности R1 в зависимости от α представлен на рисунке 8.

Рисунок 8. График распределения плотности заряда по цилиндрической поверхности R1.
Часть 2.
Исходные данные.
По круглому цилиндрическому проводнику протекает синусоидальный ток i=Imsint=2sint, А. Радиус проводника R=1,2 мм, удельная проводимость материала σ=0,75*107 См/м, относительная магнитная проницаемость μ=100.
1.	Определить плотность тока и напряженность магнитного поля внутри проводника. Числовой ответ дать для точек, находящихся на расстоянии от оси провода r=0; r=0,25R; r=0,5R; r=0,75R; r=R при двух частотах f=50 Гц и nf=8*50=400 Гц.	
Рисунок 9. Исходная схема.	
2.	Построить графики зависимостей модулей плотности тока и напряженности магнитного поля от r.
1. Определение плотности тока и напряженности магнитного поля внутри проводника.
Электромагнитное поле для неподвижных тел и сред описывается системой уравнений Максвелла:
			.
По условию, ток i во времени изменяется по гармоническому закону, значит , связанный с i равенством , тоже изменяется гармонически. Исходя из уравнений (7), (5), (1) и (6) следует, что изменения ,, и  также носят гармонический характер. Следовательно, можно воспользоваться символическим методом расчета.
Пусть  – изображение ,  – ,  – ,  – . Операция дифференцирования по времени заменяется умножением на iω (где i – мнимая единица). В данном случае среда однородная и изотропная. После умножения уравнения (2) на σ, и в силу уравнения (7) и всего выше изложенного, уравнение (2) примет вид:
	.	(8)
Уравнение (1) с учетом уравнений (5) и (7):
	.	(9)
Отношение ωε0ε<<σ, а значит вторым слагаемым с большой степенью точности в правой части уравнения (9) можно пренебречь. Тогда:
	,	или	.	(10)
Если от обеих частей уравнения (8) взять операцию ротора, то получится: .
Далее, исходя из уравнения (10) и соотношения , следует:
	.	(11)
После дивергенции обоих частей уравнения (10): .
Так как из теории поля известно, что , то значит . Тогда уравнение (11) примет вид:
	.	(12)
В цилиндрических координатах . Но  от α и z не зависит и направлено вдоль оси цилиндра (см. рис. 9). Следовательно: . При обозначении , получается:
		или	.	(13)
В математике известно, что решение уравнения (13) записывается в виде , где J0(qr) – функция Бесселя нулевого порядка первого рода, N0(qr) – функция Бесселя нулевого порядка второго рода. N0(qr) при qr=0 обращается в бесконечность. Из физических соображений  всюду конечен, поэтому можно принять, что B=0. Из выражения (8) можно определить , учитывая, что , в цилиндрических координатах :
 где  – единичный орт оси 0α. , J1(qr) – функция Бесселя первого порядка первого рода.
	.	(14)
Из закона полного тока  определяется  на поверхности провода (при r=R), если его приравнять значению , полученному из соотношения (14), а также определяется значение A: , .
Окончательно получено значение:
	,	(15)
	,	(16)
где  – единичный орт оси 0z, а  – единичный орт оси 0α.
Далее необходимо проделать предварительные вычисления для подстановки значений в выражения (15) и (16).
Циклическая частота: ω1=2πf=2*π*50=314,15926535898 рад/с и ω2=2πnf=2*π*8*50=
=2513,2741228718 рад/с.
Абсолютная магнитная проницаемость μa=μ0μ=4*10–7*π*100=4*10–5*π Гн/м.
Комплексный аргумент q1=√ω1σμa=√314,15926535898*0,75*107*4*10–5*π=
=544,1398092703 м–1, q2=√ω2σμa=√2513,2741228718*0,75*107*4*10–5*π=1539,0597961942 м–1.
Функции Бесселя J0(qr) и J1(qr) от комплексного аргумента rq=r√ωσμa√–i тоже являются комплексами и могут быть представлены в показательной форме: J0(qr)=b0eiβ0, J1(qr)=b1eiβ1, где b0 – модуль, а β0 – аргумент функции J0(qr), b1 – модуль, а β1 – аргумент функции J1(qr). Для вычисления значений функций Бесселя строятся графики (см. рис. 10) по заданным значениям модулей в таблице 1. Аргументами β0 и β1 можно пренебречь и не использовать в вычислениях, так как их значения при построении графиков не использовались. Тогда функции Бесселя  можно  представить	Таблица 1. Модули и аргументы функций Jo(qr) и J1(qr).
r√ωσμa	
b0	
β0	
b1	
β1	

0	
1	
0	
0	
-45,00	

1	
1,015	
14,22	
0,501	
-37,84	

2	
1,229	
52,28	
1,041	
-16,73	

3	
1,95	
96,52	
1,80	
15,71	

4	
3,439	
138,19	
3,173	
53,90	

5	
6,231	
178,93	
5,812	
93,55	

6	
11,501	
219,62	
10,850	
133,45	

7	
21,548	
260,29	
20,50	
173,51	

8	
40,82	
300,92	
39,07	
213,69	

9	
77,96	
341,52	
74,97	
253,95	

10	
149,8	
382,10	
144,58	
294,27	

в виде: J0(qr)=b0, J1(qr)=b1.
На поверхности проводника значения функций Бесселя J1(q1R)=0,3259 для частоты 50Гц и J1(q2R)=0,9509 для частоты 400Гц определены из графика.
Вычисляя значения qr и по графикам (см. рис. 10) определяя значения функций Бесселя, а также подставляя полученные значения переменных в формулы (15) и (16), определяются значения плотности тока и напряжённости магнитного поля.
Для частоты 50 Гц:
1) при r=0 (центр проводника), rq1=0, J0(0)=1, J1(0)=0,  
2) при r=0,25R, rq1=0,1632419428, J0(0,1632419428)=1,0017, J1(0,1632419428)=0,0813,  
3) при r=0,5R, rq1=0,3264838856, J0(0,3264838856)=1,0055, J1(0,3264838856)=0,1621,  
4) при r=0,75R, rq1=0,4897258283, J0(0,4897258283)=1,008, J1(0,4897258283)=0,2442,  
5) при r=R, rq1=0,6529677711, J0(0,6529677711)=1,0106, J1(0,6529677711)=0,3259,  
Для частоты 400 Гц:
1) при r=0 (центр проводника), rq2=0, J0(0)=1, J1(0)=0,  
2) при r=0,25R, rq2=0,4617179389, J0(0,4617179389)=1,0068, J1(0,4617179389)=0,2291,  
3) при r=0,5R, rq2=0,9234358777, J0(0,9234358777)=1,0144, J1(0,9234358777)=0,4614,  
4) при r=0,75R, rq2=1,3851538166, J0(1,3851538166)=1,0573, J1(1,3851538166)=0,6975,  
5) при r=R, rq2=1,8468717554, J0(1,8468717554)=1,1709, J1(1,8468717554)=0,9509,  

Рисунок 10. Графики для вычисления значений функций Бесселя, построенные по заданным значениям модулей в таблице 1*.
2. Построение графиков зависимости модуля плотности тока и напряженности магнитного поля от расстояния r от оси провода.

Рисунок 11. Графики зависимости плотности тока  от расстояния r от оси провода.

Рисунок 12. Графики зависимости напряжённости магнитного поля  от расстояния r от оси провода.
Часть 3.
Исходные данные.
По отрезку прямолинейного провода длиной l=12 см проходит переменный ток i=Imsin108t=110sin108t, А. Среда, окружающая провод – воздух. Считать, что со средней точкой отрезка провода совмещено начало отсчёта сферической системы координат, и что ось отсчёта углов совпадает с положительным направлением тока в проводе.
1.	Построить полярную диаграмму зависимости от угла  модуля среднего за период значения вектора Пойнтинга в точках сферы радиусом R=100 м.
2.	Записать выражения для мгновенных значений векторов напряженности электрического и магнитного полей в точках A и B, предварительно выяснив, в какой зоне поля находится каждая точка.   Радиус R=100 м,  координаты точек A и B в сферической	
Рисунок 13. Исходная схема.	
системе координат соответственно равны RA=0,2 м, A=130°, RB=950 м, B=30°.
1. Построение полярной диаграммы зависимости от угла  модуля среднего за период значения вектора Пойнтинга в точках сферы радиусом R=100 м.
Так как средой, окружающей провод является воздух, причём среда однородна и изотропна, то ε=1 и μ=1.
Из решения уравнения Даламбера  следует, что , или . Так как по условию ток синусоидальный, то значит можно применить комплексный метод. Таким образом .
Магнитная индукция определяется из соотношения . Выражение для комплекса магнитной индукции в сферических координатах будет выглядеть следующим образом:

или для мгновенных значений

Среда однородна и изотропна, то напряженность магнитного поля равна:

В соответствии с первым уравнением Максвелла , так как в рассматриваемой точке пространства носителей заряда нет, то , . Тогда в комплексной форме . Отсюда
, или для мгновенных значений

Из уравнения переменного тока циклическая частота ω=108 рад/с, а длина волны  Дальность точек находящихся на сфере радиуса R=100 м оценивается следующим образом: ,  (3<<100), т. е. точки лежат в дальней зоне. Тогда , а среднее значение равно: , , а среднее значение равно , где zв=120π Ом для воздуха.
Выражение вектора Пойнтинга для дальней зоны: .
Модуль вектора Пойнтинга (мгновенное значение): .
Среднее значение вектора Пойнтинга: . Вектор Пойнтинга направлен по радиусу R, а среднее значение его модуля за период времени :

2. Запись выражения для мгновенных значений векторов напряженности электрического и магнитного полей в точках A и B.
Точка A расположена в ближней зоне, так как  (3<<0,2), а точка B – в дальней зоне, так как  (3<<950). Тогда
мгновенные значения напряжённости электрического E и магнитного H поля вычисляются по формулам, приведённым выше, где в компонентах электромагнитного поля остаются слагаемые с наивысшим порядком (для точки A). Если точка расположена в дальней зоне, то в вышеприведённых формулах при вычислении E и H, первыми слагаемыми можно пренебречь.	Рисунок 14. Полярная диаграмма зависимости модуля среднего значения вектора Пойнтинга от угла .	
Для точки A:

Для точки B:

Вывод.
В данной лабораторной работе удалось решить 3 основные задачи, часто встречающиеся при расчёте параметров электромагнитного поля. В частности, в первой задаче для системы двух металлических труб были определены ёмкость, напряжённость, вектора электрической индукции, напряжённости и поляризации, а также получена линия эквипотенциали; во второй задаче были представлены зависимости плотности тока и напряжённости магнитного поля от расстояния r и частоты при рассмотрении цилиндрического проводника; в третьей задаче была построена полярная диаграмма зависимости модуля вектора Пойнтинга от угла , а также записаны выражения для мгновенных значений векторов напряжённости электрического и магнитного полей.