Простые фильтры
Фильтр — это схема, которая пропускает одни частоты сигналов переменного тока и не пропускает другие. Основными типами фильтров являются фильтр нижних частот, фильтр верхних частот и режекторный фильтр. Фильтр нижних частот пропускает все частоты от постоянного тока до частоты среза. Так,. фильтр нижних частот на 1 кГц пропускает все частоты от постоянного тока до 1 кГц, а на частотах выше 1 кГц отклик фильтра очень быстро падает. В идеальном фильтре падение отклика было бы резким, как если бы спектр был “отрезан” лезвием ножа в точке 1 кГц, но мы уже знаем, что идеальное и реальное—это обычно несовместимые концепции. Отклик реального фильтра падает с определенным наклоном, зависящим от природы схемы фильтра и его конструкции. Спад характеристики фильтра выше частоты среза выражается обычно в децибелах на октаву (отношение частот 2:1) или на декаду (отношение частот 10:1).
Простой RС-фильтр нижних частот состоит из резистора, подключенного последовательно к шине сигнала, и конденсатора, подключенного параллельно к ней. Если вы узнаете в этой RC-цепи простой интегратор—примите мои поздравления! Этот простой фильтр имеет наклон—6 дБ/октава. Для увеличения скорости спада может быть использовано несколько секций.
Фильтр верхних частот прямо противоположен фильтру нижних частот. Он пропускает только те сигналы, частоты которых выше частоты среза. Примером пассивного RC-фильтра верхних частот является простая дифференцирующая RC-цепь. Если вы понимаете соотношение между математическими понятиями интегрирования и дифференцирования, то вам видно изящество соотношения между фильтрами верхних и нижних частот.
Полосовой фильтр — это сочетание фильтров верхних и нижних частот. Он пропускает только те частоты, которые лежат выше нижней частоты среза и ниже верхней частоты среза. Добротность 0 полосового фильтра—это его свойство, определяемое соотношением
				Q=Fц/П
где Fц—центральная частота при условии, что характеристика симметрична; П—полоса пропускания, выраженная в тех же единицах, что и Гц,.
Режекторный фильтр—это схема, пропускающая все частоты, за исключением одной определенной частоты. Мы не особенно погрешим против истины, если представим себе эту схему в виде последовательного резонансного шунтирующего контура, подключенного параллельно к источнику сигнала. Основная область использования режекторных фильтров—это подавление некоторой определенной нежелательной частоты, такой, как наводка от сети 50 Гц'. Большинство активных фильтров построено на основе операционного усилителя. Простейшая схема активного фильтра нижних частот—это инвертирующий повторитель с конденсатором, включенным параллельно резистору обратной связи. Емкость конденсатора должна быть такой, чтобы реактивное сопротивление Хс на частоте среза не превышало одной десятой сопротивления Rо.с. При этом на частотах выше частоты среза отрицательная обратная связь будет больше, а, следовательно, усиление меньше. Эту частоту можно приближенно определить по формуле
F=1/2πRосС,                                                                   (17.2)
где F—частота среза в герцах, R о.с—сопротивление обратной связи в омах, С—емкость в фарадах, включенная параллельно R о.с-
Однако такой тип фильтра не особенно эффективен, поэтому если требуется большая крутизна характеристики среза, то надо поискать другую схему. Хотя существует несколько хороших фильтров, я собираюсь рассмотреть только один тип. Если вам требуется более подробная информация, посмотрите какую-нибудь из книг по общей электротехнике.

Некоторые основные математические соотношения
Передаточная функция любой электронной схемы будет иметь вид
F(t)= G(t)/H(t)					(17.3)
где G(t) —выходное напряжение как функция времени, E вых;
H(t) — входное напряжение как функция времени, Евх.
Рассматривая определения G(t)  и Н(t) в нашем контексте, мы можем переписать выражение (17.3) в форме
				F(t)=Fвых/Fвх.
Эта передаточная функция так же, как и многие другие функции, описывающие сложные электронные схемы, в своей общей форме представляет несколько различных величин, поэтому при изучении свойств схемы нужно быть внимательным.
В передаточной функции, которую мы представим для активных фильтров в следующем разделе настоящей главы, так же как и во многих других выражениях, используемых в электронике, будет появляться величина, которая обозначается через 5. Эта величина появляется при выполнении преобразования Лапласа от функций, зависящих от времени. Преобразование Лапласа—это метод решения таких линейных дифференциальных уравнений, решение которых во временной области было бы затруднительным. Преобразование Лапласа отображает уравнение в частотную область.
Определение преобразования Лапласа таково:
			L(t)=F(s)=			(17.5)
Преобразования Лапласа  некоторых распространенных функций аргумента t имеют вид:
F(t)	F(s)	
1	1/s	
t	1/s2	
tn	n!/s(n+1)	
eat	1/(s-a)	
cosat	s/(s2+a2)	
sinat	a/(s2+a2)	
Загадочный параметр s определяется как 
					s=jw=j2πf				(17.6)
где j – мнимая единица (-1)1/2.
 	Через (17.6) можно выразить реактивные сопротивления.
Индуктивное сопротивление, например, равно 2πfL, а емкостное 1/2πfС. В соответствующих обозначениях в индуктивном случае будет присутствовать +j, а в емкостном —j. Из этого видно, что формулы для емкостного и индуктивного сопротивлений представляют собой просто преобразования Лапласа некоторых уравнений во временной области. Выражения для реактивностей в s-обозначениях представляют собой просто sL и 1/sС. Выражение для импеданса, имеющего чисто емкостный характер, представляет собой 1/sС и совпадает с выражением для реактивного емкостного сопротивления.
Улучшенные схемы активных фильтров
Теперь мы рассмотрим активный фильтр, который пользуется наибольшей популярностью по сравнению с другими известными типами фильтров. Это двухполюсный фильтр Баттерворта. Схема, которую мы рассмотрим, будет иметь коэффициент усиления, равный единице, за исключением полосового. фильтра, для которого мы рассмотрим два случая: коэффициент усиления равен единице и больше единицы. Такое ограничение вытекает из того, какие схемы потребуются вам на практике. Для нас оно во многом упрощает дело. Схема Баттерворта выбрана потому, что она обеспечивает наиболее равномерную. -частотную характеристику в пределах полосы пропускания ценой, правда, некоторого уменьшения крутизны спада вне полосы пропускания.
На рис. 17.1 показана обобщенная схема Баттерворта, в которой используются операционный усилитель и некоторые импедансы в цепи обратной связи. В качестве последних могут выступать резисторы и конденсаторы, но в разных модификациях они будут занимать различные положения.
Заметим, что в обозначениях рис. 17.1 мы использовали полные проводимости, а не классические обозначения импендансов. Благодаря этому наш анализ упрощается. Такое упрощение—почти стандартный прием, используемый в книгах по анализу цепей. По определению, полная проводимость Y есть величина, обратная импедансу Z, или
Y =1/Z.                                                                                           (17.7)
Обобщенная передаточная функция двухполюсного фильтра Баттерворта (для всех трех типов частотной характеристики) имеет вид:
	(17.8)

Если проводимость чисто резистивная, то Y=1/R, а если она чисто емкостная, то Y=sС. Теперь мы можем переписать общее уравнение в терминах R и C. Одна такая общая форма вытекает из выражения (17.8)
                 (17.9)
где wо—частота, на которой усиление схемы равно —3 дБ.

Фильт нижних частот
Пример двухполюсного фильтра нижних частот Баттерворта приведен на рис. 17.2. В этом случае полные проводимости таковы:

Y1=1/R,  Y2=sC, Y3=1/R2, Y4=1/R3, Y5=sC2

Передаточная функция принимает вид:                                         ( 17.10)
-
или, если мы используем уравнение (17.8),
                                      (17.11)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
Чтобы упростить это выражение, используется некоторое правило (для которого мы не приводим каких-либо причин или доводов в защиту). Некоторые проводимости мы примем равными или пропорциональными некоторым другим праводимостям,или

Сравнивая (17.10) и (17.11), мы видим, что они имеют одну и ту же форму. Заметим (используя наше правило), что
                                  (17.12)                                                                                                                                                                                                   
и что этот результат равен величине 21/2sw0  в уравнении (17.10), так что
                  (17.13)
Поэтому мы можем заключить, что

где fо—частота среза в герцах; С1—емкость в фарадах; R1— сопротивление в омах.

Пример. Спроектируйте двухполюсный фильтр нижних частот Баттерворта с частотой среза 500 Гц. Используйте равенство (17.17) и принятые нами условия.
При проектировании мы часто сталкиваемся с необходимостью взять значения некоторых компонентов, что называется, “с потолка”, а затем вычислить остальные. В таком образе действий нет ничего таинственного, как это кажется на первый взгляд, он просто дает отправную точку. Если окажется, что “сделанный выбор не является разумным, мы можем начать расчеты сначала, сделав новые предположения. Поскольку получить нестандартные значения резисторов, как правило, легче, величины емкостей примем равными некоторым стандартным значениям. В данном случае положим C1==0,015 мкФ. Это предположение приводит к тому, что 
Cг =0,015/4, или 0,00375 мкФ. Из равенства (17.16) имеем
                             500=0,45/R1*1,5*10-8,               (17.17)
                                        R1=,45/5*102*1,5*108          (17.18)
                                   R1=6*104=60к0м.                     (17.19)
                                                                   
.Итак,
С1=0,015 мкФ, С2 =0,00375 мкФ, R1=60 кОм
и в соответствии с принятыми нами условиями R2=30 кОм, R3=60 к0м.

Фильтр верхних частот
Для создания фильтра верхних частот в такой же форме нам нужно только поменять ролями сопротивления и емкости, имеющиеся в схеме фильтра нижних частот. Это показано на рис. 17.3. Заметим, что вместо резисторов здесь появились конденсаторы, а вместо конденсаторов — резисторы. Передаточная функция имеет вид

                       (17.20)

Проведя анализ методом, использованным в случае фильтра нижних частот, получим
                                                 (17.21)
По соглашению
R2=4R1, C1=C2, C3=2C1
Пример. Спроектируйте двухполюсный фильтр верхних частот
Баттерворта с частотой среза 500 Гц.
Положим С1=0,015 мкФ, тогда С2 =0,015 мкФ и Сз=0,03 мкФ. Из (17.22) имеем
R2 =0,225/5*102*1,5*10-8,                                               (17.22)
R2=3*104Ом,                                                                   (17.23)
R2=30000Ом.                                                                  (17.24)
По соглашению
R1=R2/2,                                                                         (17.25)
 R1=7,5 кОм                                                                  (17.26)

Рис. 17.3. фильтр верхних частот Баттерворта.
Итак,
R1=7500 Ом, R2=30000 Ом, С1=0,015мкф,  С2=0,015мкф, Сз==0,03мкф,
Полосовой фильтр
Полосовой фильтр можно создать путем последовательного соединения каскадов фильтра нижних частот и фильтра верхних частот при условии, что они имеют одинаковое усиление. Фактически многие инженеры именно так и поступают. Пример полосового фильтра с одним операционным усилителем показан на рис. 17.4.
Так называемая центральная частота—это в действительности не центральная частота, а величина, определяемая выражением
    f0=(fонfов)1/2,                         (17.27)
где fо—центральная частота; fон—нижняя частота по уровню —3 дБ; fов—верхняя частота по уровню —3 дБ.
Передаточная функция полосового фильтра имеет вид
                                 (17.28)
Тогда основное уравнение можно записать в виде:
f0=0.159Q/R1C1,                                   (17.29)
и по соглашению

R2=R1R3/(4Q2R1-R3),  R3=2R1,  C1=C2                              (17.30)
                                      
Пример. Спроектируйте полосовой фильтр, имеющий верхнюю частоту по уровню —3 дБ, равную 525 Гц, а нижнюю частоту по уровню —3 дБ, равную 475 Гц. Положим С2=1 мкф. (Эта величина была найдена после того, как несколько различных значений емкости были испробованы и отброшены, так как значения одного или нескольких резисторов при этом становились смехотворными; полезно знать номенклатуру деталей, имеющихся в наличии, а также перечень стандартных значений радиоэлементов.)
fо==(525*475)1/2,                         (17.31)
f 0 =500 Гц (приблизительно).            (17.32)
Согласно (17.1),
Q=500/(525-475),                                               (17.33)
Q=500/50,                                                                 (17.34)
Q=10                                                                          (17.35)

 Согласно (17.30)
R1=0,159*10/(500*10-6),                                                                    (17.36)
R1=3.18*102                                                                                                                                        (17.37)
R1=3180 Ом                                                                                          (17.38)
По соглашению
R3=6360 Ом                                                                                                (17.39)
С1=1 мкФ                                                                                                    (17.40)
R2=3180*6360/(4*102*3180-6360)                                                            (17.41)
R1=16 Ом                                                                                                   (17.42) 
Эти значения соответствуют усилению, равному единице.Если желательно иметь коэффициент усиления порядка 20, используйте следующие соотношения:
f0=0,159Q/(AvR1C2)                                                         (17.43)
R3=2AvR1                                                                       (17.44)
Остальные соотношения для усилительного фильтра такие же, как и для фильтра с единичным усилением. Имейте, однако, в виду, что высокие значения Q  и коэффициента усиления не всегда полностью совместимы с требованиями простоты конструкции и легкости настройки. Если из-за этого возникнут затруднения, уменьшите коэффицент усиления и компенсируйте это уменьшение в последующих каскадах. Таким образом, мы “разменяли” усиление. Это делается по той причине, что в задачах фильтрации добротность Q –более критичный параметр.