рис. 7,14, где индексом /обозначается номер такт В этом случае кодер свёр-точного кода со скоростью kin удобнее представлять в виде параллельного набора k регистров сдвиге! с различными длинами кодовых ограничений Vj. I-1.1 выходе такого кодера, в каждый момент времени появляется «-мерный двоичный вектор, который отображается в один из 2" непрерывных сигналов, передаваемых в канал связи. Для каналов с ограниченной полосой типичными является использование сигналов с многократной фазовой или амплитудно-фазовой модуляцией, причём ключевым моментом здесь является разбиение множества сигналов на созвездия.
Пример такого разбиения для Й-ричнои ФМ показан на рис. 7.15. Со^вечдия находятся r нижнем ряду рисунка. На рис. 7.]6 пред ста line на схема кодирования Унгербоека, использута-пщ представление сигналов и виде со^цездий,
Здесь двоичная последовательность символен источника разбивается на блоки по k бит, и первые k йит агих блоков подаются на нход свср"го'1ного кодера, а оставшиеся поступают на модулятор б не кодирован но и виде. Общий принцип состоит в том, что нскодироцаннвю бигы цыЁирают стиал б созвс^дни, а кодированные биты определяют ив]бор со^деддия. (Так. на-upti'.lEp, для схемы разбиения, покапанной на рис. 7,15. кодер Унгсрбос.ка, изо^р.эжённый на
рис. 7.16, будет иметь параметры: k = 2, k -= 1. R = 1/2 )
Поскольку, как пидно т рис. 7,15. сигналы в каждом нз созв^дий удалены на значи

тельное свклидоно расстояние, а минимальное свюшдоно расстояние. мс;кл.у снг-нлла.ми различных созвездий может бить hf.ijio, то ис пол ьзо панне рассмотренного ньплс прл.нцича позволяет максим ичиро-вать свклпдоно рдсстояние мгжду последователь н ости ми кид про на иных сигналои •7ри сохранении hi.ilokoh спектральной ^фсрективности.
Разработана специЕ1Лшая техника, по-люляющая объединить [.в^рточные коды и амплитуд! ю-фа попу та моду-'1яцию сигнал,! для обеспечении высокой энергетической и спектральной эффективности'^.
При практическом испо-']ь'юва-нин помехоустойчивых кодов глан-ным ограничением является сложность устройства декодирован ил, которая может быть выражена либо

" Bifiiicri Е, Djv£al,ir D. Simon M.N. Гл trod lie lion [о IreElis - coded Modublion wilh АррИс.Цюий. - Publ. Me. МШал. 1. - \m, - 54Й p.
303

числом логических схем в декодере, либо числом вычислительных операций, необходимым для декодирования. Поэтому среди кодов, обеспечивающих заданный выигрыш, следует выбирать те, которые допускают менее сложную реализацию, либо наоборот, при заданной сложности декодирования следует выбирать коды, обеспечивающие наибольший выигрыш,
ВЫВОДЫ
I. По своему назначению кодирование подразделяется на примитивное, экономное и помехоустойчивое. Примитивное кодирование согласует алфавит источника с алфавитом дискретного канала, а в некоторых случаях используется для шифрование передаваемых данных или обеспечения устойчивой работы системы синхронизации. Экономное кодирование позволяет уменьшить время передачи длинной последовательности сообщений источник;! по Дискретному каналу. Помехоустойчивое кодирование позволяет обнаруживать или не-пранлчть ошибки li принятых из канала сообщенинх источника.
2- Экономное кодирование сообщений источника без памяти обеспечивается неравномерным префиксным кодом, который строится оптимальным образом методом Хаф^мена, а приближённо — методом Шеннона-Фэно. При экономном кодировании сообщений источника с памятью перед использованием неравномерного префиксного код,! необходимо применить метод укрупнения алфавита для преобразован и ч з.шунного источник,! в эквивалент-нын источник fie'3 памяти. Предельные возможности экономного кодирования определяются первой теоремой Шеннона (см. гл, 6), При неизвестной статистике источника можни использовать универсальный сжимающий алгоритм Зивл-Лсмпела-
3. Для расчета вероятности ошибочного декодирования при использовании блоковых кодов можно использовать верхнюю границу для •зтой величины, называемой экспонентой вероятности ошибок,
4. ЭВК можно рассчитать, пользуясь понятием эквивалентной вероятности ошибки р-:, е учетом скорости используемого кода R.
5. При помехоустойчивом кодировании обнаружение и исправление ошибок возможно потому, что большая часть из 2" двоичных комбинаций длины а не ис пользуется для передачи сообщений источника (запрещенные комбинации). Появление запрещённой комбин-щии на приёмном конце однозначно свидетельствует об ошибке в канале.
6 Кодовые (разрешенные) комбинации должны удовлетворять некоторой системе проверок (падающей код), что Позволяет отличать их от запревд;нных комбинаций. Результатом вычисления проверок дли принятой из канала комбинации является синдром. Если синдром нулевой» то принята кодовая комбинация (ошибок нет). При обнаружении ошибок декодер отбрасывает те принятые комбинации, которые имеют ненулевой синдром. При исправлении ошибок декодер по синдрому определяет положение ошибочных символов в принятой комбинации и инвертирует их.
304

1. Важнейшими параметрами помехоустойчивого код.! являются избыточность и минималь-ное расстояние. Избыточность численно равна относительной доле проверочных символов || кодовой комбинации. При увеличении избыточности расширяется полосу частот, занимаемая канальным сигналом, или уменьшается скорость передачи информации. Одновременно растет корректирующая способность кони (число обнаруживаемых или испра11лце-мьп< ошибок). Минимальное расстояние кода d раино наименьшему числу ошибок, которое может превратить одну кодовую комбинацию в другую (и которое не будет обнаружено кодом},
К. Для кон едрукти иной реализации процедуры кодирования можно и с пол ковать линейные блоковые коды, б частности циклические коды. Для этих кодой можно оценить величину минимального кодового расстояния (л следонательио, и •-шергетический выигрыш (ЭВК) от применения кодирования), достаточно просто реализовать устройство кодирования и дско-ЛИронания с обнаружением ошибок.
9. Для конструктивной реализации процедуры декодирования с исп pit гением ошибок, и том 'теле и в каналах с группированием ошибок, можно использовать подкласс линейных кодов, таких как БЧХ-коды или мажоритарные коды. Весьма перспективным является использование и таких каналах каскадных кодов, где в качестве инешних кодов ис пол дуются PC-коды.
10. Исполь.юнанис свёрточнь^ кодов и АВ или АКН позволяет достаточно конструктивно реализовать операции совместной демодуляции-дскодиронания (мягкое декодирование).
П.Для построения ансамбля сигналои, передаваемых и о грая и чей но и полосе частот или в каналах ^ МСИ. целесообразно использовать решётчатые коды i; многократной амплитудно-фазовой модулчцисй, а совместную дсмодуляцию-дскодиронание реализовать е помощью АКН или АВ,
12.При практическом использовании помехоустойчивых кодов главным ограничением является сложность устройства декодирования, которая моя;ет быть выражена либо числом логических сясм к декодере, либо числом вычислительных операций, необходимых для декодирования. Поэтому среди кодов, обйс починающих заданный выигрыш, следует выбирать те, которые допускают менее сложную реализацию, либо, наоборот, при заданной сложности декодирования следует выбирать коды, обеспечивающие наибольший выигрыш.
ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
71  Какие классы кодов [по назначению) Вы .ihbctc?
7.2. Закодируйте сообщения источника с объемом алфанита К = 16 примитивным кодом. 7.1 Постройте оптимальный префиксный код для источника е объёмом алфавита К =6, если Еизроягности сообщений Р(^)=П,05, Р(^)=0^-, /'(a^O.Ol; Р(^)=ОЖ Р[^)=0,\5.
/'(г^)-0,35 . Какоиа средняя длина кодовой комбинации полученного кода'.' Какова наименьшая средняя длина кодовой комбинации, предсказываемая первой теоремой Шеннона? 7-4- В чсы заключается метод укрупнения алфавита?
7.5. Поясните различие между равномерным и неравномерным кодированием.
7.6. Дайте определение префиксного кода.
7-7- Как с помощью кодового дерЁва проверить, является ли код префиксным?
7.^ Поясните различие между линейным и нелинейным кодом.
7.9. Дайте определение систематического кода.
7.10. Что такое избыточность помехоустойчивого кода'?
7. П. Что такое относ итсльнуя скорость помехоустойчивог-о кода'?
7.12. Закодируйте кодом с общей проверкой на четность сообщения дискретного источника с объемом алфавита К= и.
7.13. Закодируйте кодом Хэмминга сообщения дискретного источника с объемом алфавита К= ]6.
7.14. Докажите, что код с общей проиеркой на четность и код Хзмминга являются линейными.
7.15. Что такое расстояние по Хуммингу и вес кодовой комбинации'-'
7.16. Чему равна избыточность и относительная скорость кода с общей проиеркой на четность (4, 3) и кода Хэмминга (7, 4)?
305

7.17. Что такое минимальное расстояние кода?
7.18. Как орошается процедура отыскания минимального расстоянии для линейного кода?
7.1У. Как связаны минимальное расстояние кода, число исправляемых и число обнаруживаемых ошибок?
720- Чему равны минимальное расстояние, число обнаружинаемык и число испратЕляемых ошибок для кода Х^мминга {7, 4) и кода с общей проверкой на чётность (4, З)?
7.21. Что такое декодирование по максимуму правдоподобия и по минимуму хэммингава расстоянии.? Когда эти правила совпадают?
7.32, Найдите выигрыш по вероятности ошибочного приёма сообщения при и спол новации
кода хэмминг-j ы 2СК с вероятностью ошибки ;i=5'10"2-
7.23. Что такое энергетический выигрыш кода (ЭВК) и как он определяется?
7.24. Найдите энергетический иыигрыш кода Хзмминга (7, 4) в канале без памяти с рэлссв-екими замираниями для диоичной системы сигналов, ортогональных н усиленном смысле при заданной эквивалентной вероятности ру,
7.25. В чём состоит табличный метод кодирования, декодирования с обнаружением ошибок, декодирования с исправлением ошибок? Почему табличные процедуры не пригодны дли
длинных кодов?
7.2Ь. Вероятность ошибки в 2СК равна />=0,01- Чему равна вероятность необнаруженной ошибки при использовании кода Хэмминга 17. 4) и кода с обшей проверкой на чётность
(5. 4)? 7.27. В чем состоит метод перемеження канальных символен для кодирования в каналах с
памятью? Нарисуйте схемы перемежитсля и деперсмсжителя для не пользования соиме-
стно с кодом (5,4). 7.2Й, Как использовать помехоустойчивый код в системе с обратной связью? От чего зависит
остаточная вероятность ошибки и сквочная уффсктивность г[.
7.29. Что такое синдром? Как он используется при декодировании с обнаружением ошибок и при декодировании с исправлением ошибок?
7.30. Как ц матричной форме задать процедуры кодирования и вычисления синдрома для линейного КОД,!?
7Л. Как задаются процедуры кодирования и вычисления синдрома для полиномиальных кодов?
7.32. Дайте определение циклического кода.
7.33. При колоном ограничении v = 4 и скорости кода R = 1/2 нарисуйте кодер свёрточного кода (13,10), Задайте порождающие полиномы кода.
306

ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ
8.). КРИТЕРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ПРИЁМА НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ
Непрерывные сообщения того или иного источника (речь, музыка и др,) могут передаваться через линию связи непосредственно или с помощью модуляции- В первом случае передаваемый сигнал пропорционален передаваемому сообщению //(;) = kb(t}, где k - постоянный множитель. Во втором - сигнал //(/, b(f)) является некоторой функцией передаваемого сообщения Ь(!). При ЧМ и ФМ, например, эта функция нелинейна, а при ДМ и балансной модуляции {БМ) - линейна. Отсюда происходят названия линейные и нелинейные виды модуляции.
Сигнал на входе приёмника представляет собой суммарное колебание полезного сигнала s(f, /'(/)) и шума N(!):
Z(,!)^.^bW 4- N(t).                                                 (8.1)
Шум /V(;) будем здесь предполагать стационарным гауссовским процессом с односторонней спектральной плотностью мощности n[).
Задача состоит в том, чтобы из входного колебания Z(;) получить
(восстановить) выходной первичный сигнал /)(/), наименее отличающийся, g смысле некоторого критерии, от переданного сообщения Ь{!). Воспроизводимое с некоторой погрешностью сообщение &(/) называют оценкой сообщения (процесса). Таким образом, задачу приёма непрерывных сообщений можно рассматривать как задачу получения оценки процесса, В частном случае, когда s(l, X) есть функция некоторого параметра ^, не зависящего от времени, задача сводится к оценке параметра сигнала s(f, X), При непосредственной передаче в неискажатощем канале (с коэффици оптом передачи у) s(f, Ь} = уА(1), что соответствует линейной связи между сигналом и сообщением, вычисление оценки
/i{f} сводится к линейной фильтрации сигнала s(t, Ь). При передаче с помощью
модулированных сигналов s(r, Ь} оценка сообщения b(l) в приёмнике определяется (вычисляется) демодулятором. Во многих случаях ата обработка сводится к тем или иным методам фильтрации и может осуществляться как до детектора, так и после него. В обычном приемнике (например, рад и о вещатель ном) додетекторная обработка производится с помощью полосовых усилителей, обеспечивающих необходимую частотную избирательность сигналов на входе. Функцию же поел едете кто? я о и обработки выполняют усилители низкой частоты, которые усиливают и фильтруют низкочастотный первичный сигнал b(f),
поступающий на вход оконечных устройств (громкоговорителя, магнитофона и
т. п.).
Оптимальный демодулятор в общем случае представляет собой нелинейное устройство (нелинейный фильтр), обеспечивающее наилучшее (по заданному критерию) выделение сообщения b(_f) из принятого сигнала Z(f). Теория оптимального приёма непрерывных сообщений впервые была разработана В. А, Ко-тельниковым,
307

Мерой помехоустойчивости при передаче непрерывных сообщений может быть степень "отклонения" полученной оценки я,/) от переданного сообщения b{t)- Обычно применяется среднеквадратическое отклонение или средний квадрат ошибки.

где усреднение берется по всем возможным реализациям b(f) и b[t) с учетом совместного распределения w(b,b). Разность &(/') = й(^)-й(/) можно рассматривать как реализацию помехи Е(?) на выходе приемника. Величина EЗ{f)=P^ -мощность помехи на выходе приёмника. Мощность передаваемого сообщения В(!) считается заданной Р^ =B2(t)- Тогда можно определить отношение сигнал-помеха (ОСП) на выходе приёмника ррц>; =/i//^ • ОСП на входе приёмника P^'^/^oi- Е40 многих случаях в качестве критерия помехоустойчивости принимают не средний квадрат ошибки E^(f), а ОСП р,^, Отношение сигнал-помеха в канале, как уже отмечалось, может быть улучшено приёмником. Это улучшение зависит не только от способа приёма, но и от вида модуляции- По-атому помехоустойчивость систем передачи непрерывных сообщений удобно оценивать вьп^ышем

При g > 1 отношение сигнал-помеха при демодуляции улучшается, В некоторых случаях g < I, что означает, что система модуляции даёт не выигрыш, а проигрыш, В различных системах сигналы могут иметь различную ширину спектра, и поэтому при сравнительной оценке систем связи следует определять реальный или "обобщенный выигрыш системы" через отношение мощностей сигнала не к мощностям помехи, а к их средним спектральным плотностям:

где

I1' — ширина спектра сигнала, ^ — ширина спектра сообщения. Заметим, что в системе непосредственной передачи, в которой сигнал пропорционален передаваемому сообщению ^ Ь) = у/»(0, F'= F^ и рцых ^ pexi выигрыш (7J) и обобщённый выигрыш (7.4) одинаковы; g=g'=\. Это означает, что введённый
критерий выигрыша сводится к сравнению систем передачи модулированных сигналов с системой непосредственной передачи- На практике используют и другие критерии верности передачи непрерывных сообщений, например критерий разборчивости при передаче речевых сообшений. критерий максимальной

зоа

8.2. ОПТИМ^ИЬНАЯ ОЦЕНКА ОТДЕЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА
Задача оценки параметров сигнала возникает во многих практических случаях, Так, часто требуется определить (измерить) частоту или фазу сигнала, оценить амплитуду сигнала при его передаче по каналу и т.д.. В телеметрии и телеуправлении необходимо оценивать большое число параметров, характеризующих состояние объекта. Таким объектом может быть технологический процесс, нефтепровод, летательный аппарат, экипаж и т. п. В этом случае передаваемыми сообщениями являются контролируемые параметры, представляющие собой случайные величины, не зависящие от времени. Модуляция при утом сводится к установлению некоторого параметра А сигнала s(i) в соответствии с переданным сообщением, а демодуляция - к выявлению (оценке) этого параметра с возможно большей точностью,
В простейшем случае, когда оценивают один параметр сигнала заданной формы, задачу ставят следующим образом. Пусть принимаемое на интервале (0,7) колебание Z(/) представляет собой аддитивную смесь сигнала s(!,).}, зависящего от одного неизвестного параметра ^ с шумом N{f)'.

Полагаем, что параметр \ имеет постоянное значение на интервале наблюдения (0,7) и известна априорная плотность вероятности этого параметра <п(Х), Требуется определить оператор системы, гарантирующий получение наилучшей оценки параметра и рассчитать точность этой оценки,
Из-за шума в канале и случайного характера параметра А, точное измерение его невозможно. Можно лишь указать его приближенную оценку.

Очевидно, вся информация о переданном параметре (сообщении) ^ nocni приема колебания (8,5) содержится в апостериорном распределении со(^|2), ко торое согласно формуле Ёайеса (5.5)

На основании анализа апостериорного распределения (8.6) принимается решение об опенке передаваемого параметра \. При больших отношениях сиг-иал-шум апостериорная плотность вероятности имеет наибольший максимум в окрестности истинного значения параметра \. Это обстоятельство указывает на
309

то, что в качестве оценки целесообразно взять то значение \ , которое обращает в максимум функцию w(^|z),
Во многих практических случаях априорная плотность вероятности ^(^) оказывается неизвестной и её полагают равномерной; w(\) ^= consi на всём возможном интервале Л, При этом координата максимума апостериорной вероятности будет совпадать с соответствующей координатой условного распределения ^{т\'>-}, которое определяет функцию правдоподобия- В этом случае правило максимума апостериорной плотности вероятности переходит в правило максимального правдоподобия. Здесь оценка параметра X. определяется из условия

Оценку параметра, получаемую по этому критерию, называют максимально правдоподобной. Уравнение правдоподобия (8.7) можно записать в эквивалентном виде:

поскольку In х — монотонная функция своего аргумента и, следовательно, корни (8.7) и (8-8) совпадают. Оценка определяется тем корнем уравнения (8.8), который соответствует максимуму функции правдоподобия. Другим весьма распространенным критерием оценки параметров сигнала является оценка по минимуму среднеквадратической ошибки. При этом критерий минимизируется
А
по К'.

т,е. оптимальной оценкой параметра является в данном случае математическое ожидание апостериорного распределения-Критерии ср ед н екв ад р этической ошибки является частным случаем более общего критерия, когда минимизируется МО некоторой функции потерь

Оценку, минимизирующую эту величину, называют оаиесовскои оценкоп, а критерий, основанный на минимизации (8-11), как и в дискретном случае [см.
(5,17)], - критерием среднего риска. При ф.-1)=\>.-Ц критерий минимума
310

среднего риска (8-11) переходит в критерий среднеквад рати ческой ошибки (и.9), В этом случае байесовская оценка определяется выражением (8,10).
Если (u(?-|z) симметрична относительно i,^ , что имеет место при большом
отношении сигнал-шум, то критерий максимума апостериорной вероятности и максимума функции правдоподобия совпадает с критерием минимума среднеквад рати ческой ошибки,
Если значение параметра ^ постоянно на интервале наблюдения и принятое колебание представляет собой аддитивную смесь (8.5) полезного сигнала s(f,^.) и БГШ N(l) со спектральной плотностью Л^/2, то вектор z, определяющий принимаемое колебание в функциональном пространстве, является слу-чайным гауссовским вектором, среднее значение которого .?(/,/-), а дисперсия совпадает с дисперсией шума.
Рассуждая так же, как в § S3, получаем

8 правой части этого равенства первый эксгюненцнальный множитель не
•зависит от ^ и его можно включить в постоянную. Второй множитель равен exp(-£'//V(i), где Е- энергия сигнала. В тех случаях, когда параметр \ неэнерге-гический, т,е, энергия сигнала не зависит от \, этот член также можно вк_ию-
•шть в постоянную k- При этом условии последнее выражение можно записать

Нетрудно убедиться, что для сигнала s(t), зависящего от нескольких параметров, функция правдоподобия w(^x) и апостериорная плотность вероятности
w(-/\\)  будут  определяться  аналогичными  выражениями,  в  которых
\={^,\.....^).
Отсюда следует, что при известной априорной плотности вероятности определение апостериорной плотности вероятности сводится к вычислению функции qW. Эта функция с точностью до коэффициента равна скалярному произведению пришедшего сигнала с ожидаемым вариантом сигнала .s(/, \). Её
311

часто называют корреляциоинь^ интегралом. Она определяет те существенные операции, которые нужно выполнить над z(t), чтобы извлечь всю доступную информацию о переданном сообщении \- Оптимальный приёмник максимального правдоподобия воспроизводит то сообщение \, для которого функция у(Ц
максимальна-
Пример. HililrH оптимальную оценку коэффициента передачи канил^ -/{амплитуду сигнепц, прошедшего ччрсэ канал), пол;|гуя, что приним.шмыи сигнал Z(t) == уд-(/) + N{f}, где i(!} - точно изьсстно на приёме. ;t МО - БГШ со спектральной плотностью No- Функция правдоподобии для этого случая согласно (Я-12)

Измеритель дг1я получении такой оценки может бьтгь реализован фильтром, согласодан-ным ь; сигналом s{t}/F. или и эквивалентной корреляционной схемой. Определим качество найденной оценки- Из (8.16) видно, 'ito при Т'-> ж {Е -> со) погрешность оценки
7
у-у =~ |iV(/W^)^ стремится к нулю, т-е данная оценка я|!ляе1ся состоятельной, несмсщсн-п
ной (поскольку /V(r)=0). Она является также эффективной при гауссовском шуме N{f). Дис-
\' псреия ошибки (имеющая ту^совское распределение) с уютом (ЗЛба) будет ^{i7^— •
8,3. ОПТИМАЛЬНАЯ ДЕМОДУЛЯЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
Определим условия оптимального приёма непрерывных сообщений. Пусть сообщений представляет собой некоторый стационарный процесс (первичный сигнал) с реализацией b(f). On может непрерывно изменяться во времени и принимать любую форму.
Для простоты анализа будем считать, что функция b(f) принимает значения от -1 до -i- 1, что реализации сообщения имеют конечную длительность Т и что их спектр практически ограничен частотами от 0 до Гс- Прч этих услйвиях функция b(t) может быть разложена по ортонормированному базису l^f^l и представлена в виде усечённого ряда

где ^ - случайные коэффициенты, определяющие передаваемое сообщение, При разложении в тригонометрический ряд Фурье ^ пропорциональны со
312

Таким образом, задача оптимального приёма непрерывного сообщения h{i) сводится к задаче совместного оптимального приёма совокупности многих параметров ^=(^i- A^ ..Дд). Эта задача является обобщением рассмотренной в § 8,2 задачи оптимальной оценки одного параметра,
Итак, по реализации :'(/) необходимо восстановить переданное сообщение b{f} с возможно большей точностью; хотя бы при слабых помехах. Для этого необходимо на основе анализа принятого колебания j</) найти максимум апостериорного распределения ir(b!z), которое на основе формулы Байеса может быть представлено в виде

где я - постоянный коэффициент. Функция правдоподобия w(z[b), входящая в
выражение (8,20), известна (для рассматриваемого гауссовского канала - это
гауссинское распределение). Априорное распределение w(b) зависит от вида и характеристик передаваемых сообщений Ь(1).
Выбор конкретной модели априорного распределения w(b) является не столь существенным |26]. Роль начальных, априорных сведений уменьшается с увеличением объема наблюдений. При большом объёме наблюдений алгоритмы обработки сигналов получаются асимптотически одинаковыми, т.е. мало чувстещпе-^ьными к априорному распределению. Поэтому ограничимся рассмотрением модели равномерного распределения и'(Ь) == согЩ, В этом случае решение задачи упрощается, так как согласно (К,20) апостериорное распределение w(b\z) будет полностью определяться функцией правдоподобия ^(z|b). которая для гауссовского кан^цт определяется выражением, ажшогичным
/R ПУ

Согласно этому выражению максимуму функции правдоподобия w(z b), a
1:лсдовательно, и функции ^(Ь|/.) соответствует mhf'lhmvm по b(f\ интег-пала

313

Значит, оптимальный приёмник должен воспроизводить сообщение b(f).
которое соответствует, как и при передаче дискретных сообщений, тому из
/ .'\ возможных сигналов s\/,bf, который меньше других отличается в среднеквадра-
тическом смысле от реализации сигнала z(t) на входе приёмника,
При отсутствии помех такой приёмник воспроизводит сообщение без искажений (без ошибок): =(^) = s(f, Ь(!)}, b(f) = b(f) и E'(/) = 0, а при наличии помех
ошибка минимальна.

Отсюда следует, что при известной априорной вероятности определениь-апостериорной вероятности сводится к вычислению функции f/(b), т.е. скалярного произведения принятого колебания 2.(f) на переданные (ожидаемые) сигналы s(l,b(!')').
Во многих случаях для приближённого нахождения q{b} целесообразно применение простых следящие устройсти. Рассмотрим прииципиальиую возможность построения таких устройств- Подробное и более строгое обоснование на осноне теории нелинейной фильтрации приводится в § 8.8.
При псреяачк непрерывных сообщений сигнал s(l,b{!'f) не является полностью известным. Однако обычно имеется некоторая априорная информация об атом сигнала Известны, например, иссушая частота, вид модуляции, ширина спектра сигнала и т п. Часть информации можно получить в результате наблюдения h;vi принятой реализацией сигнала ?{!} за предшест-нующий промежуток времени. В результате имеется нозможность определить оценку сигнала
-vu, /)(/)) и вычислить функцию q\bf дли этой оценки:

Функцию q (b ) можно найти с помощью фильтра с переменными параметрами (рис, КЛ) или схемы следящего коррелятора (рис. 8.2). Каждая из этих схем имеет основной
информационный канал, на выходе которого получается оценочное значение />(/) перЁдавае-мого сообщения, и канал обратной связи, е помощью которого в схеме рис, Й2 формируется
опорный сигнал s\t,b(l)f. a u скеме рис. 8.1 с помощью упр.иэлнюшего а-иемента (УЭ) производятся изменения париметрои фильтра СФ так, чтобы он Был сопласонан i: непрерывно изменяющимся ожидаемым сигналом s\!,b(f)j. В ехсме рис. К.2 с помощью УЭ изменяется мо-дулирусмып параметр несущего колебания, формируемого генератором (Г). При частотной

314

модуляции, например, эгнм периметром будет ча<;1'от;1, при временной им пул ы;1 II? II модуляции - сдннг импульсов во примени и т.п. Фильтр нижних частот ФНЧ и этой схеме пыполняст poni. EiHT^i-p.JTopn на и те 1:1 ндл с наблюдении 7, который свя.^;Ч1 с максимальной 'i.ictotoh F,_ a спекпи; пер еда рас мо гс? сообщсЕШя соотношс1гш;м Т= \/[2Г^}.
Рассмотренные cxcmi.i я^яютси к liilJ hoi it и миль Fill ми. поскольку получаемая uu^hk;!
^V,/'(uJ ^ является н,1илучш<.н ло^млжной. При рлчлнчиых инда\ модуляции принцип i^-ic-
дпщсго приема остается одним и тем ж^ Вид модуляции определяет и;|р;1метр, -sa которым должно осуществляться слежение. Иначе говоря, оптимальный приемник должен с цанмень-ineli ошибкой следить ^;i персдЕшаемым слутйн^м колебанием ОД. Схемы следящего приема ппчволяял- практически ре ii.i н^онать помсхоустончньиеть, блччкую к иотеицшльЕЮй. При линейной модуляции, когда ^,A(/)) -= J{S}f'(!}, где/(/) - извеетнчя функцля (иесушес колсб.шие), пптим.уи.ный демодулятор можно рС|1Л[Пои;1Т1. | )-i:50 м книгой сксмой с еинхрончым детектором (рис, S.3).
Перейдем к определению помехоустойчивости систем связи при оптима-пь-ном приеме. Заметим, что уту потенциальную помехоустойчивость можно вычислить, не уточняя структуры оптимального демодулятора. Длл этого достаточно знать, что он выдаёт решение £(!), соответствующее минимуму (8.31).
Прежде чем приступить к ныводу формул, определяющих потенциальную помехоустойчивость, напомним основные принципы классификации видов модуляции при передаче непрерывных сообщении. R обшем случае модуляция заключается в том, что множество сообщений (первичных сигналов) B(f} преобразуется (отображается) ^ множество вторичных сигналов S[!) =• ^(г,й(;)|. Этой записью подчеркивается, что значение сигнала S в лекоторыи момент / определяется в общем случае всем поведением сообщения В{!) на всей оси времени.
В частном случае, если сигнал S(f) в любой момент / зависит не от всего хода сигнала Д(/), а только от его значения в момент г, то система модуляции называется прялгой. В этом случае сообщение Ь(5) входит непосредственно в выражение сигнала s(f}. К прямым относится подавляющее большинство применяемых метопов модуляции, например ЛМ. БАМ и ФМ. Остальные системы модуляции, в которых S(!} зависит от общего Еюведсния сигнала й(?), называются непрямыми. Среди них особый интерес представляют интегральные системы, в которых В(!) входит в выражение S(r) под интегралом.
Система модуляции называется линещюи, если S(f) можно получить из В(!) с помощью линейных операций. Линейные системы могут быть прямыми (например, амплитудная - AM) и непрямыми (например, однопа-юсная - ОМ),
Геометрически модуляцию можно рассматривать как отображение пространства В сообщений в пространство сигналов S, а демодуляцию - как обратное отображение. При демодуляции помеха n(-f) на входе приемника отображается н погрешность оценки сообщения (шум воспроизведения или шум на выходе приёмника) к(!}.
Рассмотрим приём непрерывного сообщения на фоне БГШ со спектральной плотностью /Vo. При достаточно слабом шуме n(t} погрешность
e{s}=b(i)-b{t) (шум на выходе приемника) представляет собой также гауссов-ский процесс со спектральной плотностью Д:(/), которую и будем определять. Для этого удобно воспользоваться геометрическим представлением. В пространстве сигналов каждой реализации сигнала s(l.b{!)) при различных Ь(!) соответствует точка. Если s(b) зависит непрерывно от b (что имеет мести но всех аналоговых системах связи), то все эти точки образуют некоторую кривую
315

(рис. 8-4). Принятый сигнал z{!) является также точкой в пространстве сигналов, как правило, не лежашей на кривой s(b). Максимально правдоподобная
оценка b[f) соответствует тому сигналу s{f,b(t)\, который изображается на сигнальной кривой точкой, ближайшей к точке т,- Обозначим Лт=^(/^(/))-д(?,А(?)), где b(l) - действительно переданное сообщение. При малой помехе и, следовательно, малом отклонении Д,г отрезок между s(b) и s(b) можно аппроксимировать прямой линией, которая является касательной к линии сигнала в точке s(b). Тогда As представляет проекцию вектора и на эту прямую. В этом случае справедливо представление^

Здесь n\(f) - составляющая (координата) шумового вектора в пространстве сигналов, представляющая низкочастотный гауссовский эргодический процесс с нулевым МО и со спектральной плотностью nq в полосе частот от 0 до Fc, Дй=й(?)-&(/), Тогда с учётом (8.25) в единичной полосе частот

]f При линейных методах модуляции предстсшление (8.25) справедливо для любой интенсивности помех^
316

/ -I \ 3
•П                                                                                                    I   ^1                                                                             ^,
При прямых системах модуляции —— не зависит от частоты. Таким обра-\дЬ/                              •
зом, при прямых системах модуляции шум на выходе приёмника квазибелый, т.е. имеет равномерный спектр в полосе частот р^
В случае интегральных систем сообщение В(!) входит в выражения сигнала

на выходе приемника для интегральных систем можно определить как СПМ производной ^'(/). На основании известной теоремы о спектре производной
C^{f!={^f) Gy{f), где G,„(/) определяется по формуле (8.28), если в последней вместо д^/дЬ подставить дк/д^. Таким образом, для интегральных систем СПМ шума на выходе приёмника

г,е, СПМ помехи на выходе приёмника в интегральных системах пропорционален квадрату частоты.
Все эти результаты справедливы для линейной модуляции или при пронзив
вольной модуляции для слабых помех, когда можно считать As^M—. Они ха-db
растеризуют так называемые нормальные ошибки (см.§ S.5).
Очевидно, мощность шума на выходе приемника в полосе частот от нуля

317

Используя теорему Шеннона (см. ^ 6.7), можно найти максимальные возможные значения выигрыша и обобщённого выигрыша при заданных параметрах системы связи. Рассмотрим этот вопрос для наиболее простого случая, когда непрерывное сообщение представляет гауссовский Процесс с равномерным спектром в полосе частот /\; (квазибелый шум), а в канале существует аддитивная помеха в виде квазибелого шума в полосе Fc односторонней спектральной плотностью N^. соглеюно теореме Шеннону передача сообщения с заданным значением I\/f\, = ро возможна в случае, когда Н\.(В) < С'. Здесь If,{В} - эпсилон-производительность источника, которая в данном случае согласно (@ 6.3.2) равна /^ log рд, а С' - пропускная способность шуссовского канала. раннаи согласно (6-ЙЗ)

где F - полоса пропускания канала и в общем случае b~ ^ /•i;.
В гипотетической идеальной системе связи, в которой полностью используется пропускная способность канала и рт.гу = рп

В реальных системах связи обычно удается лишь частично использовать пропускную способность канала. Назовем эффективностью t[ системы связи отношение эпсилон-производительности источника к пропускной способности канала, при котором обеспечивается заданная верность, т.е. р],^ = ро, Для такой реальной системы вместо (S.33) имеем

Из выражений (8.33) и (И.34) видно, что при t\f> F^ можно обеспечить высокую верность (большое значение р||^) при относительно малых рщ, т.е. получить большой выигрыш g.
Таким образом, выигрыш постигается в результате обмена ширины спектра на динамический диапазон, о чём говорилось в § 1.2. Большой выигрыш мож-
/•" но получить только при большом отношении а = —- Заметим, что большой
^ выигрыш может иметь место и при малой эффективности t|, и наоборот. Следовательно, при оценке различных систем связи необходимо учитывать по крайней мере два показателя: эффективность и помехоустойчивость. Совокупность этих двух показателей составляет достаточно полную характеристику системы,
Наилучшей считается система, которая обеспечивает наибольшую помехоустойчивость при заданной эффекти внести либо наибольшую эффективность при заданной помехоустойчивости.

1аким образом^ в идеальной системе выигрыш g возрастает с увеличением а по акспоненциальному закону. Никакая реальная система не может обеспечить при заданном а более высокую помехоустойчивость, чем идеальная,
31S

8.4. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ ПРИ СЛАБЫХ ПОМЕХАХ
Д'|я передачи непрерывных сообщений по каналу связи применяют различные виды модуляции. При синусоидальном переносчике на практике используют амплитудную модуляцию (AM), балансную модуляцию (БМ), однополосную модуляцию (ОМ), фазовую модуляцию (ФМ) и частотную модуляцию (ЧМ). Определим потенциальную и реальную помехоустойчивость этих систем.

предельное значение иыигрыша при ДМ рувно 1. Оно достигается гогда, когда т = L н
П = \. Практически всегда т < 1, li П > ], и поэтому я   < 1 и г   < 0,5, те, система AM
'   °ЛМ              "AM
дает проигрыш. Так, при передаче речи П ^ 3, и tow при щ = CJ,7 g   =- QAQ3 и g'   = U.05L
AM                      AM
Miinue зн.гюния выифыша при AM обусловлены тем, что лишь небольшая часть мощности
cni-H.uia заклю'1е.на л боковых полосах, несущие полезную информацию. Ои:до петель но. уст-рлнснис несущей в сигнале AM может привести к увеличению выигрыша, что и umcut mclto при б.шансной и 02|нополосной модуляции (бау несушей}.
При балансной модуляции (AM с подале него и нсс^тцси) сигнал формируется путем простого перемножения первичного сигналу В{!} п колебания псрйНосчиков Ц.со^п/.

" Модулиронанный сигнал является нестационарным процессом, и поэтому для нахождения
его средней мошности необходимо усреднять кивдрат сигнала по ансамблю и по времени.
319

Однополоеная модуляции, как известно, прсдстанляет собой просто перенос спектра первичного сигнала пиерх на частоту ^. Это линейная операция, при которой не изменяется ширина спектра, а также соотношения между мо|цностями сос-г^ляющих, Поэтому при демодуляции входная поме^,1 преобразуется в выходную таким же образом, k;ik и сигнал. Из эти?; соображений можно, не прибегая к громоздким вычислениям, записать йим = йим = 1' Таким образом, обобщенный пыигрыш при БМ и ОМ одинаков. Однако полоса чаетог, снимаемая сигналом при ОМ. в 2 раза меньше, чём при БМ.
Сисгемы ЛМ, БМ и ОМ — линейные, поэтому полученные выше соотношения для оптимальною приемник,! справедливы как при слабых, гак и при сильные помехах на иходс. Эти соотношения определяют предельную (потенциальную) помехоустойчивость систем-
Выяеним, реализуется ли эта помехоустойчивость при обычных способах приема, исполь-чуемых и реальных приемниках. При "линейном" детектиронании, как следует из § З.й предельные значения ^^ = 1 доетиг.чотся лишь при болыпом отношении с и гн а.']-шум. Легко показать, что при синхронном же детектировании AM колебания потенциальная помсхи-устончшюсть реализуется при проилюльном итношении сигнал-шум и канапе. Можно показать, что при детектировании сигнешое БМ и ОМ синхронным детектором потенциальная помехоустойчивость также реализуется при любом уровне шума на входе приемника-
Фаэовая модуляция также относится к прямым системам модуляции, однако к нелинейным, При фазовой модуляции сигнал можно написать и виде 5(/, В) = с^ео^Гшо/+ МВ{!)\, где М - девинция фа^ы или индекс (^ачоной модуляции. Для такого сигнала

Как видно, при ФМ выигрыш зависит от индекса модуляции и пик-фактора сообшения
Так как М может бы-гь больше единицы, то и выигрыш в ^тои системе можно получить значительно больше единицы. Платой за зтот выигрыш является расширение полосы частот, нанимаемой сигналом. Полученные соотношении справедливы для малого уровня шума на входе приёмника, так как сигнал S{!, В} при ФМ нелинейно ^аиисит or B{f),
Частотная модуляция относится к интегральным системам модуляции, потенциальная помехоустойчивость которой определяется на основании соотношения (R.39). Сигнал при ЧМ можно представить в виде S{f, В) = ^cos|ci)(]/ 'I- Д{иТ(0], где uni - дениация часто-

Здесь учтено, что при большом индексе модуляции Л'/ •-: Д//^ , а полоса сигнала
F^ IMF^ При ЧМ так .же, как и при ФМ, иыигрыш может быть значительно больше единицы; и достигается это •за счет расширения полосы частот сигнала (увеличения индекса модуляции). Частотная и фазовая модуляции я1!ляются примерами систем, а которых иерность передачи сообщений при данном уроине помех может быть повышеня не только •за счет увеличения мощности сигнала, как это имеет место при линейных видах модуляции, ею и за счет расширения полосы частот, занимаемой сигналом. Все эти ныноды и полученные иыше
320

^отношения для ЧМ, также как и для ФМ, справедливы лишь при малом уроине помех. Эти системы. как будет показано ниже, имеют ярко ныраженпый пороговый •эффскт-
Систецы с поднесу щи ми. В технике свя^и нередко применяют двойную модуляцию (см, § З.Г»), При этом передаваемым сообщением (первичным сигналом) модулируется испомога-тсльное колебание (поднесущая) с частотой f^„ а затем полученным модулированным колебанием модулируется другое колебание (несущая) с частотой /, х- /^. В многоканальных системах днойная модуляция позволяет осуществить частотное разделение каналои. В однока-n,L'ibHhix системах с поднесущей двойне! модуляция поэволяйт снизить требонания к стабильности несущей частоты, заменив его более легко ныполнимым требованием к стабильности поднесущсй частоты. Кроме того. такие системы, как ЧМ-АМ или ФМ-АМ примс1гяют и тех случаях, когда нельзя исполыюиать непосредственно ЧМ или ФМ из-ча селскгиины^ чамнр;!-нчй в канадс-
Ра^нообразие систем модуляции нозиоляст оеу[1|ествить 6o-ni.inoc число систем е нодне-^ущими. Практически применяют системы ОМ-ДМ, ФМ-АМ, ЧМ-АМ. ЧМ-ОМ, ОМ-ЧМ. 4^1-ЧМ н др. При малом уровне помех выигрыш систем с под несу щи ми опрсасляется та}С(м же методом, что и при обычной однократной модуляции с помощью формул (К. 32). Рассмотрим для примера систему ФМ-ЛМ. В •этой системе сигнал

Из (У,44) следует, ч-го обобщенный уыигрыш ранен прои^недению выигрышей при ФМ и ЛМ Легко уйёдити-я, что при любой системе с поднесущей, в которой модуляция несущей !1вляс-гс51 прямо!!, обобщенный выигрыш g' рлвен проиэвсдсиию выигрышей первой ,^'пц и йтирой^,, ступеней модуляции, т.с. ;?'=sr'. :-.g' ,
Сисганм с импульсной модуляцией. Согласно тиореме Котольникова непрерывное колебание й(0 может б|.|ть передано по линии свя^и с необходимой точностью путем передачн его суглельных мгноес}^гых ^ият^и^и-

юмты^ для моментов времени, отстоящих друг от друг,! н;1 неличину Л ^ \/1^ где /7.- наи-иьгс[||;1я час-гота, содержа i nay ся ь колейании В{!).
В система евя^и, основлнны^ h^i этом принципе [импульсных системах), для передачи колебания B{i} используется (см. § 5.7} периодичсек,^! последовательность нмпульсои

При этом один из параметров •?той последовательности изменяется li соотиетстьии с ии
мспсиием мгиииснных значений (и.45) перед a fi немого колебания. Тиким параметром ноя:е-быть, например, амплитуда импульса, момент его прихода (фача), его ширина и ^ictotj еде донаннч импульсов. Соответственно виды импульсной модуляции игиьшаются ЛИМ ШИМ
чим.

Для передачи колебания У(Д /) по р-1диок;1налу необходимо применить еще одну ступень
модуляции. При этом может быть использоиднл любня ич систем модулицни, рассмотренных ^ьлцс. Однако чаще нсего во иторой степени модуляции модулирован пая посдедоиательнисть
321

Эту операцию перемножения часто называют амплитудной модуляцией (хотя правильнее использоцать термин БАМ) и обозначают соответствующие системы сокращениями типа АИМ-АМ, ФИМ-АМ, ШИМ-АМ и тл,
Из всех систем импульсной модуляции наиболее помехоустойчивыми являются ФИМ и ЧИМ. Так как первая из них несколько проще, то для передачи сигналов по каналам сня^и используется почти исключительно ФИМ-АМ. Модуляцию АИМ и ШИМ в каналах связи практически не используют и применяют лишь и процессе обработки сигналов. Поэтому приведем только сведения о помехоустойчивости системы ФИМ-АМ [12L

Это совпадает с (8.42) для системы с частотной модуляцией- Следовательно^ потенциаль-ния помехоустойчивость системы ФИМ-АМ при оптимальном выборе параметров и системы ЧМ при том же значении & одинякова-
8.5- ПОРОГ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ. АНОМАЛЬНЫЕ ОШИБКИ
Все широкополосные системы модуляции обеспечивают высокую помехоустойчивость при условии, что отношение сигнала к помехе рьх на входе приёмника больше некоторого предельного (порогового) значения рдр. При рц^ < Рпор широкополосные системы теряют свои преимущества (резко снижается помехоустойчивость) и связь становится практически невозможной. Значение порога определяет предельную дальность связи при заданной мощности передатчика. Поэтому важно определить это значение и установить закон изменения отношения сигнала к помехе на выходе приемника за порогом (рпх < Рчор)- Д^ идеальной системы (^ ^ 1), согласно fSJ5) при р„ » 1

Графически этим уравнениям в логарифмическом масштабе соответствует семейство прямых. Для идеальной системы на рис. S.5 они изображены сплошными линиями. По оси абсцисс отложены не рву, а р'д^ = ар^ = P^I^^F^, т.е. отношение мощности сигнала на входе приёмника к мощности той части шума, которая лежит в полосе частот, равной ширине спектра сообщений ?с (а не в полосе спектра сигнала F ). Равенство F= F^ имеет место непосредственно при передаче, а также при однополосной модуляции. Для а=1 прямая
322

проходит череч начало координат под углом ТЕ/4; для а = 1 эти
прямые идут круге и пересекают ось абсцисс правее начала координат. Ддч реальных систем соответствующие     зависимости (S-53) представляют собой прямые, параллельные прямой, проходящей через начало координат под углом я/4. но сдвинутые на
величину обобщённого выигрыша g = gki. (на рис. 8.5 одна т таких кривых для ЧМ изображена штриховой линией). Если бы кривые для реальных и идеальных систем пересекались, то это

бы означало, что реальна система стала лучше идеальной. Очевидно, чти ато невозможно, и кривые для реальных систем располагаются всегда не выше соответствующих кривых для идеальных систем. Отсюда можно сделать вывод, что системы, дающие выигрыш при больших р^, не могут сохранять его постоянным с уменьшением р|^. Начиная с некоторого порогового значения этого отношения рц^, выигрыш системы резко уменьшается. Более того, выигрыш может стать отрицательным (проигрышем), если р'п„ < а. Чем больше q, тем сильнее сказывается пороговый эффект. Системы с с. < 1 вообще не подвержены пороговым явлениям, но они и при больших рвх не дают выигрыша. Зато они позволяют передавать сообщения по каналу с полосой пропускания, равной или меньшей ширины спектра сообщения. Для этого сообщение должно быть преобразовано в сигнал, спектр которого уже спектра сообщения. Чтобы получить высокую верность передачи в такой системе, необходимо имйть достаточно большое отношение мощности сигнала к мощности помехи в канале, поскольку при g<\ р^<р,„. На практике системы с а < I применения пока не находят. Для определения предельных (пороговых) значений р„,^, и р
необходимо совместно решить два уравнения (8.52) и (8.53), -i.e. найти точку
пересечения кривых для идеальной и реальной систем. В результате получаем

как видим, выигрыш g и, соответственно, пороговые значения р зависят
от параметра а, определяемых видом и параметрами модулчции, а также пик-фактором передаваемых сообщений.
Поясним теперь явление порот гсилютричсски. Для зтого iiocno.'ibJyc?,n:si понятиями нро-inpriHCTB,! сообщении и пр остра ircriiLi сигналов.. веденными в § 2.5. К^-дому шгпнлу ?(/), определи с.м ому КОНОЧНЫМ ЧИСЛОМ КООРДИНАТ, 1:СОТ11С-ТСТЬУСТ T04K;i 11 //-M^pllUM 11 рОСТра НСТВ1;, ГДС
if=2TF- 643ii t:[]i-H;ui;i, :i |Эш;^мблю воэмижных 1;нгн,1лов — некоторая иблас-п, ц этом про-струнстве сигнгиюн. При фиксирониннои мощности и6л;1с:ть во^можзгых сигналов npc;.n:T^iuiy-
ет собо1\ гиги;р1:фсру с р.щцусом !-,_= ^[Щ - ^277'Т7. li облить принитых колебании '/-{!} ^ lif) <- N{1} - сферу с р.щиусом r.,=^lTF[!'^ ^,) Вокруг к;1Ждон точки переданного
323

Кдк отмечалось, модуляция является отображением пространства сооошеннп на про-стрннстью сигналов а демодуляция - обратным отображением пространства принятых сигналов в пространстпо принятые сообщений (оценок). В общем случае размерность (база) пространства сообщений 2/^7'игличаетея от размерности пространства сигналов 2/Т.
Рассмотрим некоторый отрезок прямой в области пространств,! возможных сообщении (эта область определяется с учётом нормировки сообщения). При модуляции этот отречо!:
отобразится в некоторую линию ц пространстве сигналов, каждая точка которой сиотвстстьуст определенной реализации сообщения. Форма и длин,1 этой линии чависят от нид;1 модуляции. Помеха, наложи иш аяся т-rii сигнал, вызовет смещений точки s в некоторую точку i =s+- ui, соответствующую другому сообщению Ь(1)=Ь+АЬ, аналогично тому, k[ik было показано hi рис- М.4- Оченидно, чем больше &.ч/АЬ, тем меньше ошибка в принятом сообщении при топ
же помехе.
Для увеличении помехоустойчивости (отношения Дг/й/>) необходимо увеличивать д^ниу
линии сигналов, соответствующей данному отрезку в пространстве сообщений. Это можно сделать, расширяя используемую область сигнален (радиус /(.). Но поскольку' мощность сигнала ограничена, для этого нужно увеличивать базу сигнала, расширни его спектр. При этом линия сигнала может приобретать сложную изи[1лнету]о форму.
На рие. 8.6 показан пример такой линии сигналов, причем для наглядности использовано двумерное пространство сигналов (при одномерном простраис.твс сообщений). Заметим, что при линейной модуляции лн^ии сигнала и сообщений подобны и поэтому выигрыш в них невозможен, В случае широкополосных систем (например, ЧМ} линия сигнален имеет сложную извилистую форму- Длина линии уне.пнчниас.тея е увеличением полосы частот сигн.ша. Однако при ограниченной мощности сигнала это удлинение ведет к сближению различных ниткон линии сигнала. Пока помеха "мала" (например, п на рис. Й.б), точка принятого колебания 7- ^ s + п с большой иероя-пюетью попадает в окрестность точки передаваемого сигнала s и воспроизводится сооБщенис h , соответствующее ближайшей точке s , находящейся на рассматриваемом витке линии сигнала Сдниг А^ вдоль линии сигнала мал и определяет иорлтль-
чую ошибку Л/? и соответственно s7^) (К. 2). Такие ошибки ухудшают лишь качество оценки
сообщения. Сильная помеха (п' или п" на рис К.6} может перенеегн точку принимаемого колебания на другой ниток линии сигнала (точки s' и s"). Такие "перескоки" сишаны с поянле-нием так называемых а/юмалы'ы\~ ошибок, которые lie только ухудшают качество оценки сообщения, но делают ее совершенно ошибочно!]. Поянленне аномальных ошибок резко ухудшает помехоустойчивость связи и является причиной возникноийнич порога по мехо устойчивости в широкополосных системах модуляции (ЧМ, ОМ, ФИМ и т.н.). 04с1!1шно. в области порот гюмехоуего-ичииоегь передачи непрерывных сообщении можно характеризовать вероятностью аномальных ошибок р^, (оши&ок неоднозначности оценки}. Моисно ск^ать, 4то ие-роятность аномальной ошибки /?ац определяет верность оценки сообщения, а с реднск и;лдрати-
ческая ошибка е2^) определяет точность (качестио) ^той оиснки.
Вычисленные на основе более точной теории зависимости рц^ от р^ для ОМ, AM и ЧМ представлены на рис. 8,7, из которого видно отсутствие порога при ОМ и зависимость порога при ЧМ от индекса модуляции. Существует оптимальное значение индекса модуляции, при котором для обеспечения заданной верности приема рпьгн затрачивается минимальная мощность сигнала Л:п]]п-равная пороговой мощности /? „пр. Это значение можно найти из условия

324

Таким образом, оптимальный индекс модуляции тем больше, чем выше требуемая верность передачи (рвых)
Полученные теоретические значения порога для различных видов модуляции являются предельными, которые в реальных приёмниках могут быть достигнуты, но не могут быть превзойдены. По экспериментальным данным порог в системе ЧМ при обычном способе приёма наступает примерно при равенстве пиковых значений сигнала и помехи, что соответствует р„я существенно выше теоретического. Это означает, что при большом уровне помех реальная помехоустойчивость приёмника ЧМ значительно меньше потенциальной. Следовательно, имеется возможность усовершенствованием схемы приемника снизить порог помехоустойчивости и тем самым увеличить дальность связи при той же мощности передатчика. Эта задача особенно актуальна для спутниковых и космических систем связи,
Дтя снижения порога при ЧМ применяют различные схемы следящих демодуляторов, в частности схему с обратной связью по частоте, синхронно-фазовый демодулятор и демодулятор со следящим фильтром |Е2). Минимальный (предельный) порог помехоустойчивости достигается в схеме оптимального демодулятора (см. g 8.3),
8.6. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ. ФИЛЬТР КОЛМОГОРОВА-ВИНЕРА
Линейную фильтрацию широко используют в системах передачи информации для обработки сигналов, несмотря на то, что во многих случаях необходима нелинейная обработка. Объясняется это прежде всего простотой реализации линейных фильтров, которые сравнительно легко синтезируются, и существованием развитой теории их построения, чего нельзя сказать о нелинейных фильтрах,
Линейные фильтры являются неотъемлемой частью любого приемного устройства. С их помошью осуществляется как додетекторная, так и последетек-торная обработка сигналов. С помощью линейных фильтров сигналы че!сто разделяются в многоканальных системах передачи. Требования к этим
325

фильтрам могут быть несьма различными в зависимости от их назначения Здесь рассмотрим теорию оптимальной линейной фильтрации,
Пусть сигнал на входе линейного фильтра с импульсной характеристикой g(!) представляет сумму переданного сигнала S(!) и помехи N{i):

где 5(/) - оценка сигнала на выводе фильтра. Здесь считаем, что время запаздывания сигнала в фильтре /о = 0, а среднее значение берется по ансамблям сигналов ^ и помех N. Будем полагать, что S(l) и JV(?) - стационарные взаимно некоррелированные процессы с известными СПМ С/Д/) и G^(f), В такой постановке задача была решена независимо друг от друга А,Н. Колмогоровым (1939 г.) и Н, Винером (1942 г.), и поэтому оптимальный (в указанном смысле) линейный фильтр называют фильтром Колмогорова-Винера (ФКВ). Требование физической реализуемости фильтра, как известно, сводится к тому, что импульсная характеристика фильтра должна удовлетворять условию g^} = 0 для всех I =- 0. Это ограничение учитывается в записи

где ооласть интегрирования у дли физически реализуемого фильтра есть интервал (0, ^с), а для нереализуемых фильтров - (-ю, со). Иногда задача фильтрации решается в более общей постановке: найти оптимальную оценку сигнала S\l + г) при нахождении колебания Z(S) = S(l) -^ N(l) на текущем интервале (О, 7). Тогда при т ^ 0 будем иметь задачу текущей фильтрации, при г > 0 - задачу экстраполяции (фильтрацию с упреждением или предсказанием), а при т < 0 - задачу интерполяции (фильтрацию с запаздыванием).
Можно доказать, что необходимым и достаточным условием оптимальной линейной текущей фильтрации является условие

Это означает, что фильтр нужно выбрать так, чтобы ошибка Е(г)=5(/)-ЭД была не коррелирован^ со входным сигналом Z(t) во все моменты времени в области у. Если бы имела место корреляция между ошибкой и принимаемым сигналом, то при последующей обработке можно было бы получить лучшую оценку,
Доклжсм спр.шсдлшюсть ycJioiiHM (и.60). Пусть g}{!} - импульсная хирчктери^тчк^ опти-M;ijiiihoro фЕ1-']ьт|Х1, удои,-]ет]юрмющ1!1-о у^лоиию (8.60), g^{,!} - пмпульсн-^! характеристика любого другого линейного фильтр,!. Отклики фильтрои L.ooTBe'n.TiieHHo обозначим чсрсэ а'](/) н
.Sf/l. ТЛГД;-!

СЛ[:ДОИ:1ТСЛЬНО,
326

Это основное интегральное уравнение теории линейной фильтрации называется уравнением Винера-Хопфа, Его решением является искомая функция
g(t), минимизирующая средний квадрат ошибки Е2^).
Не следует п^г-ать оптимальные линейные фильтры, определяемые (R.61) или (8.62), с согласованными фильтрами, рассмотренными в § 5.4. Если основное нлзначйние рассматриваемые здесь фильтров состоит в наилучшем воспроизведении неизвестной формы сигнала, то задача согласованных фильтров заключается в формировании максимально возможного пика сигнала известной формы в момент отсчёта на фоне шума.
Уравнение (S-62) легко решается для нереализуемых фильтров, т.е. когда
у e(-a?,w). Для этого случая, применив преобразование Фурье к обеим частям (8.62). получим в частотной области

327

Мы не будем здесь обсуждать вопросы реализации фЕгльтра, характеристики которого приближаются к характеристике нереализуемого ФКВ, поскольку известен всегда реализуемый вариант фильтра, оптимальный по среднеквадр-.гги-ческому критерию, определяемый методом переменных состояния (см. ниже
^ S.7),
Результаты оптимальной фильтрации можно существенно улучшить, если применить так насыпаемое предыскажение сигналя с последующе!] его коррекцией на приёме. Сущность метода предке креним состоит и том, что на передающей стороне сигнал s{!) пропускается через
фильтр с коэффициентом передачи ^i(/) - Полученный таким образом ьидоизмененный сигнал передаётся по каналу. На приёмной стороне включен другой фильтр ^д(/). Характеристики фильтров a"|(/) и /.';(/) выбираются так, чтобы обеспечить минимум срьднеквадрати-
ческои ошибки. Расчёты покрывают, что предыскажение дает тем больший выигрыш, '[ем меньше относительная ширина полосы перекрытия спектров сигнала и помехи. Предыскажение позволяет пере распределить мощность полезного сигнала is полосе частот канала так, чтобы обеспечить лучшие условия согласования источника сигнала с: каналом (в обшсм случае полезно стремиться к тому, чтобы сумма спектральным плотностей мощности сит-игиш и мощности помехи йыла постоянной ь пределах полосы частот кун.дпа). Это означает, 'ito предыскажение можно рассматринат)» как некоторое "линейное кодирование" непрерывного сигнал;!, полюляющсс уменьшить ошибку и улучшить использование пропускной способности канала.
Линейное предыскажение широко используется ч соиремениых системах сшии. Характерным" II этом отношении я^яются системы, в которых используется частотна^ модуляция. Согласно (^-41) плотность мощности шума на выходе ЧМ демодулятора увеличивается пропорционально квадрату частоты, так что верхние частотные составляющие еообшсния под-иержены шумам сильнее, чем нижние. Метод предыскажения и последующая коррекция по-знолмют снизить шум ии верхних частотах и тем самым сочдать примерно одинаковые условия для передачи как нижних, так и веркних частот сообщения
Слсдус-г отметить, что в результате предыскажении формируется новый сигнал с необходимыми снойстиами. Так is радиовещании и многоканальной р[Ц|ИОрелсйной и спутниковой связи с частотной мопулмпиен несущеи используется предыскажение, близкое к дифферении-рол;шию. В этом случае на вход частотного модулятора поступает не перничныи сигнал ЬЦ}, как что делается при ЧМ без предыскажений, а его пропчиодная db/d!- Поэтому пропорционально ВД изменяется не мгновенная чуетота, а мгновенная начальн;!»! фаза несущего колебания, т.е. формируется не ЧМ, а ФМ сигнал. Так как спектр шума на выходе демодулятора ФМ спгна.'!;! равномерный (и. 39), то тем самь1М » многоканальных системах обеспечинается один;1кои,1я помсхоуегончивость во всех частотных кан.длак, а в случае радиовещания - более качественное иоспроч^исдение речевых и музыкальных передач [13}.
328

8.7. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ. ФИЛЬТР КАЛМАНА
Из предыдущего параграфа следует, что нереализуемый фильтр Колмогорова-Винера является оптимальным для выделения (оценки) стационарного сигнала, Модулированные же сигналы имеют конечную длительность и не являются стационарными-
На основе метода переменных состояния (см, § 4.5) возможен другой подход, при котором определяют не сами характеристики оптимального фильтра, ei дифференциальные уравнения, моделирующие этот фильтр. В теории нелинейной фильтрации такой подход был применен РЛ Стратоновичем (1959 г,), а в теории линейной фильтрации - Калманом и Бьюси (1960 г,)- Метод переменных состояния (дифференциальных уравнений) позволяет решить более общую
задачу - выделение с наименьшей погрешностью k(l)='E^f}-^[B(,f)~-B(f)T сообщения b(t) из наблюдаемого на конечном интервале времени сигнала Z(;) = s(l, b) 4- N(l). Условие стационарности сигнала и помехи в рамках этого метода не является обязательным. Относительно фильтруемого сообщения B(l) дополнительно предполагают, что оно порождается линейным стохастическим дифференциальным уравнением. В частном случае используется уравнение, рассмотренное в § 2-9:

где /V](f) - БГШ (порождающий процесс) с нулевым средним значением Л^,(?)-=0 и односторонней СПМ N\- Физически это означает, что сообщение рассматривают как результат прохождения стационарного белого шума N\(!} через линейную цепь, в данном случае через интегрирующую цепочку RC. Для такой цепи постоянная ol = \/(RC}. Сформированное таким образом сообщение B(l) является гауссовским марковским процессом^ с функцией корреляции

Спектральная плотность мощности такого сообщения

В более общем случае сообщение описывается системой линейных дифференциальных уравнений. Большой практический интерес представляет то-факт, что методы дифференциальных уравнений позволяют синтезировать он тимапьный фильтр рекуррентным способом, обеспечивая удобство его реализа ции при использовании современных ЭВМ или микропроцессоров.
Рассмотрим случай линейной фильтрации, когда наблюдаемый процесс не входе фильтра задан уравнением

а сооощение b(l) - уравнением (8,67), Здесь f(_l) - известная функция (несущее колебание); &(/)/(') = s(f, Ь) - полезный сигнал; N(t) - белый гауссовский шум
1? Реальные сообщения, кик. правило, не яцлиются марковскими, поскольку зависимость между отдельными сечениями более сложна Тем нь: менее, марковская аппроксимации описына-ет реальное сообщение лучше, чем аппроксимация процессом с финитным спектром, у которого сечения, разделенные котельнико неким интервалом, вовсе ш; коррелирован ы.
329

(не обязательно стационарный) с нулевым средним значением N(t}=D и одно' сторонней спектральной плотностью N^. Уравнение (8.70) является уравнением наблюдения, а (8,67) - уравнением состояния. Для получения уравнений фильтрации можно, как и в g S-6, исходить из условия оптимальной линейной фильтрации (8.60). На основе этого условия выводится рекуррентное соотношение, которое позволяет получить следующее уравнение [26]:

Уравнения (8.71) и (8.72) принято называть уравнениями фильтра Капмана (ФК). Уравнение (8.71) определяет алгоритм формирования оценки, а следовательно, и структурную схему фильтра, а (8.72) - ошибку фильтрации k=^?{t}.
Структурная схема, моделирующая уравнение (8.71), приведена на рис, В.8, Построение схемы удобно начинать с интегратора. Для этого обозначим правую часть (8.71) через
y{f)=y^t} +у?(;), где ^|(/)=^/M[^)-/(^^M^^(f)^       Тог^ уравнение (S.71) запишется как db/£/i=y[s). Отсюда следует, что если на цкод интегратора подать напряжение у{1), то
на его выходе получим оценку сообщения b{f), Для того чтобы сформировать напряжение
Y[{f), необходимо иметь генератор Г несущего колебания /(?)» дда перемножителя, сумматор и усилитель с коэффициентом усиления 2k/No. С помощью этих устройств осуществляются все операции, входящие и выражение для y^f)- Напряжение у^(Г} получается с помощью усилителя с коэффициентом усиления а^ на вход которого поступает напряжение оценки Ь(!), Суммарное напряжение у(/) = у[{/) + у^(1) с выхода сумматора поступает на вход интегратора, выход которого представляет оценку b(i). Длн немодулированного сигнала, когда s(l, Ь} = Ь{/), в
(K-7L) и (К.72) нужно положить^) = 1, и схема фильтра Калмана примет более простой вид (рис. 8.S, б).

330

Ур.ишение (R.77) можно модели ронять линейным фильтром разомкнутого типа (рис. К.9) с лостояшюн времени RC = /Да + k/N^}. Постоянна А, ршн.^ ошибке фильтр.щии, определяются из уравнения (М.72).
К.1К 1И1ДНМ, ОПТ11М;1ЛЬНЫИ (рКЛЬТр (ДСМОДуЛЯГОр) Д-1Я
снгн.шор. (Й-73) представляет собой l's^mv кш-срентного
(СИНХРОННОГО)  ДСГСКТОр^   <;   ИНТСГрИруЮЩИМ   RC-
фильтром. В случ.ю обычной AM с несущей, когд,! ^[^ Ь} = УД! -+- tiib(r)}s.[iuifiS. синхронный детектор ri,]-

дс.чяет огибающую /-.'ц-ггп^^)!, и поэтому ллц полуюнии ни пыходс оценки июищсиия fl
С1сму inc'iKk'ieHt,] разделительный конденсатор, устраняющий постоянную сост-юляющуго l'!|, и ;1ттенюутор А с коэффициентом ^1тух;1ним \/i,/nUi)). /Liu нсмодулнроьиниого сигнал;! е.огдп /(;) = 1 и s{!} = й(/), уршжение оценки (^-7ft) принимает ыщ

Это урЕшнсние моделируется интегрирующим фильгром с носточннон времени RC = 1/(о + Ik/Ng} [i усилителем с ко •?фф и цистам ус'|];]сния 1k/N^. Моя;но no^ri.iTi., 'ito в -jtom случуе, когда сигн.т s{l} и шум !V(/) 1:т,щпон,1рны. ФК соиертечно ^кии^лснтен ФКВ. Однако для решения многих практические ^;vi;ri гюрайотки '-пгн.уюв и. в 'тстногти, данные телеизмерении, фильтры K.uiM.iHa по вычислительно к ^труктург ок;1^;1Лись бсэлсс yдoбhl^,]\lll, чем ре,1ли^уемые наричнть] фильтров Колмогорон;1-В[1нерч.
8.8. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Во многих случаях сигнал s(l,b} (например, при ЧМ, ФМ, ФИМ) является нелинейной функцией передаваемого сообщения, и уравнение наблюдения становится нелинейным. Может быть нелинейным и уравнение состояния. Основополагающие результаты по теории нелинейной фильтрации, из которой, в частности,   следуют   и   результаты   линейной   теории,   получены P.JL Стратоновичем. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах В.И. Тихонова, КК., Кульмана, Ю.Г. Сосулина и многих других авторов |26|, В настоящее время теория нелинейной фильтрации наиболее разработана доя двух случаев, сообщение b{f} моделируется гауссовским случайным процессом или представляет собой марковский процесс. Здесь остановимся лишь на теории фильтрации одномерных марковских гауссовских процессов, порождаемых линейным дифференциальным уравнением (8.67). Уравнение наблюдения задано в виде

где sl;, о) - нелинейная функция о(/}. Как и в предыдущем случае, шум /V(0 считается белым гауссовским с нулевым средним значением и односторонней
СПМ ,Vo.
Не нарушая общности и ураиненин (И, 67), можно положить а'] = 4/а. Turaa fi(/) будет
нормироцанн1.1М безразмерным прицелом с единичной дисперсией [мощностью), ;i шмьне-
•' -i i
JJ 1

ни" глубины модуляции того или иного параметру скажутся лишь на коэффициенте (индексе) модуляции-
Поскольку процесс, описынцемый стохастическим уравнением (8.67). является марковским (диффузионным), изменения но времени его плотности вероятности &)(/?, !) определяются ушвпсписм Колмогорова-Фоке pa-Планка (2.30). которое в данном случае имеет вид

где Л^(0 - белый гауссоискии шум е нулевым средним значением и односторонней спектральной плотностью мощности Л^. Вес белые шумы. фигурирующие ц рассматриваемой за-д,1чс, i^likmho независимы, Раеполагач этими априорными данными, нужно нуйтп устройство, которое ^ы с наименьшей погрешностью воспроизводило изменяющееся во времени случайное колебание Ь(!).
Если к качесшс критерия оптимальности используется критерий среднекиадратичеекой ошибки

ТЕчсим образом, для вычисления оптима-чшои оценки и ее погрешности нсооходимо 'jti;iTb плотность апостериорного распределени w{b\t^ которгш согласно формуле Байеса (S.6) определяется двумя множителями w(h) и iv(zlb) (ем. (и.20)), Плотность нероятиости i^b) фильтруемого процесса h[l}, удовлетворяющего (Я. 67), опреде;гяется из (В,ВО}- Услопная плотность иероятности ir(z|b) (фикция правдоподобия) легко находится из уравнения наблюдения (У.79), Так как сигнал s{S, h} янляется известной функцией аргументов S и &, а шум имеет гауссокскос распределение, то и ii'(ztb) также будет гауссоискям. При этом оценка h(i) яи-оя-
стся оптимальной не только по критерию минимума среднекиадратичсской ошибки, но и по критерию максимума апостериорной вероятности,
Апостериорная вероятности содержит всю информацию о передаваемом сообщении !>(f}, которую можно извлечь из наблюдаемого сигнала ^{1} на интервале (0, 7) и априорных сведений о b(f). Б работах РЛ. Стратонович,! показано, что апостериорная плотность вероятности w{i\ b) реализации h{.f} и конечный момент времени наблюдения определяется следующим нелинейным диЕЫЬсоенцняльным уравнением |26|.

332

Уравнение (i^85) определяет полную процедуру фильтрации сообщения на фоне белого шума. Оптимальное приемное устройстио должно моделировать уравнение (Я.Й5) и определять
оценку b(S\, соответстнующую максимуму апостериорной вероятности, В общем случае аналитическое решение этого уравнения оказывается трудной .чадачей. Схемы оптимального приемника при •этом весьма сложные. Для получения более простых схем целесообразно ислоль-ношп-ь приближённые решении. При достаточно больших отношениях сигнал-шум и большом
лремени наблюдении! есть основания ечп-тть, что апостериорная плотность иероятиостн приближенно гауссовекая-

Такую аппроксимацию wi.a'i) в теории нелинейной фильтрации принято называть гаус-соьским приближением, а получающийся при 'этом алгоритм обработки колебания '(/) - ква-эиоптимальным. Решение задачи в этом случае существенно упрощается, так как апостсриор-Hilsi плотности вероятности (8.89) определяется весго дRy^ы параметрами: средним чначением И/) | определяющим оптимальную оценку передавиемого сообщения Ь{^, и дисперсиеН о^(/),
характеризующей ошибку фильтрации.
Если считать коэффициент сноса А^{Ь, ff линейной функцией Ь, а коэффициент диффу-•жн Af{h, f) = сопато после подстановки (8.R9) в (8.85) и несложных вычислений получим
для определения b(f} и <^(0=^) систему hj двух обыкновенные нелинейных дифференциальных уравнений:

Таким о&разом, задач.1 оптимальной фильтрации в гауссоиском при&лнжснип сиодитсн к совместному решению или моделированию уравнений (R.90). Система, моделирующим эти уравнения (нелинейный фильтр), будет нос про изводить переданное сообщение b{i} с мини-яильной срЁДнекиадратичиской ошибкой (по крайней мере, ц случ.ю слабых помех, когда оправдано гауесонскос приближение).

Рассмотренная теория нелинейной фильтрации мод;ст быть обобщена и на случай, когд;
передаваемое сообщение описьшаетея нег4усеот«жим м,1ркоиским процессом. При чтом имс сто уравнения (8.67) фигурирует нелинейное стохастическое дифференциальное: ураьнсние.
Другим обобщением является передача сигнала, модулироианного сообщением £(/), которое мойсно аппроксимиронать компонентой многомерного м,1ркоиского процесса |19].
Пример. Рассмотрим применение теории нелинейной фильтрации для синтезу оптимдль ных приемников в системах с фазовой и тастотной модуляцией,
Сигнил пои ФМ

333

Легко убедиться, что если подать напряжение y{l) на интегрирующую ль-цспь, |дс ЙС^ 1/а, то напряжение на конденсаторе будет равно й(г). Для того чтобы сформировать напряжение у{1), достаточно иметь автогенератор с частого и f^ модели рус мы и по фа'зе сигналом b{i) с индексом модуляции М, и перемиожнтель, осуществляющий умножение напряжения ;1ито генератора на вкодноб колебание z{S}. Амплитуда антогсисратора Уг = ЗАМ Уо/^^и). Коэффициент k определяют решением нелинейного дифференциального уравнения (Е.91). В данном случае для установившегося режима

Таиш оБрааом. опредЁЛнем один из ио^можнык ьарияитов схемы для получения опти-мильной оценки Ь{1), изображённой на рис И.10. Здесь ПГ - подстраиваемый генератор, фаза
которого модулируется е помощью управляющего элемента (УЭ). Это не что иное, как сдема авто подстройки <Ьачь] ацтогенеоатогэа по иходному колебанию г(?). Благодаря чтому она обла-

диет в известной степени своистиами симоре^лиро-нанич, в частности м<1лочувствнтельн^ к точности ус-гановки начальной ф^эи ipo автогенсрато]1а и его амплиэуды. Однако, если начальнд^ сраза подвержена эначнтельным (по величине и скорости) флукгуаии-ям, схема рис. У.Ю станопитсн далеко не оптимальной
Если фаза ip(r) флукт^Т1рует, то приходится решать уравнение соцме^-гной оценки fr(/) н ф(/) - В
этом случае структурная скема оптимального демодулятора ФМ сигнала несколько усложняется по сравнению i:o схемой рис- R.IO, так как теперь надо модулировать   управляемый   генератор   сигналом
е(0=л.д(/)+ф(?).

334

Несколько отличаются также коэффициенты усиления. Полученный фильтр представляет со бой схему фазовой аитоподстройки частоты (ФАПЧ) Заметим, что она <ш;1логи'ш;1 с^емс рис, 8.2.
Анилоппно определяют схемы оптим;1льн011 нелинейной фильтрации для другим нидои модуляции и для более сложных каналов.
8.9. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЦИФРОВОЙ ПЕРЕДАЧЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ
Для передачи непрерывны?; сообщений можно воспользоваться дискретным каналом- При этом необходимо преобразовать непрерывное сообщение в циф-posou сигнал, т.е. в последовательность символов, сохранив содержащуюся в сообщении существенную часть информации, определяемую его эпсилон-энтропией. Типичными примерами цифровых систем передачи непрерывных сообщений являются системы с им пул ьсн о-код о вой модуляцией (И КМ) м дельта-модуляцией (ДМ).
Как отмечалось в § 1.6, для преобразования непрерывного сообщения в цифровую форму используются операции дискретизации и квантования. Полученная таким образом последовательность квантованных отсчётов кодируется и передаётся по дискретному каналу как всякое дискретное сообщение. На приёмной стороне непрерывное сообщение после декодирования восстанавливается (с той или иной точностью),
Основное техническое преимущество цифровых систем передачи перед непрерывными системами состоит в их высокой помехоустойчивости. Это преимущество наиболее сильно проявляется в системах передачи с многократной ретрансляцией (переприемом) сигналов. Типичные системы подобного типа -кабельные и радиорелейные линии большой протяжённости- В них сигналы передаются по цепи ретрансляторов, расположенных на таких расстояниях друг от друга, которые обеспечивают надёжную связь. В таких системах помехи и искажения, возникающие в отдельных звеньях, как правило, накапливаются. Допустим для простоты, что сигнал в каждом ретрансляторе только усиливается, Тогда, если аддитивные помехи в каждом звене статистически независимы, их мощность на входе последнего звена равна сумме мощностей помех всех
звеньев^
Если система состоит из k одинаковых звеньев, для обеспечения заданной верности связи необходимо обеспечить на входе каждого ретранслятора отношение сигнал-помеха в k раз больше, чем при передаче без ретрансляций- В реальных системах число ретрансляций k может достигать несколько десятков, а иногда и сотен, накопление помех вдоль тракта передачи становится основным фактором, ограничивающим протяжённость линии связи,
При цифровых системах передачи для ослабления эффекта накопления по-мй при передаче с ретрансляциями наряду с усилением применяют регенерацию импульсов, т.е, демодуляцию с восстановлением переданных кодовых символов и повторную модуляцию на переприемном пункте. При использовании регенерации аддитивная помеха со входа ретранслятора не поступает на его выход, Однако она вызывает ошибки при демодуляции. Ошибочно принятые в одном регенераторе символы в таком виде передаются и на следующие регенераторы, так что ошибки всё же накапливаются. При использовании k регенераторов и допустимой вероятности ошибки р « 1 необходимо в демодуляторе
каждого регенератора обеспечить вероятность ошибки /?г не более чем 335

p/k. Однако в отличие от предыдущего случая для этого вовсе не нужно увеличивать отношение сигнал-помеха на входе регенератора в k раз- Так при передаче двоичных символов в канале с аддитивным гауссовским шумом и некогерентном приёме двоичные ортогональные сигналов ошибки определяются формулой (5.82), Если требуется обеспечить р < 10~5, то в системе без переприёма для этого необходимо иметь А2 = -2\п{1р} = 21,64, При использовании k = 1000 регенераторов следует обеспечить на каждом из них р\ < Ю"5 или h-i = 21ч(2р)~1^ 35,45, Для этого достаточно поднять мощность сигнала в 1,64 раза, а не в 1000 раз.
При цифровой системе передачи непрерывных сообщений можно, кроме того, повысить верность применением помехоустойчивого кодирования. Высокая помехоустойчивость цифровых систем передачи позволяет осуществить практически неограниченную по дальности связь при использовании каналов сравнительно невысокого качества.
Другим существенным преимуществом цифровых систем передачи информации является широкое использование в аппаратуре преобразования сигналов современной элементной базы цифровой вычислительной техники и микропроцессоров. Совокупность устройств, выполняющих преобразования входных цифровых сигналов в выходные цифровые сигналы на основе заданного алгоритма цифрового преобразования, называют цифровыми фильтрами (см- гл,10). По существу цифровой фильтр является специализированной ЭВМ или микропроцессором1). Больше того, на цифровой основе могут быть объединены в единой системе сигналы передачи данных с сигналами передачи речи и телевидения. Возможность приведения всех видов передаваемой информации к цифровой форме позволяет осуществить интеграцию систем передачи и систем коммутации. Простота сочленения цифрового канала с ЭВМ позволяет существенно расширить область использования вычислительной техники при построении аппаратуры связи и автоматизации управления сетями связи.
Отмеченные и другие преимущества цифровых систем передачи непрерывных сообщений позволяют предположить, что в ближайшие годы эти системы найдут более широкое применение, чем непрерывные (аналоговые) системы связи. Перейдем к рассмотрению структурной схемы цифрового канала передачи непрерывных сообщений (рис. 8,11). В отличие от непрерывного канала

}} Техника цифровой фильтрации и схемы цифровые фильтров на базе микропроцессоров
рассматриваются б курсе "Основы цифровой техники и микропроцессоры".
336

передачи в составе цифрового канала г1реду-смотрены    устройств для преобразования непрерывного сообщения в цифровую форму -аналого-цифровой преобразователь (АЦГ1) на передающей стороне и устройства л ре об раз о ва-ния цифрового сигнала в непрерывной - циф-ро-ал плотный преобразователь (ЦДП) на приёмной стороне,
Преобразование аналог - цифра состоит из    трёх    операции (рис. 8.12): сначала непрерывное   сообщение подвергается дискретизации по времени чере^ интервалы           Д (рис. SJ2. я), полученные отсчеты мгновенных   -я |ачений   &(АЛ) квантуются
(рис. 8.13, б), наконец. полученная последовательность квантованных значений h^(k^) передаваемого   сообщение Представляется посредством кодирования н виде  последовательности w-ичных кодовых комбинаций
(рис. а.12. е}.     Такое преобразонанис называется  импульсно- кодовой модуляцией (ИКМ). Чаще всего кодирование здесь сводится к .-щлиси номера уровне в двоичной системе счисления.

В дальнейшем будем рассматривать цифровые системы, в которых непрерывное сообщение преобразовано в последовательность кодовых комбинаций, составленных из двоичные символов.
337

Полученный с выхода АЦП сигнал ИК.М поступит или непосредственно в линию связи, или на вход передатчика (модулятора)^ где последовательность двоичных импульсов преобразуется в радиоимпульсы.
На приёмной стороне линии связи последовательность импульсов после демодуляции к регенерации в приёмнике поступает на цифро-аналоговый преобразователь ЦАП, назначение которого состоит в обратном преобразовании (восстановлении) непрерывного сообщения по принятой последовательности кодовые комбинаций. В состав ЦАП входят декодирующее устройство, предназначенное для преобразования кодовых комбинации в квантованную посдедо-натсльность отсчетов, и сглаживающий фильтр, восстанавливающий непрерывное сообщение по квантованным значениям.
Преобразование непрерывных сообщений в цифровую форму r системах ИКМ сопровождается округлением мгновенных значений до ближайших разрешённых уровней квантования. Возникающая при этом погрешность £(/) (рис. S.12, г-s) представления является неустранимой, но контролируемой (так как не превышает половины шага квантования) (рис, E.U, б). Выбрав малый шаг квантования, можно обеспечить эквивалентность по заданному к-критерию (см, g 6.7) исходного и квантованного сообщении. Погрешность (ошибку) квантования, представляю шую собой разность между исходным сообщением и сообщением, восстановленным по квантованным отсчётам, называют шумом квантования.
8.10. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ИМПУЛЬСНО-КОДОВОЙ МОДУЛЯЦИИ
Одной из причин, приводящих к отличию принятого сообщения от переданного в системе с ИКМ, является шум квантования, другой - помехи ь канале, которые накладываются на передаваемые сигналы кодовых комбинаций и могут вызвать ошибки. Ошибки в символах (при отсутствии избыточности) приводят к ошибочному декодированию всей кодовой комбинации.
В результате ошибочного декодирования символа действительно переданное дискретное значение сообщения заменяется другим возможным (не обязательно ближайшим), погрешность зависит от того, какие из символов кодовой комбинации приняты с ошибкой. Назовем эту составляющую шума шумом /южных iwny^bcoff. Таким образом, при оценке помехоустойчивости необходимо учитывать суммарный шум как за счет квантования, так и за счет ложных импульсов при декодировании.
Шум квантования не связан с помехами в канале и целиком определяется выбором числа уровней квантования. Его можно сделать сколь угодно малым, увеличивая число уровней. При этом придется увеличивать число кодовых символов, приходящихся на каждый отсчёт, а следовательно, сокращать длительность символа и расширять спектр сигнала в канале. Таким образом; так же как и при помехоустойчивых аналоговых видах модуляции, снижение этого шума достигается за счёт расширения спектра сигнала.
Шум ложных импульсов является аномальным (см, § 8.5). Он полностью определяется помехами в канале и видом модуляции несущей. При расширении спектра сигнала мощность аномального шума, как правило, возрастает.

Мощность шума квантования- Будем считать, что шум квантования 17ред-стпвляет собой стационарный случайный процесс ЕЮ11 с независимыми значениями отдельных отсчётов p,(fc) = b^kA)-b<,fcA), Если в качестве квантованного (округленного) значения b(kA) принимается ближайший дискретный уровень, п> шум квантования Е(А) при равномерном квантовании с шагом ДА находится
в пределах --^,^ . При большом числе уровней квантования L можно при-
L - z J нять, что шум квантования имеет равномерное распределение

где /; - число символов на отсчет (разрядность кода) при безызбыточном двоичном коде. Из (SJOO) следует, что верность квантованного сообщения зависит 01 ЧИСЛЕ1 уровней квантования. Выбирал его достаточно большим, можно уменьшить относительное значение шума квантования до любого допустимого значения. В табл. S,l приведена зависимость отношения I^jP^ от числа уровней   квантования    при   равномерном    распределении    сообщения
w{b) = OX- I < Ь < I), когда П ^ уз .
Из табл. 8Л следует, что добавление каждого двоичного символа в кодовой комбинации (увеличение разрядности кода) улучшает отношение P,JP. приблизительно на 6дБ. С другой стороны, увеличение разрядности требует повышения быстродействия многоразрядных кодирующих устройств,а также соответствующего расширения полосы частот канала передачи.
п Если шум KlUHTOBiini^i ВД нестлционирен. то полученное эн^шнис Е^) следует допспеэи-
тельно усреднять но времени,
339

Чаще всего распределение сообщения не является равномерным, и в полученные здесь цифры необходимо внести поправку. Для утого данные таблицы
следует уменьшить по модулю на 201g(n/V.3) дБ. При П = 3 (телефонные сообщения) •это составляет 4,8 дБ, а при П = 10 (симфоническая музыка)15.2 дБ.
Важной особенностью шума квантования; отличающей ею от аддитивных шумов, является то, что ол возникает одновременно с появлением сообщения B{t). С технической точки зрения шум квантования можно трактовать клк разновидность нелинейных искажений, возникающих в процессе квантования. Шум квантования не изменяется при ретрансляции сшналов, т,е, не накапливается, Его непосредственное измерение затруднительно, и поэтому для количественной оценки используют расчётные приёмы, один из которых рассмотрен выше.
Воздействие шума квантования на принимаемые сообщения можно заметно уменьшить, применяя неравномерное квантование, при котором большие уровни сообщения квантуются с большим шагом, а низкие уровни - с меньшим (рис. 8.13). Очевидно, что шум квантования при этом коррелирован с сообщением и имеет тем меньшую мгновенную мощность, чем меньше уровень сообщения. Это позволяет при том же числе уровней лучше различать слабые отрезки сообщения- Если распределение вероятностей сообщение такое, что большие уровни встречаются значительно реже, чем малые (что имеет место. например, при передаче речи), то неравномерное квантование сводится к тому. что часто возникающие значения B(S} передаются с меньшей ошибкой квантования, а редко возникающие значения B{f} - с большей ошибкой квантования. В результате усреднения по всем значениям дисперсия ошибки квантование будет уменьшена.
Одним из распространённых способов неравномерного квантования являет-

ся квантование с компанпарован'нем сигнала. Компандерная система представляет собой комплекс из двух нелинеЙЕ1ых преобразователей с взаимно обратными характеристиками - компрессора и экспандера (рис. R.14), Динамический диапачон входного сигнала "сжимается" с помощью компрессора на передающей стороне, затем сигнал равномерно квантуется. Комбинация эти^ операций эквивалентна неравномерному квантованию, причём закон изменения шага квантования определяется нелинейной характерно! и кой компрессора. После кодирования и передачи по линии связи на приемной стороне производится обратное  преобразование,   но с ста на вливаются

340

отсчеты с равномерным шагом квантования. Затем они подвергаются '^спапдя-pwiisifo., лри котором восстанавливается исходный динамически!! диапазон. В настоящее время чаще всего применяется компандиров^ние в цифровой форме. т.е. непосредственное неравномерное квантование.
Шум ложных импульсов при декодировании. Обозначим вероятность ошибочного приема одного символа кодовои комбинации через/?. Эта вероятность зависит от вида модуляции и находится по формулам гл. 5. Предполагая ошибки при приёме символен независимыми (каж1л без памяти), напишем выражение д.'1Ч Л/i - вероятности того, что коеп-ность сочетания ошибок составит /:

Вероятность того, 410 кодовая комбинация принимастсч хотя бы с одной ошибкой при пр « ].

При декодировании каждый символ кодовой комбинации о зависимости o-i снимаемого им места дает определенным "вклад" в декодируемое сообщение Если используется двоичный код, то ошибка в младшем разряде кодовой комбинации вызывает погрешность в выходном сообщении, рапную шагу кванто ешиия Д/>, ошибка но втором символе приводит к появлсе-гню в выходном сообщении погрешности Ъ\Ь и т.д. При этом средняя мощность шума. обусловленною дейсгвием ложных импульсов,

При фиксированном значении п = logL шум ложных импульсон зависит только от нероятности ошибок ^ когорая- в сною очередь, определяется отношением мощностей сигнала и помехи в канале и видом модуляции,
Как отмечалось, в отличие от шума квантования шум ложных импульсов никапдинается при ретрансляции. Однако и правильно спроектированных системах с ИКМ мощность сигнала превышает пороювую. при которой аномальном шумом ложных импульсов по сравнению с шумом квантования можно пренебречь. Прн этом условии верность приема практически определяется шумом квантование и может быть сколь угодно большой, если число уровней достаточно велико.
34}

В системах с ИКМ так же, как и в других помехоустойчивых (или широкополосных) системах передачи непрерывных сообщений, имеет место порог помехоустойчивости, т.с, верность приёма резко ухудшается, если мощность сиг-к;1ла упадет ниже пороговой. Из сказанного выше ясно, что эта пороговая мощность увеличивается с ростом числа ретрансляторов, впрочем, очень медленно. При этом пороговая мощность увеличивается и с ростом числа уровней квантования. Основная причина этого заключается в том, что чем больше число уровней, тем больше кодовых символов должно приходиться на один отсчёт и, следовательно, тем меньше длительность передачи одного символа.
Поскольку вероятность ошибки определяется •энергией элемента сигнала, то при сокращении его длительности приходится увеличивать его мощность. Впрочем, ато увеличение пороговой мощности также невелико по сравнению с соответствующим уменьшением шума квантования. Так, с переходом от 128 уровней квантования к 256 шум квантования уменьшается на б дБ (см. табл. ^Л). При этом вместо семи символов в кодовой комбинации приходится передавать восемь, так что длительность импульса уменьшится в Й/7 ь IJ4 раза. Для того чтобы сохранить прежнюю вероятность ошибки, нужно увеличить мощность сигнала в 1,14 раза, т.е. всего лишь на 0,6 дБ.
Следует отметить, что слабый шум ложных импульсов, имеющий место при работе над порогом помехоустойчивости, воспринимается (в телефонных системах) как более или менее редкие отдельные щелчки. Если мощность сигнала упадёт и окажется ниже порога, эти щелчки становятся частыми и сливаются в сплошной шумовой фон. Аналогичная картина имеет место и для аномального шума в аналоговых системах (например. ЧМ).
Высокая помехе устой ч и вое ть ИКМ систем достигается за счёт расширения спектра ИКМ сигнала по сравнению со спектром исходного сообщения. Найдём вначале минимальную ширину спектра ИКМ сигнала при основании кода т = 2. Бели ширина спектра исходного сообщения равна /•",:, ю минимальная частота дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова равна 2Fc- Каждый отсчет после квантования может принимать L = IB^^ji^b -t- 1 возможных дискретных значений и заменяется при кодировании комбинацией из и = [ogi двоичных импульсов. Следовательно, длительность каждого импульса не может быть больше, чем т„ = E/|2^1og£], а необходимая полоса частот определяется как F ^ 1/(2т^) = F^o^L. При двухполосной ДМ сигнал ИКМ-АМ будет занимать полосу частот
F=2F^L.                                             (^105)
Поскольку при ИКМ верность передачи определяется числом уровней квантования, то увеличение верности сопровождается расширением спектра НКМ сигнала по логарифмическому закону. Так, увеличение L в 2 раза приводит к увеличению ширины спектра сигнала в lo^2L/log; ^=(l+l/Iog; Ц раз.
Ширина спектра ИКМ сигнала зависит от основания кода т. при т = 2 ширина спектра ИКМ сигнала наибольшая, при увеличении т ширина спектра уменьшается.
Из изложенного следует, что в системе передачи с ИКМ, как и в помехоустойчивых аналоговых системах модуляции, производится "обмен" мощности сигнала на полосу частот. Принципиальная возможность такого обмена была показана в гл. 1. Однако в системе с ИКМ этот обмен осуществляется значительно эффективнее, чем в системах с аналоговой модуляцией. Действительно,
342

как было покачано на ряде примеров н этой главе выше, в помехоустойчивых системах модуляции, таких как ЧМ, ФМ, ВИМ, отношение мощности сообщения к мощности шума ьш выходе растет пропорционально квадрату ширины спектра сигнала (если мощности сигнала выше пороговой), В системе с ИКМ имеет место значительно более быстрый, экспоненциальный рост этого отношения. Действительно, ширина спектра пропорциональна числу // символов в кодовой комбинации, тогда как мощность шума квантования уменьшается ц соответствии с (8.ГОО) почти пропорционально 27'". Другими словами, пропорционально ширине спектра растет выигрыш системы, выраженный в децибелах.
Как было показано в S S.4, такой же характер зависимости верности от ширины спектра должен быть в идеальной системе модуляции, так что в этом отношении ИКМ ведёт себя как идеальная система. Более подробный анализ приводит к выводу, что при одинаковой ширине спектра выигрыш в ИКМ приблизительно hei и дБ меньше, чем в теоретически идеальной системе. В настоящее время не существует систем модуляции, более близких к идеальной, если спектр передаваемого сообщения равномерный. Поэтому система с ИКМ широко используется в тех случаях, когда высокую нерность необходимо обеспечить с минимальной затратой мощности передатчика, например в спутниковых системах. Более полное сравнение различных систем связи по их эффективности будет дано в гл. I i.
8.11, КОДИРОВАНИЕ С ПРЕДСКАЗАНИЕМ
В ряде важных случаев, например при передаче речи, телевизионных изо-Йражсний, данных телеметрии, между отсчётами передаваемых сообщений имеются статистические, в частности, корреляционные связи. Наличие таких взаимосвязей позволяет повысить эффективность систем передачи информации''. Рассмотрим один из распространённых способов ^ффсктмвлой передачи непрерывных сообщений - способ передачи с предсказанием (рис. 8,15). Последовательность коррелированных отсчётов b{k^} =• b{k) исхо?июго сигнала подают на один из входов вычитающего устройства, а нп его другой вход поступает сигнал предсказания Ацр(^), сформированный из предыдущих отсчетов. Полученный таким образом сигнал ошибки предсказания ?.{k) поступает в тракт передачи. Поскольку в сигнале ошибки как раз и содержатся новые сведения. представляющие разность между истинным и предсказанным значением, то такой способ передачи называется передачей с пр^дс.казанпе.м. Дпл упрощения считаем, что помехи в канале ошибок не создают. На приемном конце

п Как было noKsmi-io п ^ 2.2, .ж.псяья otc'icti-hi. i^[tlix 4cpc:i hhtl'pkui Котел ьим ко к.\, излим-но ncKoppcnnpoiSEiHLi, если спектр слобщснн51 js .3;i 11 и -мне мо и цм полосе 'Kit-roT р.-жломсрсн- Ни }{'л приюгике приходите л 'nil.io псрсд,И!;1ть i;oo6mcHiiM с. л^р.шномсрным спсктрим (н,|прнмс||.
343

имеется такой же предсказатель, как и на передающем. Поскольку он оперирует теми же предыдущими отсчётами, предсказанное им значение нового отсчё-
А
та b^.{k) будет таким же, как и на передатчике. Добавив к нему пржштос зни-чсние ошибки предсказания к(А), можно восстановить истинный отсчёт:

Очевидно, что чем сильнее корреляционные связи, тем точнее можно сформировать сигнал предсказания и, следовательно, тем меньшая энергия потребуется для передачи сигнала ошибки по сравнению с исходным сигналом, При сильных корреляционных связях, а также при марковских сообщениях значение а|||,(а) может быть предсказано по одному предыдущему отсчету:

где R=[B{]<)B(k-\}\l^ - коэффициент корреляции между отсчетами. Из (8.110)
следует, что при R > 0,5 энергия сигнала ошибки £;, меньше унергии исходного сигнала £/,, При R = 0,9 имеем £, = 0,2£/,.
При цифровых системах передачи отсчеты сигнала ошибки подвергаются обычным операциям квантования и кодирования. Результатом такого преобразования на передающей стороне является импульс но-код свое представление сигнала ошибки или сигнала дифференциальной имиульаso- кодовой модуляция (ДИКМ). В настоящее время известно большое число вариантов технического осуществления кодирования с предсказанием. Основное их различие сводится к различию операций формирования сигнала ошибки: в одних системах сигнал ошибки формируете;.] в аналоговой форме, а датем кодируется, и других - вначале кодируется исходный аналоговый сигнал, ei затем формируется сигнал ошибки.
В системах с ДИКМ обычно применяют неравномерное квантование сигнала ошибки, так как наиболее вероятны малые ошибки. Поскольку мощность шума квантования составляет определённую долю мощности квантуемого процесса, а мощность ошибки предсказания, как правило, существенно меньше мощности сообщения, шум квантования при ДИКМ меньше, чем при обычной ИКМ при том же числе уровней. Как показывает анализ, система ДИКМ обеспечивает одинаковое с ИКМ качество передачи при меньшем числе символов в кодовой комбинации (на один-два и более символов в зависимости от степени корреляции отсчётов и алгоритма предсказания).
Шум ложных импульсов также имеет место при ДИКМ, причем ом ухудшает верность приёма в большей мере, чем при обычной ИКМ. Дело в том, что ошибочный прием кодовой комбинации ведёт к ошибочному приему не только
pi;'ib, телевидение), да к тому же частоту отчётов по ряду сообр.1Жен[ш выбирают несколько iii.iluc. чем по Котел ь ни ко ну, Поэтому корреляция мчжду отсчетами обычно не рнвиу нулю.
344

одного отсчёта сообщения, но и ряда последующих отсчётов, поскольку предсказанные значения на приемной стороне будут отличаться от предсказанных iia передатчике. Поэтому допустимая вероятность ошибок при ДИКМ меньше. чем при ИКМ, и, следовательно, пороговая мощность сигнала ныше, Существуют ра:шичные способы уменьшения влияния "размножения" ошибок.
Корреляция между отсчетами возрастает по мере сокращения интервала между ними. Поэтому при большой частоте дискретизации число уровнен кнаитованим сигнала ошибки можно уменьшить до двух и перейти к одноразрядным системам. Такой способ кодирования называют дельтп-модуляни^Г/ /ЛЩ.

По существу сигнал на выходе дельта-модулятора содержит лишь сведения о полярности (знаке) сигнала ошибки. На приемной стороне интегратор прибавляет или вычитает величину шага дискретизации, обеспечивая таким образом уменьшение погрещЕюсти между исходными значениями отсчётов ц вос-пановленными значениями. Принцип формирования сигнала ДМ показан на рис. 8.16. Отсчёты переливаемого сообщение сравниваются с предсказанным квантованным отсчётом, полученным в результате суммирования всех преды-

Если b\.k)>h^^{k-\} (рис, S.I 7. а), квантователь формирует значение
•i(k} = 1, в противном случае у(А) =-1. Полученные символы -/ передаются по тракту связи (рис. Й.17. б}. Одновременно импульсы Afr/(/) поступают на сумматор (интегратор) для формирования квантованного отсчета йщ,^(/). который,
как указывалось выше, сравнивается с очередным отсчётом сообщении. На выходе сумматора квантованный сигнал uin,i,-i;(/) имеет вид ступенчатой функции
(рис. 8J7, а). Каждый импульс + 1 увеличивает, а каждый импульс -1 уменьшает ступенчатую функцию на один шаг квантования, т.е. при ДМ соседние значения ступенчатой функции различаются обязательно на один шаг квантования.
Операцию декодирования сигнала ДМ на приёмной стороне выполняет сумматор (интегратор), такой же, как и на передающей стороне, на выходе которого (при отсутствии ложных импульсов) получается ступенчатое напряжение
йц^М. После его сглаживания с помощью ФНЧ получим функцию h(l), достаточно близкую к b(z). Разность £(!}-is(f) представляет шум квантования. Ею значение тем меньше, чем выше частота дискретизации и чем меньше шаг й/л Однако шаг квантования Дй нельзя выбирать слишком малым, В протпшюм случае возникают пополнительные искажения, называемые перегрузкой гю

345

шждопу, вызванные тем, что ступенчатая функция не успевает следить за быстрыми изменениями сообщения b{t) (рис. 8.IS). Если принять, что максимальное значение крутизны изменения сообщения составляет А'(/)| , то для неискаженной передачи необходимо выполнить условие &'(;)|^Д^Д^, Если практически максимальное значение сообщения по модулю не превышает /'(^Im^, а число различных уровней квантования, определяющее шум квантования, равно L. то

По сравнению с ИКМ и ДИК.М сигналы ДМ имеют значительно более высокую частоту следования отсчетов. Однако на каждый отсчет при ДМ передаётся один импульс, а при ИКМ — несколько, в зависимости от числа уровней, Как показывает анализ, при одинаковой верности передачи частота следования импульсов при ИКМ и ДМ также примерно одинакова. Поэтому обе эти сие' темы занимают приблизительно одинаковую полосу частот. Существенным преимуществом систем передачи с ДМ является сравнительная простота кодирующих и декодирующих устройств- Кроме того. шум ложных импульсов при

ДМ меньше, чем при ИКМ (при той же вероятности ошибки в канале), поскольку при ДМ каждая ошибка изменяет уровень сигнала только на ±2Л^ К недостаткам ДМ можно отнести явление размножения ошибок, создаваемых ложными импульсами (такое же, как при ДИКМ), а также возможность перегрузки по наклону-

346

Отметим, что в последние годы успешно разрабатываются многочисленные разновидности ДИКМ и ДМ, в частности адаптивные системы, в которых для уменьшения шумов квантования используют переменный шаг квантования в зависимости от текущих статистических характеристик передаваемого сообщения.
В качестве примера на рис. У, 19, а приведена структурная схема кодера адаптивной ДМ. Характерной особенностью является наличие в цепи обратной связи решающего устройства, управляющего величиной шага квантования АЬ. Если знак приращений у(А) остаётся неизменным в течение трёх-четырех интервалов дискретизации, то это означа&т наличие перегрузки (рис, 8.19, б). Решающее устройство удваивает амплитуду импульсов, поступающих на вход интегратора I. Если и в этом случае знак приращения (сигнала ошибки) не изменится, то размер шага ДА снова удваивается и т,д. При изменении знака приращения размер шага квантования уменьшается. Нетрудно понять, что в состав устройства управления размером шага квантования должен входить анализатор плотности единиц и импульсный усилитель с управляемым коэффициентом усиления. На выходе интегратора 2 при изменении коэффициента усиления н зависимости от плотности единиц будет формироваться ступенчатое напряжение с адаптивно изменяющимся шагом квантования (рис. 8Л9, б}.
ВЫВОДЫ
[. Оптимальную оценку непрерывного параметра часто находят гю критерию минимума сред неквадрати ческой ошибки или максимума апостериорного распределения. Часто эти критерии приводят к оценке по алгоритму максимального правдоподобия.
2- В си^емая передачи непрерывных сообщений для обработки сигналов широко используется фильтрация (в обшем случае нелинейная) с. целью получения наилучшей (по з,щ,1иному критерию) оценки передаваемых сообщений.
3. Качество оценки сообщений обычно определяется средне квадрати ческой ошибкой пли oi-ношением мощности сигнала и помели на выходе приемники рвц,- Пр31 сраинительиом пнализе удобными показателями являются выигрыш g и обобщённый выигрыш ^ системы.
4. Квачиоптимальным приемником (демодулятором} непрерывных сообщений является следящее корреляционное устройство (нелинейный фильтр^, которое может быть р^ши.юв.жо с помощью фильтра с переменными параметрами.
347

5. В системы с линейными видами модуляции (ЛМ. ОМ, БМ) огтгимальным демодулятором является синхронный детектор с: оптимальным линейным фильтром
6. Помехоустойчивость систем передачи непрерывных сообщений существенно зависит от способа модуляции. Так, при ЧМ обобщенный выигрыш ^ пропорционален киадрату индекса модуляции М и может быть много больше единицы При ОМ и БМ этот выигрыш
равен единице, ;1 при AM - меньше единицы-
7. Широкополосные системы модуляции обеспечивают высокую помехоустойчивость лишь при отношении сигнала к шуму на иходс приёмника рщ, большем некоторого предельного (порогового) значения рц^ При рцх < PiiJi помехоустойчиноеть этих систем резко снижается.
и. Для стационарных сигнала и шума фильтр Колмогоро на-Винера эквивалентен фильтру Калмана. Однако реализация фильтра Калмана по вычислительной структуре удобнее и
про ще -
9- Теория нелинейной фильтрации является наиболее общей теорией оценивания процессов и широко используется при синтезе и анализе устройств и систем связи.
10. Цифровые методы передачи непрерывные сообщений обеспечивают более высокие характеристики качества по сравнению с аналогоиыми мстод.ши.
11.Среди цифровых систем передачи непрерывных сообщений (речь, музыка, телевидение и тд.) наибольшее распространение получила ИКМ. ДИКМ, ДМ, адаптивные системы
ДИКМиДМ.
12- Качество цифровых систем передачи непрерывных сообщении характеризуется как средне-квЕщратической ошибкой квантования, так и среднеквадратичеекой ошибкой ложных импульсов-
ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
H.I. Найти оптимальную оценку амплитуды сигнала у. если принимаемый сигнал представлен в виде fS(f, Э). гле Q - фаза сигнала, случайна и может считать равномерно распределенной на интервале (-те, тг),
К,2- Каким условием удовлетворяет хорошая оценка непрерывного параметра?
8.3. Как объяснить, что оптимальный прием непрерывных сооЙшений свояитси к совместной оптимальной оценке многих параметров
R.4. Чем отличается шум на выходе оптимального приемника для прямых и непрямых систем модуляции?
8.5. Как зависит отношение сигнал-помеха на входе и ныходс оптимального приемника для идеальной системы передачи непрерывных сообщений и в случае передачи этих сообщений посредством ИКМ?
а.6. В чём причина появления порогового эффекта в широкополосных системах связи?
3.7. Определить пороговое качение амплитуды ЧМ сигнала исходя и^ условие, что лишь с вероятностью 0,001 она превышается амплитудой стационарного гауесовского шумя с
дисперсией ст^ = 0,1 Вт
У.К. Вынедите соотношение, определяюшее выигрыш по помехоустойчивости ЧМ по сравнению с AM p^.i^/р^дм при одинаковых условиях оптимального приёма: рявенстис
средних мощностей модулированных сигналов и СПМ шумов на уходах приёмников-Вычислите атот выигрыш, если пик-фактор передаиасмых сообщений П = 10, коэффициент модуляции AM сигнала in = 0,К, индекс модуляции ЧМ сигнала М == 10.
и.9- На   вход   когерентного   приемника   (рис, К-3)   поступает   .шдитивная   смесь '/,{!} = 5{!} -г Л^), где N(f) - белый гауссовский шум со спектральной плотностью Л^, A'(f) = y5(^si]iMfl/ - сигнал AM с подавленной несущей, a Bitf - случайный модулирую-
(\                / г     г?           "^1
щий процесс со спектральной плотностью мощности ('4 в)=2аДа +си 1,-щ<и<ю. Опорное колебание /(/)= i/2sin<fl^ . Определите передаточную функцию оптимального (по среднеквадратичеекому критерию) ФНЧ K{f} и вычислите величину среднеквадра-
тнчсской ошибки Е^ . К.10. В чём суть кодирования непрерывных сообщений с предсказанием и в чем особенности
системы с ДМ'? 8.11. В чем причина возникновения искажений при ДМ из-за "перегрузки по наклону"?
348

ГЛАВА 9. ПРИНЦИПЫ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СВЯЗИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ
9Л. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗДЕЛЕНИЯ СИГНАЛОВ
Структурная схема системы многоканальной передачи информации. Практика построения современных телекоммуникационных систем и сетей показывает, что наиболее дорогостоящими звеньями трактов передачи являются линии связи (кабельные, волоконно-оптические, сотовой мобильной радиосвязи, радиорелейной и спутниковой связи и др.). Поскольку экономически нецелесообразно использовать дорогостоящую линию связи для передачи информации единственной пары абонентов (от источника к получателю сообщении и обратно при дуплексной связи), то возникает задача построения многоканальных систем передачи, обеспечивающих передачу большого числа сообщений различных источников информации по общей линии связи. Разумеется, многоканальная передача возможна в тех случаях, когда пропускная способность линии С' не меньше суммарной производительности источников информации:

(независимых источников информации). Многоканальные системы так же. кпк и одноканольные, могут быть аналоговыми и цифровыми. Для унификации аналоговых многоканальных систем за основной или стандартный канал принимают канал тональной частоты (канал ТЧ), обеспечивающий передачу сообщений с эффективно передаваемой полосой частот 300..J400 Гц, соответствующей основному спектру телефонного сигнала. В цифровых системах передачи наибольшее распространение получили основные цифровые каналы со скоростью 64 кбит/с. Многоканальные аналоговые системы формируются путём объединения каналов ТЧ в группы, обычно кратные 12 каналам. Цифровые системы передачи (ЦСП), используемые на сетях связи, формируются в соответствии с принятыми иерархическими структурами. Европейская иерархия основывается на первичной ЦСП типа ИКМ-30 со скоростью передачи группового сигнала 2048 кбит/с; в основу северо-американской системы положена первичная система ИКМ-24 со скоростью группового сигнала 1544кбит/с, Разработанные в нашей стране ЦСП соответствуют европейской иерархии.

J49

будем считать, что помеха в канале отсутствует, а канал не вносит искажения в сигнал, т.е. принимаемый линейный сигнал^ s^!)=^^(f),rw -/ - коэффициент передачи канала, который без ущерба для общности изложения можно считать равным 1. Тогда на приёмном конце ЛС линейный сигнал s^{t) с помощью группового приёмника Л может быть вновь преобразован в групповой сигнал   s^(t) = у и (i).   Канальными   или   индивидуальными   приемниками
Я|, Я^ -... ^ •••. ^N и3 группового сигнала выделяются соответствующие канальные сигналы я,М=у 4,(f), i=\N, которые посредством детектирования преобразуются в предназначенные индивидуальным получателям сигналы
&^Ц(/),...Д(/),.,^(;).
Канальные передатчики вместе с устройством объединения образуют аппаратуру объединения {уплотнения) каналов ДОК,
Групповой передатчик, линия связи ЛС и групповой приёмник П составляют групповой тракт передачи, который вместе с аппаратурой объединения и разделения каналов составляет систему многоканальной связи.
Индивидуальные приёмники Л; системы наряду с выполнением обычной операции преобразования канальных сигналов ^(/) в соответствующие первичные сигналы b,(f) должны обеспечить выделение сигналов s^t) из группового сигнала ^(f) с допустимыми искажениями. Аппаратуру индивидуальных приёмников, обеспечивающую эту операцию, называют аппаратурой разделения каналов (АР К),
Основные положения линейной теории разделении сигналов. Рассмотрим теперь основные свойства сигналов, пригодных для независимой передачи информации в системах многоканальной связи. Чтобы разделяющие устройства были в состоянии различать сигналы отдельных каналов, должны существовать определённые признаки, присущие только сигналу данного канала. Такими признаками в общем случае могут быть параметры переносчика, например амплитуда, частота или фаза в случае модуляции синусоидального переносчика, временное положение, длительность или форма сигнала при модуляции
1) Считаем, ч-го запаздывание в канале угтено систцмой синхронизации 350

импульсных переносчиков. Соответственно будут различаться и способы рЕВде-ления сигналов: частотный, временной, фазовый, разделение по форме сигналов и др.
Пусть необходимо организовать одновременную работу N индивидуальные каналов по общему групповому тракту. Будем считать, что групповой тракт пригоден для передачи сигналов любого /-го канала ^(/). Предположим, что сигнал /-го какала

где ТД/} — функция переносчика. С; — некоторый коэффициент, отображающий передаваемое сообщение, Дчя суммы всех канальных сигналов (группового сигнала) имеем

После преобразования группового сигнала в линейный ?< (/) последний поступает в тракт передачи. На приемном конце ^(/) вновь преобразуется в групповой 5|(0.
Для разделения /V кабальных сигналов на приёмной стороне потребуется соответствующее число /V разделяющих устройств, причем каждое А-е разделяющее устрпйство должно выполнять операцию выделения k-го сигнала. Действие приемного устройства А-го канала будем обозначать оператором разде.^-тт тг,. В идеальном случае ^-е приёмное устройство должно реагировать
Гот кликаться") только на сигнал s,{f) и давать нулевые отклики на сигналы
всех других каналов. Дополнительным требованиям к оператору будем считать его линейность, т.е. он должен удовлетворять принципу независимости действия (суцеопозиции!.

Далее можно сформулировать операцию разделения сигналов в математическом виде. Обозначим чере'^ ^(/)отклик, -i.e. результат воздействия оператора
т^ приёмного устройства ^-го канала на группойой сигнал ^(/): я,{^,(/)}=^(/).
На входе каждого k-го приёмника действует сумма сигн.-июв всех N каналов, Чтобы приемное устройство /7д было "чувствительным" только к сигналам ^(?), необходимо:

Полученные результаты могут быть обобщены также на случай, когда отклик разделяющего устройства на сигнал ^(/) будет иметь иную форму, важно, чтобы величина отклика была однозначно связана с передаваемым сигналом.
351

Физическин смысл полученных выражений (9.5) и (9,6) сводится к тому, 'гго приёмник Яд обладает избирательными свойствами по отношению к сигналам ^(/). Поскольку действие приёмников Л^ в (9,5) и (9.6) описывается линейным оператором з^, то соответствующие устройства разделения реализуются в классе линейных цепей, л теорию разделении называют линейной,
Мы рассмотрели случай идеального разделения, В реальных условиях при разделении сигналов возникают переходные помехи, которые будут обсуждены ниже при анализе конкретных примеров разделения сигналов.
Условие линейного разделения сигналов. Воздействие линейного оператора т^ на функцию j,(/) можно предстЕшить в виде скалярного произведения:

где 1^(/,т) - некоторая весовая функция, соответствующая оператору тг,.
Впервые определение избирательных свойств приёмника (9.5) и (9,6) было предложено в 1935 г. Д.В. Агеевым, который доказал, что необходимым и достаточным условием разделимости сигналов (9,2) линейными устройствами является условие линейной независимости. Напомним, что оно заключается в
том- что тождество

может выполняться в том единственном случае, когда все коэффициенты одновременно равны нулю.
Действительно^ в соответствии с определением избирательных свойств (9,5) и (9.6) подлежащие разделению сигналы и приёмные устройства должны удовлетворять условию линейного разделения

Но у^ не равны тождественно нулю, следовательно, равны нулю все С\. k = I. 2,,.., .V . Иначе говоря, условие линейного разделения (9,5) будет выполняться лишь тогда, когда кангьчьныс сигналы линейно независимы. Частным случаем линейно независимых синодов являются ортогональные сигналы.
R общем случае необходимым и ..'юс-кггочиым условием лннсиной н^зивисчмости ,И[е.1\1Й-ля снгн;июи янлястся отличие от нули определители гр-!м;|:
352

где (Ч',^) — скалярное произведение сигналов Т^) и ^(;). Определитель (9.11) раден нулю, если функции (^|(/)> '^?M, -.. ^М) линейно зависимы, и положителен для линейно нсэ,1-bh^hmi.ix функций. Он ранен произведению кяадратов норм функций 4\(f). если они попарно
ортогональны. О ртонорм и ронянная система всегда линейно нсзаиисима, для нес определитель Гряма равен единице.
Напомним, что в ^-мерном евклидовом пространства в частности в пространстве сигналов, пред ставимые усечённым рядом Котел ьникова, когда is=B-2FT (В — база сигнала), можно выбрать не более В линейно независимых сигналов. Вышеизложенная теория линейного разделения построена 6ei учёта аддитивных помех в канале. В этих условиях теоретически безразлично,
выбиратв ли систему переносчиков {^i^)} ортогональных или просто линейно
независимых сигналов, в любом случае их максимальное число не превышает базы сигнала В. Однако если учесть влияние помех, то преимущество ортогональных сигналов становится неоспоримым, так как только в этом случае энергия сигнала используется полностью. Частным случаем ортогональных сигналов являются сигналы с неперекрывающимися спектрами, а также не перекрывающиеся во времени сигналы-
9.2. ЧАСТОТНОЕ, ВРЕМЕННОЕ И ФАЗОВОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ СИГНАЛОВ
Частотное разделение сигналов. Проследим основные этапы преобразования сигналов, спектры которых занимают неперекрывающиеся полосы частот (рис, 9.2). Сначала в соответствии с передаваемыми сообщениями первичные

353