- сигнал, который определяет сигнал МСИ, обусловленный символами, переданными после анализируемого. Чем больше скорость передачи символов }/Т в каждом частотном канале при заданной его полосе пропускания, тем больше число соседних с анализируемым символов определяет сигнал gf.w(1}-
В некоторых случаях в модели (4.51) можно считать, что элементарные сигналы на приёме Sr(f) и передаче u^f) связаны детерминированным (как правило, линейным) отношением- Тогда при незначительном уровне шумов /i(l) в канале можно в принципе осуществить его коррекцию, т.е. перейти к модели неискажающего канала. Однако при значительных уровнях шумов в канале с МСИ предельное качество может обеспечить лишь оптимальный прием |14]. При случайных изменениях параметров канала функции s^,!) становятся случайными и модель (4.51) усложняется,
4.5. МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ КАНАЛОВ СВЯЗИ
Полезно напомнить, что внутри дискретного канала всегда содержится непрерывный канал. Преобразование непрерывного канала в дискретный осуществляет модем. Поэтому в принципе можно вывести математическую модель дискретного канала из моделей непрерывного канала при заданном модеме. Такой подход часто является плодотворным, однако он приводит к сложным моделям
Рассмотрим простые модели дискретного канала, при построении которые свойства непрерывного канала и модема не учитывались. Следует, однако, помнить, что при проектировании системы связи имеется возможность варьировать в довольно широких пределах модель дискретного канала при заданной модели непрерывного канала изменением модема.
Модель дискретного канала содержит задание множества возможных сигналов на его входе и распределение условных вероятностей выходного сигнала при заданном входном. Здесь входным и выходным сигналами являются последовательности п кодовых символов. Поэтому для определения возможных входных сигналов достаточно указать число m различных символов (основание кода), а также длительность Т передачи каждого символа. Будем считать значение Т одинаковым для всех символов, что выполняется в большинстве со
1) При 7.i = T{D = 0) это слугаемос сигнала МСН обращается и нуль. 152

временных каналов. Величина г = 3/Т определяет количество символов, передаваемых в единицу времени. Как указывалось в гл, 1, она называется технической скоростью и измеряется в бодах. Каждый символ, поступивший на вход канала, вызывает появление одного символа на выходе, так что техническая скорость на входе и выходе канала одинакова",
В общем случае для любых л должна быть указана вероятность того, что
при подаче на вход канала любой заданной последовательности В1"1 кодовых символов на выходе появится некоторая реализация случайной последователь-
^ г  ]
ности В'"'. Кодовые символы обозначим числами от 0 до т—\, что позволит производить над ними арифметические операции. При этом все п-последова-гельности (векторы), число которых равно т11, образуют п — мерное конечное векторное пространство, если "сложение" понимать как поразрядное суммирование по модулю т и аналогично определить умножение на скаляр. Для частного случая т = 1 такое пространство было рассмотрено в гл. 2.
Введём ещё одно полезное определение. Булем называть вектором ошибок поразрядную разность (разумеется, по модулю т} между принятым и переданным векторами. Это значит, что прохождение дискретного сигнала через канал можно рассматривать как сложение входного вектора с вектором ошибки. Вектор ошибки играет в дискретном канале примерно ту же роль, что и помеха в непрерывном канале. Таким образом, для любой модели дискретного канала можно  записать,   пользуясь  сложением  в  векторном  пространстве (поразрядным, по модулю т\.

где B^l и В'"' — случайные последовательности из п символов на входе и выходе канала; E^l — случайный вектор ошибки, который в общем случае зависит от В!"1, Различные модели отличаются распределением вероятностей вектора El"l. Смысл вектора ошибки особенно прост в случае двоичных каналов (т = 2), когда его компоненты принимают значения 0 и I. Всякая единица в векторе ошибок означает, что в соответствующем месте передаваемой последовательности символ принят ошибочно, а всякий нуль означает безошибочный приём символа. Число ненулевых символов в векторе ошибок называется его весом. Образно говоря, модем, осуществляющий переход от непрерывного канала к дискретному, преобразует помехи и искажения непрерывного канала в поток ошибок. Перечислим наиболее важные и достаточно простые модели дискретных каналов,
Постоянный симметричный канал без памяти определяется как дискретный канал, в котором каждый переданный кодовый символ может быть принят ошибочно с фиксированной вероятностью р и правильно с вероятностью 1 —/», причем в случае ошибки вместо переданного символа Ь^ может быть с равной вероятностью принят любой другой символ. Таким образом, вероятность того, что принят символ i,, если был передан Ь„
^ В реальных каналах это не всегда выполняется, так как при нарушении тактовой синхронизации модема число симиолов на выходе канал;! может оказаться больше или меньше, чем на входе. В данном курсе ато обстоят&ш.стял не учитывается и синхронизация счит-.ютси идеальной.
2t Здесь и и гл, 5 для упрощения записи индекс у символа означает номер позиции кода.
153

Термин "без памяти" означает, что вероятность ошибочного приёма символа не зависит от предыстории, т.е. от того, какие символы передавались до него и как они были приняты. В дальнейшем, для сокращения, вместе "вероятность ошибочного приёма символа" будем говорить "вероятность ошибка-Очевидно, что вероятность любого п-мерного вектора ошибки в таком ка нале

где / -- число ненулевых символов в векторе ошибки (вес вектора ошибки)'^ . Вероятность того, что произошло / ошибок, расположенных как угодно на протяжении последовательности длины п. определяется формулой Бернулли

четании / ошиоок в олоке длиной п.
Эту модель называют также биномиальным каналом. Она удовлетворительно описывает канал, возникающий при определённом выборе модема, если в непрерывном канале отсутствуют замирания, а аддитивный шум белый (или по крайней мере квазибелый). Нетрудно видеть, что вероятность появления ошибок в двоичной кодовой комбинации длины м (кратному /£ 1) согласно модели (4,53) при р <k 1

Вероятности переходов в двоичном симметричном канале схематически показаны в виде графа на рис. 4.3.
Постоянный симметричный канал без памяти со стиранием отличается от предыдущего тем, что алфавит на выходе канала содержит дополнительный (т + 1)-й символ, часто обозначаемый знаком "7". Этот символ появляется тогда, когда 1-я решающая схема (демодулятор) не может надёжно опознать переданный символ. Вероятность такого отказа от решения или стирания символа рс в данной модели постоянна и не зависит от передаваемого символа. За счет введения стирания удается значительно снизить вероятность ошибки, иногда ее даже считают равной нулю. На рис. 4.4 схематически показаны вероятности переходов в такой модели-
Несимметричный канал без памяти характеризуется, как и предыдущие модели, тем, что ошибки возникают в нём независимо друг от Друга, однако вероятности ошибок зависят от того, какой символ передаётся. Так, в двоичном
несимметричном канале вероятность Р(\\о) приёма символа 1 при переда-
^ В двоичном канале вес вектора совпадает с его нормой» определяемой а § 2.2. 154

че символа 0 не равна вероятности Р[Щ приёма 0 при передаче Т (рис, 4,5). В
этой модели вероятность вектора ошибки зависит от того, какая последовательность символов передаётся.
4.5.1. НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ КАНАЛОВ С ПАМЯТЬЮ
Если в постоянном симметричном канале без памяти условная вероятность ошибочного приёма (; +/-)-го символа при условии, что Mi символ принят ошибочно, равна безусловной вероятности ошибки, то в канале с памятью она может быть больше или меньше этой величины.
Отклонение распределения ошибок от биномиального (канала без памяти) в реальных каналах вызывается различными причинами. Так, дискретным отображением большинства радиоканалов является канал с памятью вследствие замираний, которые мы рассмотрели выше. Другой причиной могут являться атмосферные и взаимные помехи. Иногда отклонение от биномиального распределения вызывается особенностями метода модуляции и демодуляции (см,. например, гл. 5 о сдвоении ошибок при использовании относительной фазовой модуляции — ОФМ). В уплотненных кабельных линиях связи причиной памяти считают коммутационные помехи, возникающие при переключениях отдельных элементов канала и по существу выводящих его на короткое время из строя.
Простейшей моделью двоичного канала с памятью является марковская, определяемая матрицей переходных вероятностей

где /^| - условная вероятность принять 0 + 1)-и символ ошибочно, если предыдущий принят правильно; 1 — pi — условная вероятность принять (/+ 1)-й символ правильно, если предыдущий принят правильно; Р^ — условная вероятность принять (/'+ 1)-й символ ошибочно, если предыдущий принят ошибочно; 1 — Р^ — условная вероятность принять (i + 1)-й символ правильно, если предыдущий принят ошибочно,

155

Несколько более успешно для дискретного канала с памятью используется модель Гильберта, Согласно этой модели канал может находиться в двух состояниях 5i и S-^. В состоянии ^i ошибок не происходит, в состоянии ^ ошибки возникают независимо с вероятностью р^. Переходы из одного состояния в другое образуют простую марковскую цепь с матрицей переходов

При использовании модели Гильберта обычно полагают р^ ^ 0,5 (т.е. это состояние рассматривается как полный обрыв связи). Это хорошо согласуется с представлением о канале, в котором на некоторых временных интервалах из-за плохих условий прохождения или действия мощных помех связь "пропадает11, или с представлением о проводном канале на интервале, где действуют сильные коммутационные помехи или всплески импульсных помех, Модель Гильберта можно обобщить, введя в рассмотрение вместо двух N состояний канала^ Но тогда и усложняется её использован и е>
Относительно простую модель дискретного канала с группированием ошибок (с памятью) предложил Пуртов. В этой модели лишь два параметра: вероятность ошибок р и показатель группирования а, В модели Пуртова зависимость вероятности Р\>1, fi} появления искажённой комбинации (с числом искажённых элементов £1) длины п характеризуется как отношение числа искажённых комбинаций А^кС^) к общему числу переданных комбинаций Н(п)'-

Наибольшее значение а (от 0,5 до 0,7) наблюдается на кабельных линих связи (кратковременное прерывание связи), В радиорелейных линиях (где бывают интервалы с большой интенсивностью ошибок и интервалы с редкими ошибками) а = 0,3,,-0,5, для некоторых линий коротковолновой радиосвязи а = 0.3...0,4-
Согласно модели Пуртова-Попова вероятность наличия комбинации длиной //с/и более ошибками
156

Анализируя (4.55), можно делать вывод, что при заданном п чем больше группирование ошибок (больше f), тем меньше число искажённых кодовых комбинаций. Это очевидно, ибо при одном и том же числе ошибок пакетирование приводит к их сосредоточению на отдельных комбинациях (кратность / возрастает), а число искаженных комбинаций уменьшается,
Иногда в качестве модели канала с памятью используют модель, в которой вероятность вектора ошибки Е^ не зависит от передаваемой последовательности. Вероятность каждого вектора ошибки считается заданной и, вообще говоря, не определяется его весом. Во многих каналах на двух векторов ошибки с одинаковым весом более вероятным оказывается такой, в котором единицы расположены близко друг к другу, т.е. имеется тенденция к группированию ошибок.
Безусловный интерес представляют модели дискретного канала, построенные на основе заданной модели непрерывного канала и задания способов модуляции-демодуляции и кодирования-декодирования. Однако в общем виде построить такую модель затруднительно,
4.5,2. МОДЕЛЬ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОГО КАНАЛА
Дискретно-непрерывный канал с независимыми символами Ь[ на входе и непрерывным сигналом з(/) на выходе описывается априорными вероятностями входных символов Р(Ь,) и переходными (условными) ллотностями w\z.\bt\ принимаемой реализации z(l} (на заданном интервале 7) при условии передачи символа Ь,. Эту плотность называют функцией правдоподоб11я (см, гл. 5), Вместо функций правдоподобия дискретно-непрерывный канал можно описать апостериорными вероятностями Р(Ь^\г) передачи символа Ь, при фиксации на приёме колебания г(1). Согласно формуле Байеса

Непрерывно-дискретный канал описывается ан алогично-
4.6. МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНЫХ КАНАЛОВ СВЯЗИ, ЗАДАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИМИ
Рассмотрим другой подход к построению математических моделей каналов (сигналов), который частично был затронут в гл. 2- Выше соотношения между вводным и выходным сигналами задавались интегральными преобразованиями (например, интегралом Дюамеля), При этом для нахождения выходного сигнала требуется знать помимо характеристик цепи (канала) также входной сигнал, действовавший на всем промежутке его существования до текущего момента /.
Во многих случаях более гибким является такое описание, при котором нся предыстория до некоторого фиксированного момента времени ^ заменятся заданием некоторого начального состояния цепи. Зная характеристику цепи
157

(канала), начальное состояние и сигнал, действующий только на промежутке от ^ до /, можно последовательно определить как сигнал на выходе, так и новое состояние цепи в любой момент времени /> /о-
Подобный подход известен из теории дифференциальных уравнений, в

которой искомая функция определяется как самим уравнением, так и определёнными начальными условиями, число которых равно порядку уравнения-Излагаемый здесь метод переменных состояния иллюстрируется примерами систем, описываемых с помощью линейных дифференциальных уравнений.
Множество величин, однозначно определяющих поведение систем в некоторый момент ^ содержащее минимальное число элементов ft, называют состоянием, а сами элементы этого множества — переменными состояния- Каждую из этих переменных обычно рассматривают как составляющую /f-мерного вектора состояний. Для любой заданной системы можно составить два уравнения, позволяющих по состоянию в момент /о и сигналу, поступающему на вход, найти состояние в момент ! > /о и выходной сигнал. Первое из них называется уравнением состояния, а второе - уравнением наблюдения.
Для иллюстрации основных положений метода переменных состояния рассмотрим простой пример — линейную RLC-цепь (рис- 4-6), в которой выходное напряжение y(l) связано с входным напряжением u(f} дифференциальным уравнением

Состояние этой цепи в любой момент времени /о характеризуется двумя параметрами: /(?у) — током, протекающим через индуктивность L, и ^(/о) — падением напряжения на ёмкости С Значения /(/о) и yW содержат достаточную информацию о предыстории цепи, связанной с прошлыми воздействиями u(t), ! ^ id, которая необходима для определения будущих значений выходного процесса у(/), / > /о при заданных воздействиях u(l), I > ?о. Таким образом, —— и
ш
у(!) можно интерпретировать как переменные состояния, а дифференциальное уравнение (4.56) — как уравнение состояния, которое обычно приводят к форме векторного дифференциального уравнения первого порядка. При замене переменных

158

Заметим, что выбранный вектор состояния к(г) не является единственно возможным. Любое обратимое линейное преобразование вектора х(!) приводит к другому вектору состояния.
Важной особенностью метода переменных состояния является возможность непосредственного моделирования систем, описываемых уравнениями состояния с помощью аналогового или цифрового вычислительного устройства. На рис. 4-7 показана модель системы уравнений (4,58). При построении такой схемы удобно рассуждать следующим образом. Пусть в некоторых точках присутствуют входной сигнал u(f) и переменные состояния x^(f) и х-^(!}. Соединим эти точки сумматорами, усилителями и интеграторами так, чтобы соотношения между ними соответствовали уравнениям (4.58). Из первого уравнения следует, что, подав на вход интегратора хз(/), получим с точностью до постоянной x\(f), Эта постоянная определяется начальным условием и равна ^i(/y). Затем осуществляют операции, записанные в правой части второго уравнения; умножим u(t) и Х}(!) на (о^, a x^(f} на 2а (с помощью усилителей с соответствующими коэффициентами усиления) и сложим полученные результаты с учетом знаков. Проинтегрировав полученную сумму и прибавив к ней постоянную д"?(/о) (начальное условие), получим x^(t). Таким образом, все точки в схеме соединились в соответствии с уравнениями (4.58) (или (4,59))-
Если на такую схему-модель подать входной сигнал u(t), то на выходе получится выходной сигнал у(1). Однако это не представляет большого интереса, поскольку то же самое можно сделать без моделирования, исследуя экспериментально исходную систему (в данном случае рис. 4.6). Значительно важнее то, что с помощью модели можно решить обратную задачу — по выходному (наблюдаемому) сигналу найти входной, паже если выходной сигнал наблюдается на фоне шума (см, гл, 8).

В более общем случае аналогичные матричные  уравнения  в форме (4.59) и (4.60) можно построить для систем более высокого порядка, в том числе нелинейных и с переменными параметрами -Отличие будет лишь в размерности матриц и в том, что они могут быть

159

функциями времени (для систем с переменными параметрами) и состояния (для нелинейных цепей). Если на систему воздействует несколько входных и несколько выходных сигналов, то их также рассматривают как компоненты вектор-функции, 13 самом общем случае уравнения состояния и наблюдения процесса принимают в векторной (Ьооме следующий вид:

где N(/) -- шум наблюдения. Каждое из матричных уравнений представляет а сущности, систему дифференциальных уравнений, число которых для уравнений состояния равно количеству переменных состояния (порядку системы), а для уравнения наблюдения — количеству выходов системы1).
Одно из приложений метода переменных состояния связано с возможностью конструктивного описания случайных процессов. Оно состоит в том, что случайный процесс Х(г) с заданными вероятностными характеристиками представляют как выход некоторой динамической системы, возбуждаемой другим случайным процессом (вообще говоря, многомерным) с более простой вероятностной структурой U(/). Обычно в качестве порождающего используют стационарный гауссовский процесс U(t) типа белого шума с нулевым средним и корреляционной функцией

где Q - симметричная, неотрицательно определенная матрица.
Пусть случайный процесс U(f), удовлетворяющий (4.63), воздействует на схему, описываемую (4.61) и (4,62), где некоторые функции F, H, G удовлетворяют условиям непрерывности и ограниченности. Тогда процессы Х(?), а также {Х(/}, Y(/) = HXf/)) являются марковскими, переходные плотности вероятностей которых w(x, f х^, /о) и w(x, у, f\x^, у\), /о) подчинены соответствующим дифференциальным уравнениям в частных производных Колмогоровз-Фокксра-Планка (см. (2.99))- Если гауссовский порождающий процесс V(l) воздействует на линейную систему, то и выходной процесс Х(0 будет гауссов-ским. Он будет также стационарным, если формирующая система является линейной с постоянными параметрами. Распределение вероятностей процесса Х(;) будет негауссовским, если он сформирован нелинейной системой^ В частности, если на вход цепи рис. 2.37, б поступает БГШ, то выходной процесс будет марковский гауссовский процесс с корреляционной функцией (2-150).
Метод переменных состояния с успехом применяют и для описания стохастических цепей (каналов) со случайно изменяющимися параметрами. Для этого некоторые алемснты системных функций (матриц) F, G, Н следует рассматривать как случайные функции. Этот метод даёт универсальный подход для моделирования (в рамках весьма широкой марковской модели) каналов передачи информации (систем связи) для самых различных сообщений, способов кодирования и модуляции (как линейной, так и нелинейной), линии связи с детерминированными и случайными параметрами, рассеянием сигналов, аддитивными шумами (как гауссовскими, так и негауссовскими). Более существен-
11 Описание систем с дискретным временем в основном иналогично описанию систем с нс-прсрьшным временем; при этом дифференциальные уравнения состояний сводятся к уравнениям В КОНЙЧНШ РЕ13НОСТЯК (СМ- ГЛ. 10).
160

но то обстоятельство, что, представляя наблюдаемые (анализируемые в месте приёма) случайные марковские процессы с помошью дифференциальных уравнений, как уже отмечалось, можно решить обратную задачу, т.е. получить дифференциальные уравнения для оценки сообщений, заключённых d этих процессах. Такие оценки, получаемые с помощью аналоговой или цифровой техники, найти значительно проще, чем оценки, вытекающие из интегральных уравнений (см. гл. 8).
ВЫВОДЫ
1. Каналы связи л рсал^ующие их электрические цепи можно разделить но характеру еигна-лоц, действующие на входе и выходе, пег не прерывные, дискретные (цифровые) и дискретно-не прсры иные (цифро-не прерывные) или непрерывно-дискретные (непрерывно-цифровые).
2. Классификации каналои (систем, цепей) основана на свойстнах системных операторов. связывающих вход и выход. Различают линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные, сосредоточенны с системы и системы с распределенными параметр им к,
3. В качестве интегральных системных характеристик линейных цепей чаще веего используют импульсную характеристику и передаточную функцию системы, синенные парой преобразований Фурье,
4. Спектральная плотность по Фурье или Лапласу сигнала на иы?юде линейной стационарной системы определяется произведением спектральной плотности входи и передуто ч поп функции системы. Выходной сигнал можно илйгп по его спектральной плотности обратным прсобра.ю1эачисм фурьи или Лапласа [спектральный метод анализа). Его же можно найти сверткой входного сигнала и импульсной характеристики системы (временной мстил анализа).
5. Расчёт прохождения узкополосных сигналов череч учкополоеныс системы (каналы) существенно упрощается, если нос пользоваться понятиями комплексной огибающей входного сигнала и низкочастотного эквивалента передаточной функции системы.
6. Как при детерминированном, гак и при стационарном случайном воздействии спектральная плотность средней мощности h!i выходе линейной стационарной системы равна иро-твсдению спектральной плотности средней мощности входного процесса на квадрат модуля передаточной функции системы. Соответственно функция корреляции ныходноп процесс;! определяется сверткой функции корреляции входного процесса и временной автокорреляционной функции системы.
7. Нахождение корреляционной функции (спектральной п.ютное-ти мощности) на пыхолс произрольной линейнон еистемы. как ДЁтерминироланной, так и случайной, при ст.шио-нарных случайных входных во^дейстниях сущсстиенно упрощается, если ццест" системную
^арактериегику A'(Jid^)A"(-jco./+^), где К(]оч, /) - случайная передаточная функции линейной стохастической системы.
^- При прохождении случайных процессов чсре^ у^кополосные линейные системы выходной процесс имеет тенденцию к нормализации, независимо or распределения входного процесса,
9- Расчет прохожденид уэкополосных случайных процессов через нелинейные (даже безы-нсрцнонныс) системы существенно упрощается, если воспольчоватьея к нач и гармоническим прсдспишенисм входного процесса,
IU.B теории и инжсйсрной практике чаще псего пользуются следующими моделями линейного непрерывного канала: н сие карающий канал с аддитииным ш^'мом, канал с неопределённой (случайной) фазой и аддитивным шумом, однолучс1юй канал со елучайноп фазой и амплитудой (с замираниями) и аддитивным шумом, многолучевой канал с аддитивным шумом, кан.ш е межеимвольной интерференцией (памятью) и аддитинным шумо^
11.Для люЕюй модели дискретного канала можно ввести понятие случайного вектора lhijii&kii как поразрядную разность между последовательностями ихода и выхода. В двоичном канале элементы вектора ошибки принимают значения 0 и 1. Различные модели канадец отличаются распределением вектора ошибки,
161

\ 1. Простейшая модель дискретного канала - симметричный канал без памяти (биномиальный канал). Модель несколько усложняется сведением символа стирания.
U Простейшая модель дискретного канала с памятью — марковская модель, когда ошибки образуют простую цепь Маркова, т,е. зависят от того» правильно или ошибочно принят предыдущий символ, но не зависят от того, какой символ передастся,
14.ДискрЁТНо-непрсрывныи канал характеризуется априорной вероятностью сходных символов и функциями правдоподобия (условными п-гюгноетями выходного сигнала) или апостериорными нероятностями входных символов-
15.Множество величин, однозначно определяющих поведение канала (системы, цепи) в некоторый момент /, содержащее минимальное число элементен л, называют состоянием» а сами элементы этого множества (вектор состояния) - переменными состояния. Для любой заданной цепи можно составить два уравнения, позволяющих по состоянию в момент ^ и сигналу» поступаюшему на вход, найти состояние в момент / > ^ и иыкодиой сигнал- Пср-нос из них назынаетс^ уравнением состояния, а второе — уравнением наблюдении. Уравнение состояния обычно задают в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка (некторного уравнении первого порядка).
1й.Важной особенностью метода переменных состояния шелясгся возможность непосредственного моделировании систем, описываемых уравнениями состояния с помощью аналогового или цифрового вычислительного устройств (т.е. можно получить решение форма-лизирусмой задачи). Но более важно, что метод позволяет по наблюдаемому процессу оценить сообщение» переданаемос. сигналом.
17.Одно из приложений метода перемцниых состоянич - возможность смоделировать любой случайный процесс (на выходе источника сообщений, отдельных звеньев канала и т.д,) как отклик некоторой динамической системы (описываемой chcicmom дифференциальных уравнений), на вход которой воздействует стационарный центрированный гауссоиский й-коррслироваиный процесс. Смоделированный процесс оказывается марковским,

162

163

164

ГЛАВА 5. ТЕОРИЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ
5.1. ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ДЕМОДУЛЯТОРОВ
Системы и методы передачи дискретных сообщений занимают основное место в современных системах электрической связи, что объясняется не только наличием множества источников дискретных сообщений (данные с вывода ЭВМ, телеграфные источники и др.), но и передачей сообщений непрерывных источников (речь, музыка, телевидение, факсимильная передача и др.) более помехоустойчивыми дискретными цифровыми методами.
На выходе модулятора в изохронных системах передачи происходит преобразование цифрового сигнала Ьц{1), рассмотренного в §3.6, а последовательность //(/) элементарных сигналов несущей f(l-kT,b,) заданной формы").

где Т - тактовый интервал передачи в канале, определяющий техническую
скорость передачи У= 1/Г, измеряемую в бода>;; ^ е В - множество элементов кода.
Элементарный сигнал f(f-kT,b^ может формироваться по-разному. Так. в
зависимости от того, выполняются ли модуляция и кодирование последовательно друг за другом или совместно, он может иметь различные частотно-временные свойства. Наиболее простую форму принимает (5J) при линейной (многоуровневой) модуляции:

Для сжатия сигнала f(t-kT,b^ во времени и одновременно уменьшения пик-фактора сигнала u(t) (отношение пиковой и средней мощности) можно в качестве /[f-kT,^) выбрать прямоугольные радиоимпульсы длительностью Т. Но тогда ширина полосы частот сигнала теоретически не ограничена. Если же формировать сигналы f(f-kT,b^ с равномерным спектром в предельно узкой полосе частот, то возрастает лик-фактор сигнала u(l) и, кроме того, сигналы f\s-kT^) теоретически не ограничены во времени. Ясно, что в этом случае
элементарные сигналы, соответствующие различным символам Ь^, накладываются друг на друга, т.е. имеет место межсимвольная интерференция (МОИ) уже на передаче. Однако это обстоятельство не препятствует безошибочному выделению информации Ад из сигнала i/{t), если выполняются свойства отсчст-
ности сигнала /(/-А7\^). о которых говорилось в гл, 3.
1) Запись (5.1) справедлива лишь для систем модуляции без памяти (прямых систем модуляции}. когда А-й элемент кан,1льного сигналаД/- kT, /^) зависит лишь от симиола ^. Для систем модуляции с памятью (интегральных систем модуляции), например ЧМНФ. fr-й элемент канального сигнала зависит не только от ^, но и символои с меньшими номерами
/(/-А7\^,^,й,_^^,..). Структура частной разношщности сигналои ЧМНФ, а именно сигналов ММС, рассматривалась il § 3.5.
]Й5

Разумеется, на практике находят разумный компромисс между двумя указанными крайними случаями формирования элементарных сигналов
/(/-ЙТ-А).
Здесь мы не будем обсуждать способы формирования си г н ал ьн о-кодовых конструкций 1/(/-A7\AJ) или сигнала //(;), а сосредоточим внимание на демодуляторе - наиболее сложной части модема (или устройства преобразования сигналов УПС).
На вход демодулятора при передаче сигнала (5,2) поступает колебание (сигнал -t- шум)

Для упрощении дальнейшего анализа будем считать, что элементарны сигнал на передаче /(/-Н\&,) локализован в пределах тактового интервала'
Тогда в канале с относительной памятью Q (см. § 4,4) реакция s(f-kT^) су
щсствует на интервале длительностью 7^ = (1 •+- Q)T.
Сначала будем анализировать демодулятор для канала без памят (Q^^. T^= Т}, а затем в §5.6 будем обсуждать демодулятор в канале МСИ^,
Обозначим анализируемый элемент колебания (сигнал + шум) на вход демодулятора в канале без МСИ:

где .v(/, о;-) — сигнал, соответствующий символу Ь^^ /еО^-1; n(t} - аддитивный шум на интервале анализа^,
На выходе демодулятора возникает дискретный сигнал, т.е. последовательность кодовых символов. Чаще всего элемент длительностью Т непрерывного сигнала преобразуется демодулятором в один кодовый символ (поэлементный прием). Если бы этот кодовый символ всегда совпадал с передаваемым (поступившим на вход модулятора), то связь была бы безошибочной. Но, как известно, помехи приводят к невозможности с абсолютной достоверностью восстановить по принятому сигналу переданный кодовый символ.
'' Если это условие не выполнено, но сигнал в (5Л) сохраняет свойства отсчстности, все ре-•1ульт;1Ты, получаемые ниже для каналов без памяти сохринчюгся при расширении интервала временною анализа 'элементу сигнал;!.
?f Следует отличить МСИ на передаче (при которой содруняются спойства отсчстносги сигнала) от МСИ и клнлле с памятью, разрушающей это сиойство.
I Здесь и далее, если не будет определено обратное, н[1жний индекс, для упрощения даши-н, соответствует позиции копа
1) Обычно » приемных устройства демодулятору предшествуют усилители м преобразователи 'iLicioTki. Здесь все они считаются включёнными » состав канала- В ряде случаев именно они жушются осно|щымт1 источниками аддитипных помех канал;!.
166

Каждый демодулятор описывается законом, по которому поступивший на его вход непрерывный сигнал превращается в кодовый символ. Этот закон называется правилом решения, а реализующая его схема — решающен. Демодуляторы с различными правилами решения будут выдавать, вообще говоря, различные решении, из которых одни верные, а другие — ошибочные.
В любом демодуляторе дискретных слобшсний перед иеп<х'р1;д^пи;нным принятием решение приходящий СИГН.1Л подвергается той или иной обработке, целью которой является наилучшее иепользонянис различия между рь!,|лич;|цимми снгн;1лов, соответствующих разным символам, ,1 т;1кжс отличии сигналов от помех. Всякую линейную обработку еиги.иг,! можно описать операцией интегрирования с весом <п(Л г) к тс4снне тактового интьпве»л,! [0, Г).

Таким oopi^OM. на выходе устройств.) обработки существуют сигн;ии»ная и шумовая со сташ1^1ющие. В простейшим случае 1р(Г. т) = Й(т - /о), 0 < /у < Т. Тогда у{Т) = =(^) и ойработк сводится к иэятпю одного отсчета приходящего сигнгит;! в момент /ц. Очевидно, при •л-ом н не пол дуется энергия сигигига и соде ржа ш.уюя в нём информация нл протяжении неси ос |-,|льно[1 части таетовот интервала

К -> щ. Очень часто линейная оБработка снгнула осущестидиет^я с помопц.ю стационарные динейнь!;; фильтров. В ^1ом случае (р{/, т) = g{S - т) - имиу-чьснач характеристика фильтра, Помимо операции (5.5) сигнал нередко подверпчог нелинейной обработке - но') веден ню в степень, лстсктирошнию и т.д
На ранних этапах развития техники связи способы обработки сигналов вы-бирались разработчиками аппаратуры инт^тивно, исходи H'i общих ндей о путях выделения сигнала из помехи и различия передаваемых сигналов. Выбором различных видов реализации сигналов s(f, b^ н способов обработки в ряде случаев удавалось повысить помехоустойчивость системы передачи дискретных сообщений, т.е. увеличить верность оценки передаваемого символа Ь^ при наличии помех,
Современная статистическая теория связи позволяет отыскать наилучшую операцию обработки входного сигнала =(^), обеспечивающую максимальное качество оценки Ь,- Будем полагать, что свойства источника сообщения и кодера известны. Кроме того, известен модулятор, т.е. задано, какая реализация элемента сигнала соответствует тому или иному кодовому символу, а также задана математическая модель непрерывного канала. Требуется определить, каков должен быть оптимальный демодулятор (правило решения), чтобы обеспечить наилучшее качество приёма.
Такая задача была впервые поставлена и решена (для гауссовского ^искажающего канала с БГШ) В.А. Котельниковым, В этой постановке качество оценивалось вероятностью правильного приема символа. Максимум этой вероятности при заданном виде модуляции В.Д. Котельников назвал потенциальной помехоустойчивостью, а демодулятор, обеспечивающий этот максимум, -
!Ь7

идеальным приемником. Из этого определения следует, что ни в одном реальном демодуляторе средняя вероятность правильного приёма символа не может быть больше, чем в идеальном приёмнике,
На первый взгляд принцип оценки качества приёма вероятностью правильного приёма символа кажется вполне естественным и даже единственно возможным. Ниже будет показано, что это не всегда так и что существуют и другие критерии качества, применимые в тех или имых частных случаях,
Ознакомимся подробнее со статистическим подходом к задаче приёма дискретны); сообщений на фоне шумов. Пусть при передаче дискретных сообщений, закодированных кодом с основанием т в месте приёма ожидаются сигналы .^(/), lf=\0. Т], соответствующие кодовым символам Ь,- (! = 0, 1, 2, 3, „., т - 1)'^ В течение отрезка времени |0, Т р на вход приёмного устройства поступает колебание z(f), которое вследствие искажений и помех у канале не совпадает в точности ни с одним из элементов сигнала на передаче и/(!). Следовательно, в этом случае приемное устройство должно выбрать одну из /// возможных взаимоисключающих (альтернативных) гипотез: передавался кодовый символ /»о, т.е. ожидается сигнал ^(^ передавался кодовый символ а|, т.е. ожидается сигнал s\(l); ... передавался кодовый символ Ь^, т.е. ожидается сигнал
^,,i(/). Для двоичной системы (т — 2) приёмное устройство выбирает одну из
двух альтернативных гипотез о передаче символа 1 или 0.
Совокупность всех возможных реализации z{!) можно интерпретировать точками в пространстве Z принимаемых финитных сигналов. Обычно оно является бесконечномерным пространством Гильберта или, с некоторыми (приемлемыми для практики) оговорками, многомерным пространством Евклида. Простоты ради будем графически изображать реализации принимаемых сигналов ^(/) и помех //(/) (длительностью Т} точками на плоскости (рис. 5,1) или соответствующими векторами на плоскости, откладываемыми от начала координат 0, Если правило решения выбрано, то это означает, что каждой точке пространства принимаемых колебаний (концу вектора z = s + п) приписывается одна из w гипотез, т,е, определённый передаваемый кодовый символ Ь,- Пространство принимаемых сигналов окажется при этом разбитым на т

непересекающихся областей Д., каждая из которых
соответствует принятию определённой гипотезы, В такой трактовке различные приёмные устройства отличаются друг от друга способом разбиения про-
J4
странства сигналов на области В^, т.е, правилом принятия решения3^. Возможное разбиение схематически показано на рис. 5.1.
11 Без потери общности можно, когда это удобно, считать />=i. 2] Ha'iLUlo этого огрсака для удобства совместим с началом координат. В принципе интервал анализа на приеме не всегда совпадает <; тактовым интсриалом Т (см. ниже). Сигналы па так-тсиюм интервале чисто будем называть элементов сигнала. 'l В математической теории связи это разбиение и называют решающей схемой. Заметим, что fl некоторых случаях пользуются решающей схемой со стиранием, или отказом от решения, Это ^нячит, что т областей не охватыиаюг вейго пространства сигналов и если приходящий сигнал не попадает ни в одну из этих областей, го принимается решение о стирании либо о нсиоаможности определить передаваемый символ. 168

Если помехи отсутствуют, возможные значения з(/) изображаются точками ^ (/' = Q, 1, 2, ..,, т — 1), При наличии помехи и передаче сигнала с номером / точка принимаемого колебания z отклоняется от точки &,. На рис, 5-1 это показано для сигналов Si(l) и s^!). Область В, содержит точку s/. В тех случаях,
когда помеха не выводит точку z за пределы области В^ решение оказывается
верным при сигнале s,- В противном случае возникает ошибка. Очевидно, изменяя границы между областями, можно влиять на вероятность ошибочного приёма отдельных передаваемых символов- Например, если в разбиении, показанном на рис. 5.1, расширить область В, за счёт области В^, то уменьшится
л
вероятность ошибочного приёма символа ^ вместо передаваемого символа ^
Однако в этом случае возрастает вероятность ошибочного приёма А' при передаваемом Ь/с. Очевидно, всегда существует такое расположение областей, которое в определённом смысле лучше всякого другого,
Если задан критерий качества, то наилучшее разбиение пространства принимаемых сигналов (оптимальная решающая схема приёмного устройства) достигается методами теории статистических решений.
5.2. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА И ПРАВИЛА ПРИЁМА ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ
Рассмотрим сначала широко распространённый критерий Котельникова или критерий идеального наблюдателя, согласно которому качество демодулятора оценивают безусловной (средней) вероятностью правильного приёма символа- Будем сначала полагать, что пространство передаваемых и принимаемых сигналов является конечномерным евклидовым^ Это может быть, например, пространство финитных сигналов, представляемых конечной тригонометрической суммой. В дальнейшем это ограничение будет снято.
В «-мерном пространстве случайный сигнал s(t) характеризуется д-мерной плотностью вероятностей вектора z: w(z). Её можно рассматривать как плотность вероятности коэффициентов разложения г(/) по любому ортонормиро-ванному базису. Если передаётся некоторый символ А/, т,е> принимается сигнал s,(!}, то можно определить условную п-мерную плотность вероятности
w(z|^) s ^(z|s/) - функцию правдоподобия i-и гипотезы (/=0,w-l),
Пусть на вход демодулятора в течение отрезка |0, Т\ приводит некоторый элемент сигнала г(^. Предположим, что демодулятор принимает при этом решение, что передан символ Ь-„ т.е. выдает оценку Ё,. Вероятность того, что это
решение правильно, очевидно, равна условной вероятности pfb,\z(i)} того, что
действительно передавался символ Ь-„ при условии прихода реализации элемента сигнала z(t). Её называют апостериорной вероятностью символа Ь^ (т.е. вероятностью, определённой после опыта, заключающегося в наблюдении и анализе сигнала д(/Ц.
169

Другими словами, критерий идеального наблюдателя обеспечивается решающей схемой, построенной по правилу максимума апостериорной вероятности - решение Ь. принимается в том случае, если выполняется система w. т — 1 неравенств;

где Р(Ь,} - априорная вероятность передачи символа Ь, (т.е. та вероятность, которая имеет место до наблюдения и анализа, и определяемая статистикой источника сообщения и правилом кодирования).
Подставив (5,9) в (5.6) и учитывая, что н^(г) - безусловная плотность вероятности, не являющаяся функцией /, можно написать правило решения по критерию идеального наблюдателя в следующей форме:

170

Для построения решающей схемы по правилу (5,10) необходимо знать априорные вероятности символов Р{Ь-^ а также свойства модулятора и канала,
определяющие условные плотности w(z&,) — функции правдоподобия.
Правило (5JO) можно записать иначе. Решение о том, что передавался символ bj, должно приниматься, если для всех j •?•: / выполняются т — 1 неравенств

Как отмечалось, критерии идеального наблюдателя не является единственным разумным критерием оптимальности решающей схемы. Дело в том, что во многих случаях различные ошибки приводят к различным последствиям. Например, в системе автоматической пожарной сигнализации опаснее не обнаружить сигнал о пожаре, нежели объявить "ложную тревогу", когда в действительности пожара нет.
v'ict последствий ошибок различного рода (связанных с передачей различных символов) приладит к обобщению критерия идеального наблюдателя, известного под названием критерия минимального среднего риска (или байесовского критерия). Введем некоторые понятия.
1? Следует иметь в виду. что и системах с AM дополи игольная гипотеза может соотиетстнов.дть Одной из позиций сигна;ш.
^ Вместо неруненстр (5.14) можно было бы просто написать п'(г)^-)> "•(тд) ^ Сраинение отношении правдоподобия вместо сравнения условных плотностей нероятностей вызнано тем. что понятие отношения правдоподобия можно распространить и нч сигналы из бесконечномерного гильбертова пространства, дли которых понятие плотностей вероятности Jz&J, wJ^.
теряет смысл. Как что делается, будет показано и § 5.3.
171

Если пр" передаче симиола Ь. принят символ ^ , то при j* i имеет место ошибка. Чтобы
л
учесть неравноценность различных ошибок, будем с каждой чарой символов Ь, и Ъ, связывать некоторую численную величину, называемую "потерей", обозначив се 1у- Величина "потери" чависиг, таким образом, от того, какой символ ^ принят вместо псред.шного А;
П p.i is ильн ому приёму при этом обычно приписывается нулеиая "потеря". Значения ^определяются в каждом конкретном случае важностью правильного приема данного элемента сигнала и величиной опасности различных ошибок
Так как при передаче симиола Ь,.символы &, появляются с определёнными вероятности-ми как реализации некоторой дискретной случайной величины, можно говорить об условном математическом ожидании величины "потерн" при передаче конкретного символа Ь,, Мачовем это условное математическое ожидание условным риском:

Интеграл в (5.16) берется по области И, решающей схемы и представляет вероятность
тою, что сигнал зО) потл в эту область, если передавался символ Ь,_ Усреднив условный риск R, по всем символам А;, получим величину, называемую средним риском.

Критерий минимального среднего риска заключается в том, что оптимальной считается решающая схема, обеспечивающая наименьшее значение среднего риск,! R^. Приемник, работающий по такому критерию, называют байесовским,
Из (5.17) видно, что при использовании этого критерия нужно, помимо априорных вероятностей р{Ь,} передачи отдельных символов знать и величины потерь Ly Заметим, что если считать, нее ошибки равноценными {Ly = consi при j ^ t'и l[[ '= 0 ), то критерий минимального среднего риска совпадает с критерием идеального наблюдателя, а байесовский приемник совпадает с идеальным приемником Котельникова. В общем же случае и оптимальном байесовском приемнике чаще будут возникать ошибки, связанные с малыми потерями, и реже — с большими потерями.
Ситуация, и которой практически невозможно определить априорную вероятность перс-дачи отдельных •элемен-шрных сообщений, а последствия ошибок разного рода неодинаковы, типична для радиолокации, когда приёмник, анализирую принимаемое колебание гО) (огиаженный сигн;^ плюс помеха), должен определить, имеется и данном направлении и на данном расстоянии объект наблюдении (цель) или нет. Как правило, априорная вероятность наличии отраженного от цели сигнала (передачи 1} чаранее ие известна. Последствия двух родов ошибок - ложной треноги (приемник фиксирует, что цель существует, л то время как в действительности её нет) и пропуска цели (приёмник отмечает отсутствие цели, is то ирсмя как фактически она имеете») - неравноценны.
В этой и других сходных ситуациях чаще всего пользуются критерием приёма, известным под названием критерия Неймана-Пирсона. Суть его заключается в том, что решающая схема считается оптимальной, если при заданной вероятности ложной тревоги р,п обеспечивается минимальная вероятность пропуска пели р,ш,. Введем в рассмотрение функции правдоподобия пшогсзы об отсутствии цели imp] и о наличии цели i^l]
Очевидно, что можно различными способами разбить пространство принимаемых колебаний ?(/) н;1 две области: Во (область решение об отсутствии цели) и ^ (о наличии цели) -так, чтобы вероятность ложной тревоги

равнялась заданной величине. Поскольку и локапии симиол U (отсутствие цели) передастся паузой, то i^l'/jo] - ато плотность распределения помехи. Следовательно, вероятность ложной
172

В технике связи преимущественно применяют правило максимального правдоподобия (5.14), (5.15). В том случае, когда все символы передаются равновероятно, правило максимального правдоподобия реализует критерий идеального наблюдателя. Однако очень часто это правило решения применяют и при неизвестных или известных, но не одинаковых априорных вероятностях символов. Конечно, оно не обеспечивает в этих случаях максимума вероятности правильного приёма. Изменив решаюшую схему на схему, построенную по правилу максимальной апостериорной вероятности (5.8), реализующему критерий идеального наблюдателя, можно было бы уменьшить вероятность ошибок. При этом, очевидно, пришлось бы сократить области приёма маловероятных и расширить области высоковеронтных символов. Б результате редко передаваемые символы принимались бы менее надёжно, нежели часто передаваемые. Но редкие символы несут больше информации, чем частые (см. § 6,3). Поэтому переход от правила максимального правдоподобия к правилу максимальной апостериорной вероятности, хотя и уменьшает безусловную вероятность ошибки, может привести к увеличению потери информации при демодуляции. Легко показать, что правило максимального правдоподобия реализует критерий минимума среднего риска (5.17), если положить Ly == 0 при / ^=j и L,, = [/р(Ь,) при / ^j.
Вследствие сказанного будем в дальнейшем пользоваться, если не оговорено обратное, правилом максимального правдоподобия и решающую схему, реализующую правило (5.14), называть оптимальной.
5.3. ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ПРИЁМА ПРИ ПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫХ СИГНАЛАХ (КОГЕРЕНТНЫЙ ПРИЁМ)
Предположим, что все искажения в канале строго детерминированы и случайным является только гауссовский аддитивный шум ti(l), который вначале полагаем белым, со спектральной плотностью Лу. Это значит, что при передаче символа Ь, (i = 0, 1, ..., т — 1) принимаемое колебание можно описать моделью (4,48):

173

Будем также считать, что все ^ являются финитными сигналами, длительность которых Т. Это имеет место, если передаваемые сигналы и,(1) финитлы и имеют одинаковую длительность (система синхронная), а в канале нет ни многолучевого распространения, ни линейных искажений, вызывающих увеличение длительности сигнала (либо они скорректированы),
В дальнейшем будем везде полагать, что в системе обеспечена надёжная тактовая синхронизация, т.е. границы тактового интервала, на котором приходит сигнал s,(t), известны точно. Вопросы синхронизации весьма существенны при реализации оптимальных демодуляторов и синхронных систем связи вообще, но они выходят за пределы данного курса. Момент начала посылки s,(t}
примем за нуль.
Определим в этих условиях алгоритм работы оптимального (т.е. основанного на правиле максимального правдоподобия) демодулятора, анализирующего сигнал на тактовом интервале О...Т. Для этого необходимо найти отношения правдоподобия для всех т возможных сигналов относительно нулевой гипотезы (=(/) = n(f)).
Задача затрудняется тем, что ширина спектра сигнала бесконечна (поскольку он финитный), а потому пространство сигналов бесконечномерное ^(Г). Для таких сигналов (или бесконечномерных векторов) не существуют плотности вероятностей. Однако существуют п-мерные плотности вероятностей для любых п сечений сигнала.
Заменим вначале белый шум квазибелым, имеющим ту же одностороннюю спектральную плотность мощности Л^, но только в некоторой полосе частот ^= Л/2Г, где /?»1. Рассмотрим дополнительную гипотезу, т.е. будем считать,
что г(/) — стационарный шум с нулевым МО, Возьмём на тактовом интервале п равноотстоящих сечений через At = \/2F= Т/п- Отсчёты ^ь—^п в этих сечениях для квазибелого гауссовского шума независимы в соответствии с (2.89), поэтому п-меоная плотность вероятности для взятых отсчётов

При   гипотезе,   что   передавался   символ   Ь^   согласно   (^21) n(t} = г(/) — ,?г(0- Следовательно, условная //-мерная плотность вероятности сечений z(!) определится такой же формулой, как и (5.22), если г(^) заменить разностью =(^) — s,(li,}, представляющей при этой гипотезе шум:

Отношение правдоподобия для сигнала s, (относительно дополнительной гипотезы), вычисленное для п сечений,

Заменим дисперсию <з1 её выражением. 174

Тогда

Вернёмся к исходной задаче для белого шума. Для этого будем расширять полосу F, тогда число сечений п стремится к бесконечности, а Л/ — к нулю, Суммы в (5.23) обращаются н интегралы, и после раскрытия квадрата в первом
слагаемом правило решении (выбора оценки ^) можно написать следующим образом:

При выполнении неравенства {5.26) регистрируется символ 1 , в противном случае "О".
Устройство, непосредственно вычисляющее скалярное произведение (или
корреляционный интеграл)'.

называют активным фильтром или коррелятором, поэтому приемник, реализующий алгоритм (5.25), называют корреляционным.
На рис. 5.2 показана структурная схема приёмного устройства, работающего в соответствии с (5.26), Здесь блоки 1'^" — перс множители, Го, Г| - генераторы опорных сигналов s^f), S}[!)\ i - интеграторы; "^" - вычитающие устройства, РУ — решающее устройство, определяющее в моменты времени, кратные Т (при замыкании ключа), номер ^-ветви с максимальным сигналом
175

(; = 0, 1). При т > 2 в схеме рис. 5.2 и других нижеприведённых схемах растет соответственно число ветвей обработки сигнала, попадающих на РУ.Ч
Если сигналы »/(/) выбраны таким образом, что все их реализации (а следовательно, и все реализации д;(/)) имеют одинаковые энергии3^ (£i=const), алгоритм приёма (5.25) (и соответственно его реализация) упрощается (отпадает необходимость в вычитающих устройствах) и принимает вид

Из (5-28) видно, что правило решения не изменится, если сигнал з(/), поступающий на вход демодулятора, умножить на любое число. Поэтому система, в которой все реализации сигнала имеют равную энергию, отличается тем, что оптимальный алгоритм приёма в ней не требует знания "масштаба" приходящего сигнала или, другими словами, знания коэффициента передачи у канала. Эта особенность обусловила широкое распространение систем сигналов с равной энергией, что важно для каналов с замираниями» в которых коэффициент передачи флуктуирует,
Заметим, что для двоичной системы неравенство (5,26) можно представить в более простом виде:

n При реализации этого и всех других алгоритмов оптимального (субоптимального) приема дискретных сообщений предполагается, что к началу обработки сигнала на данном тактоцом интервале схема очищена от переходного процесса.
21 Такие системы часто называют системы с активной паузой. Дьоичную систему, у которой один сигнал нулевой (нет излучения), называют системы с пассивно!/ паузсй. 176

Рассмотренную систему двоичных сигналов используют в простейших устройствах проводной связи, В ради о каналах, а таюке в современных кабельных каналах применяют нысо-кочастотныс сигналы. Наиболее простыми двоичными систймами с гармоничссюиуи сигналами «пляются системы с амплитудной (AM), фазовой (ФМ) и частотной (ЧМ) манипуляцией.

11 О реализации демодулятора двоичной ЧМ с непрерывной фа^ой и минимальным частотным сдвигом (ММС) гопорилось в гл. 3.
177

же схчмий рис, 5.3. и при ^=0. В этом случае РУ играет роль дискримийзтора полнрностсй.
Чтобы придать алгоритму оптимального приёма (5.25) наглядный геометрический смысл, прибавим в обоих частях неравенства одинаковую величину

Умножая левую и правую часть неравенства на —2, отчего знак неравенства меняется на обратный, получаем интересующий нас алгоритм приёма, эквивалентный (5.25):

Отметим, что именно в таком виде впервые получил алгоритм оптимального приёма В-А, Котельников |18].
На рис. 5.4 для т = 2 показана структурная схема приемного устройства, работающего в соответствии с алгоритмом (5,30)>
Здесь "-" — вычитающие устройства; Го,Г1 - генераторы опорных сигналов ^(f), S}(I); О2 - квадраторы; J - интеграторы; РУ - решающее устройство, определяющее в моменты времени, кратные Т (при замыкании ключей), номер ветви с минимальным сигналом.

В пространстве Гильберта

определяет норму разности

векторов г и s; или расстояние между ними2' . Поэтому алгоритм (5JO) можно записать в виде
z-Sj < z-s, , j i-i,
и придать ему простую геометрическую интерпретацию: оптимальный демодулятор должен регистрировать тот из сигналов s,(t)    (соответствующий символу   и,),   который "ближе11 к принятому ко-

31 Для п-мерного пространсш;! Еиклнда эта норм,1
178

лебанию z(f). В качестве примера на рис. 5,5 показано оптимальное разбиение двумерного пространства принимаемых сигналов г(/| при передаче сигналов s^(f) и so(l). Области принятия решения в пользу символов 0 и 1 расположены по обе стороны от прямой О-О", перпендикулярной отрезку, соединяющему точки сигналов и делящему его пополам.
Наличие в схеме рис. 5.4 квадратороь. призванных  обеспечить  к в ад рати ч ее к ос преобразование   мгновенных   значении входных сигналов во всем ик динамическом диапазоне, часто затрудняет ее реализацию.
Рассмотрим икратце случай.. корду r.iyccoBCKini

шум в канале не белый и не квазибелый, а окрашенный, т.е. имеет эюраи но мерную п/югносп»
мощности G(/) а полосе спе^р;! сигн.иза. Пропустим приходящую на вход де модулятора
сумму сигнала и шума через фильтр с передаточной функцией K(}2nf), такой, чтобы в полон:
спектра сигнала произведение G(/)|A:(j27L/')| было постоянной всличинон Л'. Из веек ьо^юж-
ных фильтров с АЧХ, удовлетворяющих этому условию и различающихся только физо-
частотной характеристикой» можно выбрать минимально фазовый, у которого ^{ы^ i:ii.|i,ih:i с нятур;1Л1.нь]м лотрифмом АЧХ 1п^((й) парой преобразований Гильйента Г3|.

Очевидно, что на аыдодс фильтра шум окажется квазибслым. ^н^(/)=,У . Подточу такси
фильтр называется обепяющи-м.
Сигнал s^f} после прохождения через обеляющий фильтр превратится л нскотирып Другой сигнап, который обозначим ^'{S}. Вид его можно определить, зная ^(/) к K[\1-nj} F-слц
теперь подать колебания с выхода обеляющего фильтра на демодулятор, являющийся оптимальным для приема сигналов s,'(f) fl=^m-}\, то получим схему рис 5.6, которая, очснндно, является оптимальной для сигналов s^f) при окрашенном шуме,
Следует обратить внимание на то, что в схемах рис, 5.3 и 5.4 опорные еж-налы должны иметь те же начальные фазы, что и ожидаемые приходящие сигналы из1и, другими словами, должны быть когерентными с приходящими сигналами- Это требование обычно затрудняет реализацию демодулятора и требует введения в него помимо указанных на рисунках блоков дополнительных устройств, предназначенных для регулировки фаз опорных сигналов.

179

Вес методы приема, для реализации которых необходимо точное априорное знание начальных фаз приходящие сигналов, называют когерентными. В тех случаях, когда сведения о начальных фазах ожидаемых сигналов извлекаются из самого принимаемого сигнала (например, если фаза флуктуирует, но настолько медленно, что может быть предсказана по предыдущим элементам сигнала), приём называют квазикогерентным. Если же сведения о начальных фазах приходящих сигналов отсутствуют или по каким-либо соображениям их не используют, то приём называют н^огерентным (см. § 57).
5.4. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЁМНИК С СОГЛАСОВАННЫМ ФИЛЬТРОМ
Скалярное произведение (5-27) можно вычислить не только с помощью активного фильтра (коррелятора), описанного s предыдущем параграфе, но и с помощью пассивного линейного фильтра с постоянными параметрами, Если на вход фильтра подать принимаемый сигнал -••(/), то напряжение на выходе

где а, S — постоянные. Функция g(i) является зеркальным отображением s(l) относительно оси, проведённой через точку t ft (рис. 5.7). Для физической
реализуемости фильтра необходимо и достаточно, чтобы g(!) = 0 при ; < 0, В частности, для финитного сигнала ,?(/), поступающего на вкод фильтра в момент / = 0 и заканчивающегося в момент Т, условие физической реализуемости согласованного фильтра заведомо выполняется, как видно из рис, 5.7, если постоянна / (момент отсчета) удовлетворяет условию

Передаточная функция (частотная характеристика) согласованного фильтра с ИХ (5J2) определяется преобразованием Фурье

180

где §(]fff) — функция, комплексно-сопряжённая со спектральной плотностью
сигнала s(f). Следовательно, с точностью до коэффициента а АЧХ согласован-ного фильтра определяется амплитудным спектром сигнала s(f) (т.е. фильтр лучше передаст те частоты, которые дают больший вклад в унергию сигнала), -л его фазо- частотная характеристика (без учёта слагаемого — Qf . определяемого
задержкой /о) обратив по знаку фазовому спектру сигнала .?(?), Благодаря этому в момент /о все составляющие спектра принимаемого сигнала складываю? ся о фазе и дают максимальный отклик.
Согласно (5.31) в момент времени ^напряжение на выходе согласованною фильтра пропорционально сигналу на выходе интегратора активного фильтра л схеме рис. 5-2, Поэтому демодулятор, реализующий алгоритм (5.26), может быть выполнен и на базе согласованных фильтров. Структурная схема такого демодулятора для двоичной системы показана на рис- 5,8, где СФ; -- фильтр. согласованный с сигналом s,-(f).
Отклик согласованного фильтра на финитный сигнал длительностью 7, поданный ко входу в момент времени 0, существует лишь на финитном интервале протяжённостью IT. Действительно, если на вход фильтра подам иигнал. с которым он согласован, то сигнальная составляющая на выходе согласоьш того фильтра

где Д^о" ч ^ Фк сигнала s{t) при аргументе /0-/. Для финитного сигнала она определена на интервале (0,27) и имеет максимум в точке ; = /о = Т. Подчеркнём, что формы полезного сигнала на рходс и выходе согласованного фильтра, как правило, существенно отличаются друг от друга. Задачей согласованного фильтра является не восстановление формы сигнала, искажённой шумпм. ^ получение одного отсчёта, по которому можно судить о присутствии и/in ит-сутствии на входе фильтра сигнала известной формы.
Докажем, что произвольный линейный стационарный фильтр с импулье-

181

ной характеристикой g{t) дает на своем выводе в момент времени !о> / значение отношения пиковой мощности сигнала к дисперсии шума;

где 2h2 — значение рпик(^)) лля согласованного фильтра (/i2 = E/N^ — отношение энергии сигнала длительности Т к спектральной плотности шума на положительных частотах).

Рассмотрим возможности реализации согласованных фильтров. Согласованный фильтр для финитного сигнала произвольного вида s(^ можно в принципе построить на основе неискажающей длинной линии, обеспечивающей задержку сигнала на время 7, с бесконечной плотностью отводов. Практически можно брать отводы в дискретных точках с разносом Д = 0,5/F, где F — эффективная ширина спектра сигнала,
Действительно, с помощью схемы, показанной на рис. 5-9, можно с заданной точностью синтезировать любой сигнал s(f), представленный усечённым рядом Котельникова (2.61):

где ^ = s(kA), А = \/{1F}, Р ~ ширина спектра сигнала. Как следует из в & 2.4, такой сигнал можно получить на выходе идеального ФНЧ с полосой пропускания F, подавая на его вход последовательность 5-импульсов с весами
182

а[ -ст,Д через интервалы времени Д, Это осуществляется с известным приближением в схеме рис, 5.9. Если на вход линии в начальный момент подается один короткий импульс, аппроксимирующий 5-функцию, то с отводов снимаются такие же импульсы, разнесённые на интервалы Д, которые, пройдя через взвешивающие блоки а^, поступают поочередно на вход ФНЧ, Взвешивающие
блоки содержат аттенюаторы или усилители с коэффициентом усиления а[ , а также при отрицательных а; — инверторы.
Схема рис. 5.9 представляет собой линейный фильтр, называемый траис-берсальным (см, гл. 10), с импульсной реакцией s(t). Легко видеть, что если входной импульс подать не в точку А, э. в точку В, то будет синтезирован сигнал, представляющий зеркальное отображение s(f). Поэтому та же схема со входом в точке В оказывается фильтром, согласованным с s(!).
Существуют и другие способы реализации фильтра, точно или приближенно согласованного с сигналом заданной формы.
Так, вариант фильтра, согласованного с прямоугольным радио им пульсом ч(1) = а
cos(uio/ •\- <рц), заданным на интервале (0, 7), причём ио/= Зил, п - целое, показан на рис. 5.К). Он состоит из идеального колебательного контура без потерь11, настроенною на частоту иц и фаэоврсидателя, сдвипиощсго фазу колебаний контура на -ipn Линия задержки на Тн схеме и инвертор обсспсчинают гашение колебаний фильтра пне интервала (0, 7). импульсная жи

'> В реальном фильтре всегда имеются потери, но cc^ih затухание контура достаточно м,1ло [чТ •к l), то импульсная характеристика контура я е"'17 cosco „Г на инге|>валс анализа практически не отличается от acos&io/. Для умсныиенич о применяют электромеханические фильтры (кварцевые и др.) или используют схемы с положительной обратной связью.
183

Схема с согласованными фильтрами на первый взгляд кажется проще схемы с активными фильтрами, поскольку в ней нет опорных генераторов и не возникает проблемы обеспечения их когерентности (согласования по фазе с приходящим сигналом). Однако и в схеме с согласованными фильтрами имеются свои практические трудности- В этом можно убедиться, сравнив, например, эпюры напряжений (без учёта помех в канале) на выходе фильтра (рис- 5.11, о), согласованного с прямоугольным рад и о им пульс ом (рис- 5.11, а), и на выходе интегратора активного фильтра (рис. 5,11, в). Отметим, что всюду, за исключением точки t = Г, напряжения на выходах обоих фильтров отличаются друг от друга.
Из рисунков видно, что допустимая неточность во времени Д/ снятия отсчёта максимума сигнала на выходе активного фильтра значительно больше, чем при снятии отсчёта максимума сигнала на выходе согласованного фильтра. При активном фильтре достаточно потребовать, чтобы неточность взятия отсчёта была мала по сравнению с тактовым интервалом, а при согласованном фильтре " по сравнению с периодом высокочастотного заполнения радиоимпульса (так называемый когерентный отсчёт). Трудность обеспечения когерентного отсчета в согласованном фильтре вполне соизмерима с трудностью реализации когерентных опорных генераторов в активном фильтре-
Отметим одно важное обстоятельство, свойственное согласованному фильтру- Пусть на его вход поступает колебание г(/), а фильтр согласован с финитным сигналом s(f)^ Тогда сигнал на его выводе в момент времени ;

184

В технике связи для фильтрации сигнала и» фоне шума часто вместо согласошнных [il-пользуют фильтры, характеристики которых лишь частично согласованы с характерпстиггш сигнала. Такие фильтры называют квазцоптималыц^^- Так. и практике радиоприема испаи зуются так называемые квазиоптимальныс линейные фильтры, форма частотных характеристик которым заранее задана и максимум параметра рпц^ обеспечивается лишь ссюшстстную-шим полйором ширины полосы пропускания фильтра. Квазиоптимальный фильтр тат^ т па исследовался В.И- Сифороным, который рассматривал прохождение одиночного р.ишшм-пульса с прямоугольной огибающей через идеальный полосовой фильтр с полосой пропуск;1 ния Д/на фоне квазибслого шума, В.И. Сифоров показ;1Л, что при Д/= 1.37/Г отношение рцц^ достигает максимума.
Pmд= 1,64А2.                                                           (5ЛЗ)
Сравнив (5.36) и (5-43), можно видеть, что при приеме одиночного импульса ^HeprcTiric-ский выигрыш оптимального (согласованного) фильтра по сравнению с кваэиоптимальным невелик (не превышает 1 дБ).
Таким образом, при приеме одиночных радиоимпульсов вполне допустимо ограничитьсц квазиоптимальной фильтрацией. Положение, однако, существенно меняется, если н;|длсд,ит принимать информационные импульсы, следующие друг за другом с таким интеркалом, на котором переходные процессы в квазиоптимальном фильтре не успевают затухать, В эти\ условиях качество приёма с квазиоптимальной фильтрацией резко падает, в то время i:;ik при использовании оптимального согласованного фильтра качество остается прежним, так как сигнал на его выходе концентрируется на ограниченном временном интервале и к моменту отсчёта для одного импульса реакция на все предыдущие импульсы равна нулю (см., например, рис, 5.11, б).
]Й5

5.5. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ОПТИМАЛЬНОГО КОГЕРЕНТНОГО ПРИЁМА
Определим потенциальную помехоустойчивость для двоичной системы с аддитивным БГШ в канале, когда при приёме точно известны оба ожидаемых сигнала; Д](4 и s^f), полагая, что априорные вероятности этих сигналов одинаковы. Приходящий сигнал z(t) является случайным, так как, во-п&рвых, заранее не известна реализация передаваемого сигнала, во-вторых, он содержит случайную помеху N{f).
В этом случае согласно (5.26) алгоритм оптимального приёма

При выполнении неравенства (5,44) оптимальный приемник регистрирует символ 1, соответствующий сигналу ^(г), в противном случае - символ 0, соответствующий сигналу .^(!). Если действительно передаётся символ 1, то ^ =; ^(г) + /V(/). При этом вероятность ошибки определяется вероятностью того, что неравенство (5,44) не выполнено, т.е, вероятностью выполнения обратного неравенства

Аналогичное соотношение получается, если предположить, что передается символ  0.  Следовательно,  в  обоих  случаях  вероятности  ошибки р(0\ 1)=^(1|0)=ри сформированный модемом двоичный дискретный канал симметпичен.

Если N(t) - нормальный ста

ционарный белый шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью мощности М), то ^ - нормально распределённая величина (так
как она определяется линейной операцией над нормальным же случайным пооцессом). Её математическое ожидание

Поэтому вероятность выполнения неравенства (5.46), т-е, вероятность ошибки,
1Й6

которая равна квадрату расстояния между сигнальными точками в пространстве Гильберта. Помехоустойчивость выше (вероятность ошибки меньше) у тон системы, у которой больше эквивалентная энергия используемых сигн.тов, независимо от формы используемьос сигналов- Последние, в частности, могут быть как простыми (отрезками синусоиды с малой базой), так и сложными (шумоподобными, с большой базой),

Из рисунка видно, что по сравнению с двоичной AM для двоичной Ч М-'

-) Здесь имеется в виду ЧМ с разрывом фалы,
187

эквивалентная энергия сигнала ФМ - в 4 раза больше.

в 2 раза больше, а для двоичной

Соотношение (5.50) позволяет осуществлять оптимальный выбор сигналов ,?,(;) и s^(f) или соответственно и,(/) и щ(1), обеспечивающих максимально
возможную помехоустойчивость при заданной энергии сигналов Е. В самом деле, для такой оптимальной системы величина Яд должна быть максимальной при условии, что

Можно написать                          Для получения максимума

этого выражения нужно сделать Е\ и eq возможно большими, а интеграл в правой части — как можно меньшим. Максимально возможные значения Е\ и £n получатся, если, учитывая условия (5,51), положить

этому его минимум равен нулю и достигается при условии s\(t) = -^о(Д которое не противоречит условию (5,52). Таким образом, в двоичном канале с постоянными параметрами и аддитивным БГШ оптимальной оказывается система с противоположными сигналами. Этому условию удовлетворяют, например, двуполярные импульсы, сигналы двоичной фазовой модуляции (ФМ), если разность фаз сигналов Дф — л и т. п.^
Д1Я всех таки>; систем Е^ = 4£ и вероятность ошибки

отношение энергии сигнала на входе демодулятора к спектраль

ной плотности мощности флуктуационной помехи.
11 Напомним (см. гл. 3). что этому же условию удоолетворяет на интервале 27'двоичная система с непрерывной 4^зоЕ| и мпним^и-ным сдвигом (ММС). Е& помехоустойчивость опреде-лиется формулой (5.53).
188

Сравнивая (5.54) и (5,55), приходим к выводу, что переход от системы с ортогональными сигналами к системе с оптимальными (противоположными) сигналами позволяет в рассматриваемом канале обеспечить неизменное качество связи (вероятность ошибки) при понижении средней мощности передатчика в 2 раза, т.е, даёт анергетический выигрыш в 2 раза (или на 3 дБ). Этот вывод следует также из рис. 5.12,

Отсюда видно, что при переходе от системы AM к системе ЧМ энергетический выигрыш по максимальной мощности равен 2, а при переходе к системе ФМ — 4. Если же сравнение вести не по пиковой, а по средней мощности, те переход от AM к ЧМ не дает энергетического выигрыша, поскольку при ЧМ средняя мощность равна максимальной, а при AM - вдвое меньше максимальной (если -?i и sq передаются с одинаковой вероятностью).
Тем не менее, когдд в начале 40-х годов i! р.щиосвязи стали применять ЧМ, помехоустойчивость значительно возросла по сравнению с pairee используемой системой ЛМ. Эгс объясняется не увеличением потенциальной помехоустойчивости, которая д.эм обеих cm-re.v одинакова (при ривной скорости передачи и средней мощности передатчик^, ц гл.иэмым об^ разом тем, что оптимально решающая схсмд для ЧМ реализуете!! е довольно большой точностью, а при AM этому препятствует невозможность обеспечить точное оптимгин.ное эиачгшц1 ненулевого порогоного уровня (см. рис. 5.3, б). Поэтому реальная помехоустойчивость при ЧМ близка к потенциальной, а при AM значительно ниже аё.
Система ФМ, как и другие системы с противоположными сигналами, обеспечивает максимальную длл двоичной системы потенциальную помехоустойчивость. Однако реализация демодулятора для когерентного приёма ФМ встречает определённые трудности. При построении демодулятора с активным фильтром (см. рис. 5.3, б) возникает проблема поддержания равенства фа^ опорного генератора и приходящего сигнала. Если пытаться строить его па основе согласованного фильтра (см. рис, 5,S), то возникает не менее трудная задача взятия когерентного отсчёта.
В практических схемах опорный сигнал s^(l) формируется из принимаемого колебания. Для этого необходимо по принимаемому сигналу восстановить немодулированный гармонический сигнал со^щ! + фо).
и При оптимальном когерентном приёме можно пользоваться обшей формулой для вероятности ошибки приёма двоичных символов

189

3;1ДЕП;1 кыдсленш! опорного сигнала особенно затрудняется при ФМ» так как если эле-
mceitli а]</} if -:o{f) ^ -i|(0 персдЕноп-я равновероятно;. то спектр сигнал ФМ вообще не содержит coci -виляющей на ч.ютспе юц. Для его получения приводится непольчопать нелннийныс усгроиетпа сжпия модуляции. Это достигается р^щчньши схемами, например схемой, нрсд-ложеннои ДА. Пистоль коре ом. cxcm.l содержит умножитель частоты на 2. выходной сигнал которого через уэкополосный фильтр, н устроен ныи на частоту 2^о. поступает h;i делитель 'пс-готы на 2. Если сигнал на входе умножителя описать и ииде yi = cos(uy; + А-тс + ^}, А = О или А = !, то сигнал на выводе умножителя ib = cos(2m[)/ + 2ip(i^ а сигнал на выходе делителя
U, = COR(li)fl/ + ^),
Однако нее схемы формирования опорного сигнгша таковы, что вследствие различных неконтролируемых факторов возможны случайные изменения знака опорного сигнала. Это, в частности, относится и к делителю частоты на 2 в схеме А.Д. Пистолькорса, поскольку ата операция неоднозначна - фаза выходного сигнала делителя может прикчть любое из двух значений: 2(ро/2 = фо или f2(po ^ 2я)/2 = фо + л. Это означает, что символы, регистрируемые на выходе приёмника, даже при отсутствии аддитивной помехи в канале \^(f) = ^(f)] после случайного перескока фазы опорного сигнала инвертируются (нули будут записаны как 1, а 1 — как 0), Это будет-продолжаться до следующего перс-скока фазы опорного сигнала. Возникает так называемое явление обратной работы^ вследствие которого практическое внедрение системы с двоичной фазовой модуляцией оказалось затруднительным1^
Эффективный метод устранения этого явления был найден пут^м перехода к относительным методам модуляции, предложенным Н,Т, Петровичем, Они сводятся к модуляции информационного параметра передаваемой посылки элемента сигнала относительно того же параметра предшествующей посылки. При относительной фазовой манипуляции (ОФМ) сообщение содержится не в абсолютном значении фазы элемента сигнала, а в разности фаз двух соседних элементов, при этом символ 1 передаётся повторением той реализации сигнала, которая имела место в качестве предыдущего элемента, а символ 0 — реализацией с обратной фазой, либо наоборот.
Сигналы ОФМ могут приниматься различными методами. Здесь рассмотрим к в ази когерентны и приём сигналов ОФМ (называемый методом сравнения ио^рностей). Заметим сначала, что систему ОФМ можно рассматривать как обычную систему с фазовой модуляцией (ФМ), но со специальным перекодированием символов. Это означает, что оптимальный прием сигналов ОФМ можно осуществить, например, схемой рис. 5.3, 6, но с перекодированием принятых символов. Перекодирование выполняется сравнением полярностсй напряжений на выходе интегратора для двух соседних элементов, для чего, естественно, требуется задержка выходных символов в ячейке памяти (ЯП) на время Т. Такая схема демодулятора показана на рис. 5.13 (без устройства подстройки фазы опорного генератора Г, которое может быть выполнено, например, по схеме Пистолькорса). Так как ОФМ - система с равной энергией отдельных позиций^ то пороговый уровень в демодуляторе нулевой — и решающее устройство превращается в дискриминатор полярности (ДП). Полярности соседних элементов сравниваются в схеме сравнения полярностей (ССП), Символ 1 регистрируется на выходе приёмника, например, при совпадении полярностей двух соседних посылок, символ 0 — если эти полярности различ
'^ В современных систему?; связи с периодическим зонд про пун иен канала пилот-сигналом
(испытательным импульсом |14|) реализ.шия ФМ не вызывает затруднений. 190

ны, либо наоборот. При таком методе приёма перескок фазы опорного сигнала (при отсутствии помехи в канале) вызывает ошибку только в одном символе-Поспедующие же символы регистрируются правильно, т,е, явление "обратнои работы" не возникает,
Определим вероятность ошибки в системе ОФМ при учёте флуктуационной помехи в канале при когерентном приёме. Очевидно, что ошибочная pei истра-ция символа при приёме методом сравнения полярностей возможна в результате одного из двух несовместных событий.
а) знак данного алемента принят ошибочно, а знак предыдущего - верно,
б) знак данного элемента принят верно, а знак предыдущего - ошибочно.

Таким образом, "платой" за устранение обратной работы является удвоение вероятности ошибки, обусловленной шумом в канале-
Очевидно, что при рассматриваемом методе приёма сигналов ОФМ образующийся дискретный канал является марковским (см. § 2.6). Вероятность ошибки в нем зависит оттого, правильно или ошибочно приняты предыдущие символы. Подавляющее большинство ошибок группируется по две.
Для недвоичных систем (/л > 2) нахождение вероятности ошибочного приёма р^ в общем случае затрудняется, так как теперь приходится анализировать совокупность из (т — 1) неравенства (5,25).
Вероятность ошибки в /я-ичной системе при передаче символа Ь, определяется вероятностью объединения событий;

Для ортогональной системы сигналов с равной энергией (система оказывается также эквидистантной — все сигнальные точки находятся на одинаковом расстоянии друг от друга) вероятность ошибки р,^ (одинаковая при передаче любого символа) выражается следующим интегралом |27];
191

Согласно (5.57) вероятность ошибки монотонно падает с ростом энергетического параметра и2. При m = 2 из (5.57) следует (5.54),
В детерминированном неискажаюшем канале с БГШ оптимальной (обеспечивающей минимальную в&роятность ошибки при заданном значении h2} оказывается эквидистантная система [27J, сигнальные точки которой образуют многомерный ашпаекс (они лежат на одинаковом расстоянии друг от друга ii [.m~\) -мерной ёиперсфере}. Вероятность ошибки для этой оптимальной системы сигналов можно в области малых ошибок также определить формулой (5.S7).
Учтем, что вероятность объединения событий (в общем случае совместных) равна сумме вероятностей отдельных событий минус вероятности совмещения событий, можно получить простую формулу {аддитивную верхнюю границу для исроятности ошибки или неравенство Буля)

где Л/^ л'] ^ эт0 вероятность ошибки в двоичной системе с сигналами Si(f) и
у г),
Для систем равновероятных ортогональных сигналов равной энергии канал симметричен и можно оценить вероятность ошибки простым неравенством

5.6. ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ В КАНАЛАХ С МЕЖСИМВОЛЬНОЙ ИНТЕРФЕРЕНЦИЕЙ
Для каналов с МСИ разработано большое количество алгоритмов приёма. Многие из них основаны на идее измерения характеристики линейного канала g(l. т) с последующей коррекцией канала. Поскольку это надо делать в услови-их меняющихся свойств канала, то такие корректоры называют адаптивными. Даже если получена удовлетворительная оценка системной характеристики канала 1(/,т) или K[]Q,f}y адаптивные корректоры не всегда качественно работают в многолучевых каналах с селективными замираниями^ характеризуемых наличием точек на оси частот с нулевыми значениями модуля передаточной функции. Линейный корректор (выравниватель), стремясь дополнить частотную характеристику канала до идеальной, дает на этих частотах сомножитель "бесконечность", что приводит к характерным всплескам шума. Поэтому рассмотрим подход к построению оптимального демодулятора для каналов с МСИ.
В каналах с МСИ (памятью) прием в целом может оказаться по сравнению с поэлементным приёмом ещё более эффективным^ чем в каналах без памяти, так как здесь имеются дополнительные связи между символами, которые можно использовать для повышения качества. Однако практически такую обработку порой трудно реализовать. Поэтому будем здесь обсуждать главным образом оптимальный поэлементный прием в каналах с МОИ.
192

Оптимальный поэлементный приемник по правилу максимального правдоподобия должен выполнить усреднение (5.60) по всевозможным цепочкам символов Ь,,, Ь^, которые могут оказать влияние на интервале анали-эа А^. а
затем выбрать максимум b^ no L Алгоритм его работы можно записать следующим образом:

Алгоритм (5,61) для каналов с МСИ впервые предложил К. Хелстром. Lro реализация достаточно сложна. Так, при стационарном квазибелом гауссов-ском шуме и равной вероятности цепочек символов Ь.,Ь;

Здесь требуется сложная нелинейная обработка с перебором ^1/'1" гипотез. Сигналы sq W.\W'\{4 считаются при этом известными точно в месте приема, например, на основе изучения реакции канала на периодически передаваемый испытательный сигнал |14] или пилот-сигнал.
Существенное упрощение наступает, если воспользоваться в условиях качественной связи идеей обратной связи по решению- Она сводится к тому, что /-     - \
оценки, полученные в приемнике до анализируемого символа А_л,.-^_, счи-
\    ''               /
таются достоверными, т.е. известна надёжная оценка МСИ g^(t}. В этом случае алгоритм (5.61) можно свести к виду
193

Число перебираемых гипотез теперь ^№" . При нулевой задержке принятия решения (Д^О), ^(f)=Q, и оптимальный алгоритм поэлементного приема
(5,62) в канале с МСИ и квазибелом стационарном гауссовском шуме можно записать как

Оптимальные алгоритмы приёма с обратной связью по решению в канале с МСИ впервые предложил Д.Д. Кловский (1960 г.).
Алгоритм (5.63) учитывает энергию сигнала лишь на одном тактовом интервале. Чтобы полностью использовать энергию сигнала и вместе с тем упростить реализацию» можно вместо (5.62) использовать почти оптимальный (субоптимапьный) алгоритм

который относится к /шоритмам обобщенного максимального правдоподобия (см. § 5.7). При обосновании этого алгоритма Ь, считается на интервале анализа Где|0, (D + }}Т\ символа Ь^ вектором сопровождающих параметров, перебор гипотез идёт по всем цепочкам b^=(^\bf), n^rff^, а в качестве решения выбирается первый символ ^} оценки Ь„. Решение о символе Ь^ принимается на интервале анализа 7^ [Г, (D -1- 2)7} и т.д.
Алгоритм (5.64), предложенный в конце 60-х годов, именуют в литературе алгоритмом Кловского- Николаева (АКН) или алгоритмом приема в целом с поэлементным принятием решения [14]. При D = Q^ и стационарном квазибелом гауссовском шуме в канале АКН можно записать в виде

Число перебираемых гипотез при реализации этого алгоритма равно г^, обработка достаточно простая.
В начале 70-х годов Д. Форни предложил использовать для демодуляции сигналов в каналах с МСН алгоритм Витерби (ABJ61), который обеспечивает примерно ту же помехоустойчивость, что и АКН. До этого АВ использовался для декодирования свёрточных кодов (см. § 7.3).
Отличие АВ от АКН заключается и количестве отсчстои входного сигнала, используемого
для вынесения решения о ^' и, как следствие, — л ззд&ржкЕ решения. Это наглядно иллюст-
" Как показыиист анулиз, строить демодулятор с D > Q практически нсцелесо образно. 194

рируется при помощи направленного графи рис. 5,14, построенного для двртпозищюнного кода (т = 2) и памяти канал;!, прости рающе и-ся на 2 элемента сигнала {Q = 1}. Подробнее ориентированный граф в виде решетки, поясняющей сверточнос кодирование и работу АВ. рассматривается в § 7.3,
На рис, 5,14 показаны траектории (пути). отображающие   формироиание   сигналов
•%,ь,М Eiliii передаче последовательности дио-
ичнык символом (цепочки) ^п,Ь; Передача 1
отображается движением в соответствующем ууле (обозначается точкой) решетки ини^, .l
передача символа 0 — движением виьрд. Ребра решетки имеют длительность тактовог.. интервала Т, Будем считать, что у, момент / = О
начинается передача символа  Ьц.  у^.'|ы
А, В, С, D п сечении 2Г, узлы А\. В\. С.\. D\ в сечении ЗТ и т.д. определяют отдельные си-стояния канала с памятью. В нашем примере их число равно L = in^ = 22 = 4.
Понятие состояние канала непоср&Д[-т-аенно еиязано с МСН и карактеризуст ее конкретное проявление. Если фиксированы Q элементов, пред шествую шик передаче элемента bi,, то это означает» что к моменту начала отклика канала на Ь^ канал находится ь

одном из L - т^ сосломний (по числу возможных реализации цепочек на Q тактовид интервалах). При и^цестной системной характеристике канала (импульсной характеристике или передаточной функции канала) что означает также, что известна подставка (сигнал
•^-д-Л-1''^ н'1 ^^TW0" начинает развиваться отклик на Ь^. По прошествии одного тактоного
интервала Г элемент сообшения ь^-q перестает влиять на ход анализируемого процесса z{s), но начинает влиять новый элемент Ь^. Число состояний канала L ~ т0 при этом сохраняется. При памяти канала Q •= 2 АКН принимает решение в сечении ЗГ рЁшетки относительно символа Ьц. еравниная a^'^i = В метрик Гильберта31 (юнадратоп "расстояний")'

I1 При некоторых услоииях (например, при обработке в дискретном времени) следует говорить о евклидовой метрике. Здесь учтено, что icaM ::0» TaK KilK ^o считается начальным символом на передаче.
195

Гак процесс демодуляции продолжается и дальше. Таким образом, АКН характери тустеп постоянной задержкой решения ^Гдля элемента сигнала п постоянной глубиной принятия решения (Бремени анализа элемента).
Согласно АВ л сечении 3 Т учитывается, что в каждое состояние <Л], b]. С\. d|) ведут пг
траекторий, определяемых различными символами ^. Одна из них имеет минимальную
метрику (5.66), Она к должна быть оставлена ("пыжи дает") для дальнейшего выбора решений (оценок) Остальные {т - \} траекторий отбрасываются. не! рис. 5.14 отбрасываемые траектории отмечены h;i интервале (2Г, 37) штриховой линией (Заметим, 'ito e сечении 37" точки 1 и Г ози.тют один и тот же узел ("состояние"), если не учитывать элемент Ь^ то же можно сказать о точках 2 - 2' 3 — 3', 4 - 4'),

Выжившие траектории могут отличаться определенными символами Ь^, Поэтому процесс поиска наилучшего решения в АВ продолжается до тех пор> пока на некотором шаге (на рис. 5Л4 в сечении nTf уцелевшие траектории не сольются по символу ^ (условно это отображено расположением узлов (^   у   с o,D ^1 выше штрихокой линии). На этом шаге
и определяется решение (на рис. 5Л4 ^ =0), Аналогично npuuecc демодуляции по АВ про-
должуете^ и дальше: на некотором шаге сольются траектории по символу Ь\ (по нему принимается решение) и т.д. В обшем случае АВ карактсризустся переменном задержкой решения и различной глубннои принятия решения для различных злсментоп сигнала.
Для компенсации переменной ^тсржки в АВ используют буферный накопитель. Его роль может иылолнить сам алгоритм» если зафиксировать задержку решения на какой-либо пел ич и не, не меньшей максимальной задержки. При зтом не нарушается изохронность иы-ходного потока сообшений, однако общая задержка а системе связи может оказаться недопустимо большой. В связи с этим чаше всего задержку принудительно уменьшают до некоторой заданной величины т^д = DT[D>Q), При этом для некоторых элементов сообЩЁНИн решение выдается получателю до того, как солью-ггя уцелевшие траектории на единстиенной позиции ^того элемента. Критерием выбора в пользу той или иной позиции при этом служит минимальная метрика, т.е. по существу решение выносится по АКН при 7, =(D+\}T Однако
]i дальнейшем возможны 2 варианта, вынесенное решение ^1 считается наиболее правдоподобным п сохраняются лишь траектории, еодержашие ^ ^Ь^; иынесснное решений ^п считается окончательным лишь для получателя, а и работе сохраняются лсетраектории, в том 'теле содержащие h^^-hf'.
Строгий анализ помсхоустойчиности АКН или АВ затруднён, однако, используя аддитивную верхнюю границу (5.58), можно получить достаточно плотную оценку для вероятности ошибочного приема равновероятных независимых двоичных сигналов в многолучевом детср-минчроианном рлдиоканалс с МСИ к области малых ошибок [14].

Мы рассмотрели поэлементный приём дискретных сообщений. Однако обраоогка сигнала даже пр" отсутствии МСИ на интерпале Тц>. аТ 1) (д — длина кодовой комбинации) и при-ci.i ]»ешсния i& пользу той или иной разрешенной кодовой комбинации (приём в цс^ом') может повысить качество передачи, если используется избыточный код и, следовательно, кодовые
}> При и,1личии МСИ совместная демодуляция-Декодирование тоже может быть реализоиана, но при ?' -z(//-rD4-l)7' Пр'и персмежении симиолов на передаче (см. гл. 7) интервал ан.шиза кодовой комбинации соотнетственно воч|1астает. 196

символы взаимосвязаны (даже к канллс без памяти). Действительно, teik.ih обработки vihti.i-ваит информацию о непрерывном сигн;1ле .'{/) при принятий решения о кодовш1 комбнисшчи (сообщении первичного ллф^виг.!). Если же ну декодер поступают дискретные решения демодулятору ^ (а чусть и^ них moot быть ошибочными) и он принимает решение о кодовой комбинации, не используя информацию о iif) (такое решение называют жёстким}, то t.icti, возможной информации оказывается потерянной, что ведёт к понижению качества.
Приём и целом, когда учитывается при декодировании информация о --{/) (можно гоио-ритъ о совместной двмоду^щии - декодировании ияп о "мягкм! декодировании") может, нооош^ гоноря, потребовать сушсстиеннос усложнение приемника, однако при иипо/и.-юиании евср-•гочного кодирования и АКН или АВ усложнение определяется только свойством кода.
5.7. ПРИЁМ СИГНАЛОВ С НЕОПРЕДЕЛЁННОЙ ФАЗОЙ (НЕКОГЕРЕНТНЫЙ ПРИЁМ)
Как показано в ^ 4.4, многие каналы можно описать моделью (4-43) с флуктуирующей фазой. Естественно, если фаза (или какой-либо другой параметр, определяющий априорную информацию, требуемую для когереитнок' приёма) принимаемого сигнала флуктуирует настолько медленно, что пугем измерения (оценивания) её можно достаточно надёжно предсказать, оптимальный приём в основном реализуется так же. как при точно изнестном сигнале (с добавлением блоков оценивания). Такая ситуаций характерна для многих каналов проводной и реже радиосвязи. Однако нередко фаза флуктуирует довольно быстро, и точную ее оценку получить не удаётся. Кроме тою, оценка фазы требует иногда применения сложных устройств. Поэтому даже в тех случаях, когда. принципиально можно оценить начальную фазу приходящего сигнала, порой от этого отказываются и используют алгоритм, построенный н предположении, что начальная фаза приходящего сигнала не известна и может принимать любое значение на интервале (0, Ъ.}. Такой метод приема называется неюогерептпым. Алгоритм оптимального некогерентного приема впервые получен Л,М, Финком.
Для вывода правила оптимального не когерентного приема будем исходить из логарифма отношения правдоподобия 1п\; для сигнала ^(Г), которое при точно извесгной начальной фазе выражается формулой (5.2;"3), Используя представление для сигнала (4.44). где у - известный коэффициент передачи кан^;>. а 6 - случайный сдвиг в канале, формулу для ///Л/ можно (после устремление и (5.231 Л/ -> 0) записать так.

Здесь /пЛ; является случайной величиной, принимающей различные значения при различных 6, Правило максимума правдоподобия в такой ситуации заключается в выборе такого решения^ для которого математическое ожидание
^
Л/ будет наибольшим. Такое правило оценки символа ^, если сдвиг фазы 6 равномерно распределён на интервале (0-2я), кратко записывается так:

где iv(Q) = 1/2тс при 0 ^ 0 <. 2л — плотность распределения вероятности G.
При нахождении \(9) заметим, что второй интеграл в правой части (5,67) от Q не зависит и равен энергии Е^; сигнала u;{l) на входе канала (на персдат-197

чике), Это ясно из того, что подынтегральной функцией является квадрат сигнала ///(/), сдвинутого по фазе на 9; что, как известно, не влияет на его энер-

При выполнении этого неравенства регистрируется 1, в противном случае - 0.
Величины у, и у, можно получить в момент отсчёта Г на выходе активного
фильтра с опорными сигналами, равными соответственно щ(1) и и,(г). С учётом
сказанного понятно построение на основе активных фильтров схемы, называемой квадратурной и реализующей алгоритм (5.71) (рис. 5.15). Здесь Го, Г| -соответственно генераторы опорных сигналов "о(4. ^i(^ Ф /д —фазовращатель
всех сигнальных компонент на -л/2 (преобразователь Гильберта); БОМ -
блок определения модуля вектора ^ = у^]у, по ортогональным компонентам;
НУ - нелинейные безынерционные устройства с характеристикой

Подчеркнем, что величины V\ не зависят от начальной фазы сигналов щ\ц и, как видно из (5,68), пропорциональны огибающей (в моменты отсчёта, кратные Т} на выходе фильтра, согласованного с сигналом н,(1). Таким обра-
198

зом, алгоритм (5.71) можно реализовать и на базе согласованных фильтров, как показано на рис. 5.16. Идеальный детектор выделяет огибающую напряжения на выходе согласованного фильтра.
Для двоичной системы с пассивной паузой, полагая, что символ 0 передаётся сигналом itQ(l) = 0, правило (5.70) можно записать в виде
У\ > ^                                                     (5.72) где пороговый уровень

199