Перейдём к методам детектирования сигналов УМ. Сначала рассмотрим синхронное (параметрическое) детектирование по схеме рис. 3.3. Пусть на пе-ремножнтель поступает входной сигнал

1огда выходной сигнал (после ФНЧ с коэффициентом передачи К)

Следовательно, обеспечено неискаженное детектирование фазы. При детектировании ЧМ сигнала, поскольку (р(/) - K,^b[r}df, то схема синхронного детектора должна быть дополнена блоком дифференцированпя-
Рассмотрим некоторые нелинейные схемы детектирования при УМ и в первую очередь - схему фазового детектора. Он может быть построен по схеме детектора (рис. 3.17) с тремя источниками в цепи базы (смещения Е, сигнала
^(^y^i^^V-'-^M^)) и опорного колебания f^(f} ^ Acos(^l + тг/2)) при
условии, что характеристику ^ ~/(^,) можно аппроксимировать квадратичной зависимостью (рис, 3-27). Тогда

Если в цепь базы схемы рис. 3.27 подан вместо сигнала и.^(п сигнал ",,м(/). то сигнал на коллекторной нагрузке придется подвергнуть дифференцированию. Есть и другая возможность детектирования ЧМ сигнала; превратить ЧМ сигнал в ФМ сигнал и последний подать в цепь базы схем рис. 3,27, взяв в качестве опорного исходный ЧМ сигнал с полной фазой \\!,^{i). Тогда дифференцирование выходного продукта не понадобится. Для получения ФМ сигнала подадим ЧМ сигнал на колебательный контур, настроенный на частоту несущей (do. Фазовая характеристика такого контура в окрестности точки резонанса СО? = Gi()

где т,р — групповое время запаздывания- Подставив в (3,50) выражение для мгновенной частоты (1з(/)=т,)+^,^/?(/), получим следующее выражение для
101

полной фазы узкополосного сигнала на выходе контура, определяющее ФМ сигнал:

Другой способ детектирования ЧМ сигнала основан на его предварительном превращении в сигнал амплитудно-частотной модуляции (АЧМ) с помощью расстроенного колебательного контура. Рисунок 3,28 иллюстрирует это преобразование. Если точка f^ соответствует середине прямолинейного участка АЧХ колебательного контура, а при качании частоты сигнал остаётся в пределах этого участка, то амплитуда полученного AM сигнала меняется пропорционально изменению частоты. Сигнал с выхода расстроснноно колебательного контура подается на обычный амплитудный детектор-
3.4. ФОРМИРОВАНИЕ И ДЕТЕКТИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ ОДНОПОЛОСНОЙ МОДУЛЯЦИИ
Под сигналами однополоаюп модуляции (ОМ) понимают сигналы, полученные при модуляции гармонической несущей частоты и отличающиеся тем, что их спектр (на положительных частотах) располагается по одну сторону (слева или справа) от точки со = щ. Сигналы одноголосной амгиттудной модуляции •занимают полосу частот первичного сигнала Гц, т,е, в 2 раза более узкую, чем сигнал AM. Это обстоятельство обусловливает большой интерес к системам свя^и с ОМ в тех случаях, когда экономия полосы частот канала является решающим фактором выбора системы сигналов.
Из гл.2 следует, что аналитический сигнал b(t) = b(f) + }b(t) имеет спектральную плотность S^(f)^2S^(f) лишь на положительных частотах (от 0 до
^ц), Ь^)^'^ определяет комплексный сигнал, спектр которого расположен справа от точки о ^ (qq (верхняя боковая полоса), так как умножение на с^ означает перенос спектра ^(/) (с сохранением его формы) вправо на величину do. Действительный сигнал ОМ с верхней боковой полосой

Поскольку сигна-пы ОМ (3.52) и (3.53) являются частными случаями сигнала квадратурной модуляции (3.22), их можно формировать и детектировать по схеме рис. З.]3- ОМ сигнал можно получить также из сигнала AM путем выделения (фильтрации) одной боковой полосы частот. Такой метод нашёл применение в практике формирования сигнала AM с частично подавленной боковой полосой,
Согласно (3.52), (3.53) сигнал ОМ можно представить

3.5. ФОРМИРОВАНИЕ И ДЕТЕКТИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ, МОДУЛИРОВАННЫХ ДИСКРЕТНЫМИ СООБЩЕНИЯМИ
Первичный сигнал при последовательной передаче кодовых символов Ь^
{п — порядковый номер символа в последовательности, Ae0,w-l — номер позиции кода, т — основание (число различных элементов) кода) можно записать в виде

где /^ - момент появления /j-го символа; \\!,b[} ~ форма импульсного сигнала, представленного символом Ь^'. Сигнал ^ц(/) будем называть цифровым.
Этот сигнал чаще всего (что будем ПЕ^едполагать в дальнейшем) является изохронным, т.е. отдельные кодовые символы появляются с равным тактовым интервалом Т- В утом случае можно написать

Обычно v^,^')^*^/), т.е. цифровой сигнал (3.55) образуется как линей ная комбинация одинаковых элементов v(/) j4|:

103

Как. правило, в системах передачи дискретных сообщений используются двоичные коды (/// =^ 2). Однако повышение основания кода позволяет в принципе поднять эффективность системы (см. гл, И).
Элементарные сигналы v(/) имеют вид прямоугольных импульсов или импульсов другой формы, выбираемой из соображения ограниченности полосы частот канала передачи. Сигнал (3-56) можно рассматривать как результат про-Yriwn^MUd ппппздлйшшей псшстчатой (ьункиии

Теоретическая длительность элемента сигнала (3.59) неограниченна- Практически ввиду быстрого убывания функции (sinx)/.x с увеличением х. можно говорить о конечной протяжённости сигнала (3.59) во времени. Если и качестве v(Q выбрать прямоугольный импульс с длительностью Г и амплитудой А. то его спектр будет определяться формулой

т.е. теоретически он неограничен. Часто в качестве сигнала v(/) выбирают сигнал гауссовской формы v(i}=Ae~'" . тогда и его спектр по Фурье также имеет
гауссовскую форму ^(/) ^ ffe"^ . Такой сигнал наиболее компактно размещается в частотно-временной области, Представим (3.56) в виде

При анализе b^(t) в месте приёма с целью извлечения ин4юрмации об /-м по порядку следования символе Ь^' сумма в правой части (3.60) может рассматриваться как сигнал межсимвольной интерференции (МСИ) ^(/)- Если решения о символе Ь^ принимать в отсчётной точке / - П\ то сигнал А^(/)
не окажет влияния на это решение, если v(/) удовлетворяет свойству "отс чётности"
104

которое называют первым условием Найквиста^ Оно означает, что сигнал v(/) лишь в одной отсчётной точке отличен от нуля. Очевидно, что сигнал (3.59) при тактовом интервале передачи Т^- 1/2/^ (у него равномерный спектр в полосе Найквиста [-1/27:1/27']) удовлетворяет условию (3-61), т,е, обладает свойством отсчётности- Этим свойством обладают и другие сигналы, не обязательно имеющие равномерный спектр. Установим, каким требованиям при этом должен удовлетворять спектр сигнала,
Периодическую решётчатую функцию можно представить комплексным рядом Фурье

Соотношение (З.бб) называют вторым условием Найквиста. Условию (3.66) удовлетворяет широкий класс сигналов, в частности, сигнал v(/) с амплитудным спектром вида "приподнятого косинуса" |4]. Сигнал, удовлетворяющий условию (3.66) при перекрытии отдельных компонент ряда, имеет эффективную ширину спектра F^, превышающую полосу Найкдиста;

При этом удельная скорость передачи двоичных символов (на 1 Гц полосы частот)

При использовании сигналов (3-59) с полосой Найквиста (F^ ~ 1/27) получаем

Для передачи цифрового первичного сигнала по каналу используют различные несущие _/(/), Здесь мы рассмотрим только гармоническую несущую.
Цифровая амплитудная модуляция (ЦАМ). Канальный сигнал при ЦАМ (линейной модуляции) можно записать как
11 Его представляют и в другом виде.
105

Спектр этого сигнала содержит несущую и две боковые полосы, каждая из которых повторяет спектр первичного сигнала b^(f). Формирование сигнала (3-70) и его детектирование можно осуществить параметрическими и нелинейными схемами, рассмотренными выше для сигналов AM. Однако из полученной оценки первичного сигнала 6„(/) надо извлечь на отдельных тактовых интервалах Г оценки кодовых символов Ь„. Для этого надо иметь решающее устройство, которое находит эти оценки (вис, 3-29).

На рис--3,29 для отдельных блоков введены обозначения, АД - амплитудный детектор (когерентный или некогерентный), РУ — решающее устройство, которое с тактовым интервалом Т принимает решения о кодовых символах
Ь^'. Эти решения фиксируются в запоминающем устройстве ЗУ-

Отмстим, что длл приёма дискретных сообщений надо обеспечить не только синхронизацию по частоте нссущеи щ\ и по фа^е сигнала (при когерентном детектиройании), но и ти-кто^ иую, •л также циклоную (с учетом методов передачи дискретных сообщений по реальным ка-н;1Л,1м) синхронизацию. С учетом наличия аддитивного шума в канале прием сообщении по схеме рис. 3-29 мс является наилучшим. В гл. 5 анализируются оптимальные схемы приема
дискретных сообщении (при различных видах модуляции), и которых по принимаемым колс-^
б.шиям :(f) выносятся решения Ь^ без иосстановленпя цифрового сигнала AJ/L
Если в (3,70) f/o = 0, то имеем сигнал ЦАМ без несущей (ЦБАМ). В этом случае возможно или синхронное (когерентное) детектирование, или некогерентное детектирование с восстановлением несущей в месте приёма. Методы ЦАМ позволяют по квадратурной схеме рис, 3-13 организовать передачу и приём двух независимых дискретных сообщений,

где u/t, — амплитуда канального сигнала. Вид этого сигнала, реализация модулятора и детектора существенно упрощаются при использовании прямоугольных импульсов v(/) с единичной амплитудой и длительностью Т. В этом случае отсутствует МСИ и вместо (3.72) при Ь^ = ±\
106

где ДО ~= 2Кф^ — разность фаз для двух позиций кода^. Спектральный состав сигнала (3J3) по существу не отличается от сигнала (3.70). Следовательно, ЦФМ и когерентное детектирование в рассмотренном случае реализуются так же, как для ЦАМ, в частности по квадратурной схеме (ЦКАМ). Отметим, что если разность фаз при двухпозиционном коде й9 = л (используются противоположные сигналы), несущая в спектре сигнала ЦФМ исчезает, когда символы с различными значениями появляются с равной вероятностью.
В гл, 5 рассматриваются также методы относительной (разностной) ЦФМ. В этом случае можно кроме когерентного не пользе и ать и некогерентный демодулятор. На практике широко используются многопочиционные системы ЦФМ, когда начальная фаза несущей принимает не два, а т значений. В технике передачи данных широко используются как многопозишюн-ныс (т > 2) системы ЦАМ (многоуровневые системы с линейной модуляцией), многополши-онные системы ЦФМ (с нелинейной модуляцией), так и их смешанные варианты (ЦАФМ). Амллитудно-фазовые диаграммы некоторых таких систем сигналов даны на рис. 3JO. (Знаком "+" обозначается начало координат). Для повышения качества передачи (минимизации средней пероятности ошибочного приёма н канале с шумом) стремятся подобрать такую с 11гн ал ьно-кодовую конструкцию, чтобы снгжитьные точки разрешенных кодовых комбинации (см, гл. 11} находились друг от друга мл максимально возможном расстоянии, Часто конструкция рис. 3,30, б (чст^рсхпозиционная ЦФМ или система ФМ-4), имеющая широкое распространение в технике связи, реализуется посредством двоичной КАМ. Это можно сделать следующее перекодирование, нечетные тактопыс посылки длительности Т двоичной входной последовательности подают h.i один вход квадратурного модулятора, на другой нход квадратурного модулятора подают четные посылки входной двоичной последовательности: посылки передают по каналу в течение интервала Тц = IT, Сохранив скорость пе-
]ост 4  2   ] рсдачи информации /?„=;—_—-—=—, можно повысить помехоустойчивость системы, ис-
-К     •"'    /
пользуя некоторые методы кодирования.
Цифровая частотная модуляция (ЦЧМ). Если частотная модуляция реализуется посредством выбора одного из т независимых гармонических сигналов, то в общем случае при каждом переключении (с /-и на j-ю позицию;
/J<- l,w-l ) происходит разрыв фазы канального сигнала. Действительно, если /-и гармонический сигнал

107

Если (как обычно бывает на практике) после модулятора (в данном случае электронного коммутатора) включён полосовой фильтр, ограничивающий ширину спектра сигнала, то скачки фа^ы приводят к переходному процессу в фильтре- В результате этого возникает паразитная амплитудная модуляция сигнала, и пик-фактор сигнала (отношение его пиковой и средней мощностей) увеличивается. Кроме того, при использовании т независимых генераторов для обеспечения ортогональности системы сигналов требуется разнос частот ^f=i/T{i— I, 2, ...), т.е. минимальный разнос Д/пцп = 1/Г,
С целью сужения спектра и сохранения минимального пик-фактора сигнала необходимо обеспечить непрерывность изменения мгновенной фазы сигнала при еще меньших значениях А/щщ.
Частотную модуляцию с непрерывной фазой сокращенно обозначают ЧМНФ, В системах ЧМНФ мгновенная частота сигнала меняется ло закону

Дл»г обеспечение gojicc "гладкого" шмснсжш фазы и частоты (сослъетстнснно сужении спектра сигналЕ!) т практике (например, в цифровых системах мобильном сото1юн ci^mi по обшсснрспеи^кому иг;шд;1рту GSM) пспольдукл туссопскую форму "частотного импульса" v.il/) 11, соответственно, инптр^ьную i.iyccoiscKyKi форму 'фазового импульса"

108

При получении этого результата учтено, что слагаемое, обязанное сумма?' ной частоте о), + сор мало. Минимальный разнос частот, при котором права? часть (3.79) обращается в нуль, находится из соотношения 2й/лГ=тг, Откуда следует f3,7S)-
Цифровую ЧМ с непрерывной фазой и параметром (3.78) называют модуляцией с минимальным (частотным) сдвигом - ММС (minimum shift keying -MSK). Покажем, что индекс модуляции в этой системе /V=0,5. Определи индекс частотной модуляции М как отношение девиации частоты К,^ = Лй/2
(максимальное отклонение от средней частоты) к частоте модулирующего сиг нала типа "точка" Q = k/t(f- I/27).

С учетом (3.7S) и (3.,SO) получаем, что для ММС индекс модуляции действительно равен 0,5й. При использовании для ЧМ сигналов (3.74), ортогональных в усиленном смысле, минимальным индекс М^ I. Отсутствие скачков фазы в системах МНФ благоприятно сказывается на форме амплитудного спектра сигнала. При М^= 0,5 амплитудный спектр сигнала МНФ весьма узок и сосредоточен вблизи частоты несущей. При значениях М> 1 амплитудный спектр сигналов МНФ становится широким,
Цифровую частотную модуляцию можно реализовать различными способами, например управлением частоты генератора гармонических сигналов по закону (3.75). При этом начальная фаза на п-м тактовом интервале

На рис. 3,31 дана квадратурна схема, формирующая сигнал ММС согласно (З.Й9), Введены обозначения для отдельных блоков: К — кодер, превращающий информационный поток {Ь^} двоичных символов, следующих с тактовым интервалом Т (Ь^ ^ [-1; 1|), л два информационных потока двоичных символов {с^^т-} и {с-ц + \^т}^ следующих с тактовым HHTCpisanoM IT [с/ е [-1; 1]); Г^ — генератор гармонического сигнала с частотой F~= 1/47'; ф_^ — фаэовра-
щатель на -я/2; БОМ — блок определения модуля; Г^ - генератор гармонического сигнала (несущей) с частотой <йе,- При реализации схемы учтено, что

Существуют различные способы демодуляции сигнала ММС.
1. Частотное детектирование без учёта непрерывности фазы. При таком способе производится оценивание частоты сигнала на протяжении одного тактового интервала Т. Поскольку начальная фаза ipo^ при чтом не определяется, возможен лишь некогерентный прием.
2. Когерентное детектирование с отслеживанием фазы сигнала. Если предыдущие символы дсмодулированы 6e:i ошибок, возможно предсказание начальной фазы в соответствии с (З.У1). При этом возможен когерентный приём, и вероятность ошибки соответствует приёму двоичных ортогональных сигналов (см, гл. 5) с поправкой на точность оценки начальной фазы,
3. Квадратурная когерентная демодуляция на протяжении дьух тактовых интсрвалон 2 Г (рис, 3.32)- Воаможность такой демодуляции вытекает из представления (З.Й9). Демодуляция элемента сигнала с номером и == 11 нсдется на интервале (2Г/",2(/ + 1)7) по синусной ветви. Демодуляция элемента сигнала с номером п = 2/ + 1 ведется на иитсрватгс ((2/+ 1)7,(2/+ 3)7) по косинусной ветви. На рис. 3.32 введены обозначения: РУ ~ решающие устройства, ДК — декодер, осущестл-
ляющий объединение символов ^,2т1 и {^i^t в ^"ный поток, их декодирование и выда-
/ -   \   ,
чу информационного потока \h^ ; } ~ блок интегрирования. Соседние элементы информационной последовательности выделяются в двух ветвях обработки, при этом интегрирование в обеих нетвях осуществляется со сдвигом на Т. Интегратор верхней ветви осуществляет интегрирование в Пределам {kT,{k -Е- 2)7), интегратор нижней ветви — ь пределах ((А + \)T\(k + 3)7). После выявления знака напряжений в блоках РУ интеграторы приводятся к нулевым начальным условиям. Входные полезные сигналы в каждой из ветвей обработки

111

где -/ и fl^i — коэффициент передачи и фазовый сдвиг в кана-пе. Таким образом, в каждой из нствей иа интервале 2 Т анализируется (с целью принятия решения об информационном символе с-л или сз/+ |) система противоположных сигналов. Энергия принимаемого сигнала по каждой ветви обработки

т.е. совпадает с энергией гармонического сигнала амплитуды "fUn, на интервале (0,7). В результате (см. гл. 5) вероятность ошибки получается такой же, как при оптимальном когерентном приеме двоичных противоположных сигналой с тактовым интервалом Т (ФМЗ - двухпо-зиционная фазовая модуляция). Но для системы ФМ2 из-за скачков фазы в начале тактовых интервалов требуется большая полоса частот, чем для ММС.
3.6. МОДУЛЯЦИЯ И ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ ПЕРЕНОСЧИКЕ
В импульсных системах передачи энергия сигнала излучается не непрерывно (как при гармоническом переносчике), а в виде коротких импульсов- Это позволяет при той же обшей энергии излучения, что и при непрерывном переносчике, увеличить пиковую (максимальную) мощность \\ импульсе и тем самым повышать помехоустойчивость приёма, В качестве переносчика псрничного сигнала b(t} d импульсных системах связи используют периодическую последовательность jiwico- и р ад иоим пульсов

- форма

одиночного импульса, характеризуется следующими параметрами: высотой (амплитудой) h\ длительностью (шириной) !„; частотой следования /^ ^ 1/7'(Г— период следования); положением имлульсои ьо времени относительно тактовых точек^. Изменяя один из перечисленные параметров в соответствии с изменением модулирующего сигнала b{t), можно получить четыре основных нида импульсной модуляции (ИМ) видеоимпульсов, амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ), модуляцию импульсов по длительности или ширине (ДИМ или ШИМ), частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ), йремя импульсную модуляцию (ВИМ).
На рис. 3J3, а изображена периодическая прямоугольная импульсная последовательность j{f}. На рис. 3.33, б изображен передависмый первичный сигнал Ь{1) (для простоты этот сигнал принимает на ннтерва-ru" анализа лишь три значения). На рис-3. 33 (б, г, д, е) показаны сигналы ЛИМ. ШИМ, ЧИМ, ВИМ, Вертикальными штриховыми линиями отмечены положения немодулнрованных импульсов во времени (тактовые точки). Предполагается, что при всех нидах ИМ изменения соответствующего параметра пропорциональны значениям модулирующей функции.
i1 Если видеоимпульсы имеют не прямоугольную форму, появляется ряд дополнительных параметров,
112

Частота следования импульсов F» н импульсных системах спязи определяется максимальной частотой первичного сигнала Гц: /~ц^ 2F„. Действительно, в импульсных системах связи передаются лишь дискретные (но времени) отсчеты первичного сигнала b(t). Согласно теореме отсчётов частота дискретизации -/^^ 2F^. Чистоту Гц и можно выбрать к качестве частоты ^'юдования импульсов. Сигнал АИМ можно определить выражением ^дим^) = ^}'А1}-Слектр этого сигна-па легко найти как сумму спсктроц AM сигналов. Для этого надо периоди-
tC
ческую функцию переносчика представить рядом Фурье /(/)= ^^дСОй(27г/'цА/+<рд). Спектр
i^u AM сигнала на отдельной поднесущей kF^ находим так, как описано в и 3,3,
На рис. 3J4» 6 показан амплитудный спектр АИМ (на положительных частотах) при модуляции первичным сигналом со спектром, показанным на рис, 3.34, а. Из рис. 3J4, и следует метод детектироцаним АИМ сигнала: детектирование посредством детектора AM сигнала
ИЗ

можно ввести на любой из поднссущих kFy, {k - 0, 1, 2, --). Проще всего выполнить детектирование посредством линейного ФНЧ, АЧХ которого отмечена на рис. 3,34, б штриховой линией, Отфильтровка нежелательны?; частотных составляющих выполняется тем проще, чем лучше выполняется неравенство (/и - ^п) > ^в или ^,1 > 2F„ (т,е, чем меньше интервал дискретизации первичного сигнала), Ограничив ширину спектра ДИМ сигнала первым лепестком штриховой огибающей кривой на рис, 3J4, получаем
At   -1/т                                                                    (3^0) ^Ллим"- '/Чг •                                                                  '    /
Обычно выбирают скважность импульсов переносчика достаточно большой, т.е.
у=Т/^»1.                                                               (3-91)
Большие временные интервалы между импульсами используют для передачи рабочих импульсов от других источников, т.е. для осуществления многоканальной передачи с временным разделением каналов (см. гл, 9). С учётом (3-90) и (3,91) можно видеть, что д/а^-у^^у/^^,
т.е. сигнал при АИМ (это справедливо и при других видах ИМ) занимает значительно более широкую полосу частот, чем первичный сигнал b(f).
Для импульсной передачи сообщений по реальным линиям связи обычно сигналом на выходе импульсного модулятора и^(,1) осуществляется вторичная модуляция гармонической несущей. Структурная схема системы связи для этого случая дана на рис. 3.35. Введены следующие обозначения для отдельных блоков: ИМ - импульсный модулятор; ГИН - генератор импульсной несущей; ДЕМ - демодулятор канального сигнала, выдающий оценку сигнала
ИМ (у„м(/)), ИД - импульсный детектор; £{{} - оценка первичного сигнала, получаемая на выходе ФНЧ,
На рис. 3.33, ж показан сигнал АНМ после вторичной модуляции высокочастотной iap-моничсской несущей по амплитуде. Такая двойная модуляция обозначается АИМ-АМ- На рис. 3J3, з показан сигнал ВИМ после вторичной модуляции гармонической несущей по амплитуде (ВИМ-АМ),
При использовании п качестве несущей периодической последовательности рад но импульсов можно получить еще два вида импульсной модуляции: высокочастотную импульсную модуляцию по частоте (ВЧИМ) и высокочастотную импульсную модуляцию по фазе

114

(ВФИМ). Сигнал при этих видах модуляции показан на рис, 3J3, ;/ и рис, 3.33, л:. Отметим, что сигнал ВИМ-АМ называют также сигналом высокочастотной временной импульсной модуляции (ВВИМ).
Детсктиронание сигналов ВИМ (или детектирование сигналов ВИМ-АМ на второй ступени демодуляции), которые часто используются на практике, можно проьодить различными методами. Один из них - превращение ВИМ is ДИМ- Для этого интегрирующее устройство включается при нулевых начальных условиях в тактовый интервал и выключается при появлении переднего фронта импульса сигнала ВИМ, Уровни сигнала на интеграторе определяют сигнал АИМ. Последний детектируется обычным образом.
3.7. ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ПРИ МОДУЛЯЦИИ СЛУЧАЙНЫМ ПРОЦЕССОМ
Рассмотрим особенности ФК и СП средней мощности модулированных колебаний на примере гармонической несущей. Модулирующий процесс (первичный сигнал) В(!) будем предполагать стационарным с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией В{г). Модулнроцаннос колебание is этом случае также ямястся случайным процессом, Однако» как показано ниже, при стационарном модулирующем процессе модулированный процесс оказывается нестационарным. Тем не менее можно определить СП средней мощности таких процессов как преобразование Фурье от усреднённой во времени ФК процесса, Полученная СП средней мощности вполне соответствует физическому представлению о СП средней мощности модулированного колебания.
Чтобы найти аналитическое выражение для СП средней мощности модулированного колебания, нужно, исходя щ распределения и корреляционной функции модулирующего процесса найти корреляционную функцию модулированного процесса. Сначала решим эту задачу для AM, В этом случае модулированный процесс

(3.92)

где B(f) - центрированный стационарный случайный процесс с корреляционной функцией
ij
Д(т), Будем считать вероятность того, что значения случайного процесса ^лм^О/^о выходят за пределы отрезка [-1,]], пренебрежимо малой. На практике атого можно достичь соответствующим ослаблением модулирующего сигнала на входе модулятора. Раскрыв в (3.92) скобки, получим

откуда видно, что процесс  илш') имеет переменное математическое ожидание Нцсо^ц! + tpu). Этому слагаемому соотвотству ют дискретная составляющая СПМ на частоте/и
величиной L^/2 и корреляционная функция (^/2)соз<^т . Первое слагаемое в правой части (3.93) представляет собой нестационарный центрированный случайный процесс ^лм(/), по-
0
лученный умножением стационарного процесса B(f) на неслучайную функцию времени .^AM^os(uW + фп). В соответствии с формулами гл. 3 для корреляционной функции процесса

Из (3-94) заключаем, что при AM усредненная корреляционная функция ц&нтриро-
иаиного модулированного процесса получается умножением корреляционной функции моду-
^
пирующего процесса на множитель 0,5А'. "соа^пт), где К   — крутизна характеристики модулятора при AM. Корреляционной функции (3.94) соответствует СПМ
115

где G'(/) — СПМ модулирующего процесса B(f], определенная как по положительным, так i по отрицательным частотам- G(/=F/u) — спектр <"?(/), сдиин^тый соответственно вправо i:
влево (в область отрицательных частот) на величину А. Суммарная усреднённая СПМ. соот-нетстнукмцая процессу (3.93), определяется на положительных частотах (Зюрмулой

Рассматривая (3.95), делаем вывод, что сплошная часть СПМ для AM процесса состоит
из двух боковых полос, являющихся "зеркальным отражением" друг друга относительно чае-
1 тоты f^ На сплошную часть спектра приходится средняя мощность 0,5ААм'5(0) (где ДО)
мощность модулирующего процесса), а на дискретную составляющую — мощность G,5 uq
2                                    1                           ''
Полная средняя мощность процесса раджа 0,5i/o |1 -i' K^\B(Q}/U^~\, где Ц) - амплитуда не сущей. Таким образом, теоретико-вероятностный подход в случае ДМ целиком согласуется с выводами, полученными ранее для AM при детерминированном первичном сигнале.
Заметим, что, как следует т (3,94) и (3.95), усреднённые во времени ФК и СПМ AM ко-
0
лебания совершенно не зависят от распределения модулирующего процесса 8{l) . а определяются полностью его корреляционно и функциеи или, что то же, его СПМ- Это одно из главных свойств амплитудной модуляции. Иначе обстоит дело и случае угловоп модуляции, которую сейчас рассмотрим.
Случайным образом модул и do ванную по vrnv гармоническую несущую запишем h пиле

где Ф(/) — случайный процесс, связанный с модулирующим процессом /f(/| соотношениями

Процесс (3.97) нестационарен даже при стационарности /i(/) (см. гл. 2). Поскольку цсн-
грированис процесса (3.96) в общем случае затруднено, определим фунюзию корреляции -iToro процесса без его центрирования.

Выполним теперь усреднение (3.98) по времени. Слагаемое, содержащее косинус двойного угла, при этом обращается в нуль, и получаем

Обратим внимание на то, что в отличие от AM при угловой модуляции синусоидального переносчика ФК модулированного колебания и его СПМ зависят от распределения случай-
•ц.
ного процесса (3.100), а следовательно, и распределения модулирующего процесса B(f) . Если одномерное распределение iv(Q) выражается четной функцией своего аргумента, то

Если модулирующий процесс /.?(;') стационарен и распределён нормально, тогда и 61/,т),
k;ik линейное преобра'ю ванне этого npoucccil, предстамяст собой нормальный процесс с нулевым средним значением, но н случае преобразован им (3.97) он нестационарен. Следовательно, дисперсия атого процесса с - |3(т)| d общем случае зависит не только от корреляционной функции процесса В{^). но и от времени. Используя табличным интеграл, получаем для математического ожидания cos6 u рассматриваемом случае

Сраанипая (3.102) с (3.94), можно заметить, что если иметь u виду лишь пил корреляционной функции модулированного сигнала (следовательно, и его СПМ), то угловая модуляция нормальным случайным процессом с корреляционной функцией В(г) эквивалентна модуляции амплитуды случайным процессом, корреляционная функция которого

Можно показать, что сказанное остается справедливым и при другом (не нормальном) распределении модулирующего сигнала как для ФМ, так и для ЧМ, только зависимость
^,(т) -- /(/3(т)) меняет нид-
Заьисимость (3.103) косвенно отражает тот факт, что при одном и том же модулирующем сигнале спектр AM колебания не шире, чем при угловой модуляции. В самом деле, характер этой зависимости (для всех предстапляющих практический интерес случаен) такой, что B.,(t)
кссгда не шире (т,с. у бы наст быстрее), чем Д(т). Но более "у^кой" корреляционной функции соотиегстьуст более "широкий" спектр.
Благодаря множителю cos wqt is корреляционной функции (3.102) сплошная часть СПМ гармонического переносчика, модулированного стационарным случайным процессом, имеет локалшый экстремум на частоте {„. Поскольку Д„,(т) - это усредненная корреляционная
функция некоторого случайного процесс;!, а сой (у^т — чётная функция от т, то четной же функцией от т оказывается и множитель /^(т) = /(й(т1). Последнему соответствует четное же
я
преобразование Фурье (',(/}= 1/?,(т)со&ьлг/т, всегда имеющее при f= 0 экстремум, Множи-
—<
тель сок (ui)t, как уже отмечалось при рассмотрении AM, соответствует переносу спектра в область частоты /ч так, что экстремум оказывается на этой же частоте.

117

К сожалению, интегрирование (3.107) ь общем виде затруднено. Поэтому рассмотрим решение при двух крайних значениях параметра А'^Д(0), зависящего как от мощности модулирующего сигнала 5(0), так и от крутизны характеристики модулятора Кф^\.
Если А'^/3(о) <й 1, то, разлагая ехр(А;^В(о)/?(т)) в ряд и ограничиваясь двумя первыми
членами, имеем

который похож на спектр при AM (3-95). Дискретная составляющая спектра на частоте _/^
имеет среднюю мощность 0,5Е^е>Ер(~^'1м^(°|). ^ две зеркальные относительно /ц полосы, образующие   сплошную  часть  спектра,   имеют  суммарную  среднюю   мощность
О^^^0)^"1^"1 • Общая средняя мощность о^е^1^1^1^^ 0^. как и должна
быть при ФМ. Доля мощности "полезной" сплошной части спектра очень мала, так что рае-см ivrnHRaeu 1,1 и случай нм^т мяпыи пппктичргкнй инте.пег

где /^(0) — А-я производная Д(т) по т при аргументе 0. Компоненты с нечетными степенями отсутствуют н этом ряду, так как /?(т) является чётной функцией т^ Видно также, что нторая пооизнодная от R(i) пои т == О

Поскольку при К^В[0) » 1 весомые значения экспоненты в (3.106) лежат в областях, где
/?(т) близок к 1, т-с. т мало, то можно ограничиться первыми двумя членами рнда (3-110) и получить соотношение

а умножение корреляционно и функции В\(-с) на cos (чцт соответствует, как изнсстно, переносу спектра C?i(/) вправо и isneBo (н область отрицательных частот) на величину/о. Таким обра'юм, корреляционной функции (3-113) соот15етструет СПМ на положительных частотах

При Л^м^0)-^ выражение (3.115)'стремится к дельта-функции 0,5^,;&(/-/ц). Итак,
можем утверждать, что, если ^м^!0)^!' СПМ ФМ колебания имеет только сплошную часть, форма которого гауссовская независимо от^формы спектра модулирующего процесса
f'V).
Спектральная плотность мощности ЧМ колебания ввиду нестационарности (3.97) легче йсего получить не путем вычислении усреднённом корреляционной функции ЙчмМ' L1 п^ем сопоставления с процессом (3.97) стационарного случайного процесса (3.96), у которого cucKip средней мощности такой же, как усредненный во времени спектр средней мощности
|1У

Рассмотрим теперь особенности спектров средней мощности при цифровой модуляции (манипуляции) гармонической иссушен частоты/п синхронным двоичным случайным процессом. Спектр при AM определяется^ очевидно, так же, как при модулчции непрерывным слу-

1рафики, соответствующие istoroh компоненте формулы ^.пь/ н формуле ^.т), показаны на рис. 3.36, а и б.
Для нахождения усредненных корреляционной функции и спектра средней: мощности при двоичной фазоиой11 модуляции (ЦФМ) воспользуемся результатами, полученными при цифровой AM. Будем рассматривать ФМ е противоположными сигналами, представляющими наибольший практически и интерес. При модулирующем диоичном сигнале рис, 3.37, а сигнал ФМ с амплитудой U^, при манипуляции фазы несущей на угловую величину л: имс^т вид рис. 3.37, о. Его можно представить как наложение двух сигналов AM, модулированных взаи-мообратно (рис. 3J7, в и рис. 3.37, г), причем фазы несущих в них противоположны. Если модулирующий случайный процесс (рис. 3.37, а) стационарен, то усреднённые ФК и СПМ сигнала ФМ определяются учетверенисм соответствующих характеристик сигнала AM, однако дискретная составляющая на частоте несущей при манипуляции на я ц спектре ФМ отсугст-
I /       i' ^  ; • ^    р нуст. Поскольку при рассмотренной пышс ЦАМ ^=—1"^-, то -^-=—м-=-\-, где Р\ - срсд-
_                       _           -» ' J..          ^
няя мощность AM сигнала при передаче 1. Полагая, что символы 1 и 0 передаются раинове-

]J Аналогичные результаты можно получить и при относительной фазовой модуляции.
119

Графики (3.118) и (3,119) отображены на рис. 335, о и б, если ординаты увеличить ц 4 раза.
При цифровой двоичной модуляции частоты с разрывом фазы (переключением цифровым первичным сигналом &ц(/) двух независимых генераторов е частотами (d| и w^) усреднённые во времени ФК и СПМ ЧМ сигнала можно найти как сумму соответствующих характеристик двух AM сигналов с несущими частотами (d| и ^,
Анализ показывает, что При цифровой частотной модуляции с непрерывной фазой (ЧМ-НФ) спектр при определенных индексах модуляции заметно сужается по сравнению со случаем ЧМ с разрывом фазы. Для системы ММС (модуляция с минимеыьным сдвигом) спектр обязывается уже, чем спектр при ЦАМ (или ЦФМ),
3.8. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ АМПЛИТУДНОЙ И УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ
Предельно достижимая (потенциальная) помехоустойчивость систем передачи дискретных и непрерывных сообщений (достигаемая при оптимальных методах приёма) будет рассмотрена в гл. 5 и 8. Здесь определим лишь сравнительную помехоустойчивость передачи непрерывных сообщений при AM и УМ, если для детектирования AM сигнала используется некогерентная неоптимальная» но широко распространенная схема "линейного" детектора, а для детектирования сигнала УМ используется фазовый детектор^
Запишем узкополосное колебание на входе AM детектора (сигнал плюс шум):

120

Выражение (ЗЛ29) не содержит чистой сигнальной составляющей (рвчх = 0), Более того, в условиях неравенства (3.128) //цч(/) Е; ^i(0. т-^- сильная помеха полностью подавила сигнал, что характерно для нелинейных преобразовании смеси сигнала и помехи.
Рассмотрим помехоустойчивость ФД, включённого после ограничителя амплитуд, снимающего паразитную AM. Анализ при произвольных отношениях сигнал/шум на входе детектора затруднен, Рассмотрим ситуацию, когда амплитуда ФМ сигнала U^ с вероятностью, близкой к единице, существенно превышает огибающую помехи UM):

Рисунок 3.38    иллюстрирует   сложение    вектора   сигнала   УМ Sy^(!) ^ У[)сок|о)о/ + ф^(/)] с вектором помехи Un Ha входе ограничителя амплитуд- На рисунке обозначено: фс^) - У1^1 полезной модуляции, отсчитанный от начального положения (штриховая линия); ^(t) — угол шумовой модуляции, создаваемой проекцией ^, вектора Un, Очевидно, что проекция Х^ (совпадающая с сигнальным вектором) не создаёт угловую модуляцию. Колебание, соответствующее суммарному вектору ue можно записать в виде

122

Учитывая, что ОСП на входе детектора определяется 4?ормулой (3.141), получаем, что в режиме сильного сигнала частотный детектор увеличивает ОСП в

(3.149)

раз,
Можно показать, что в режиме слабого сигнала и в неискажаютдем фазовом (частотном) детекторе происходит подавление сигнала сильной помехой,
ВЫВОДЫ
1. Много преобразований сигналов в системах электрической связи (преобразование и умножение частоты, генерация колебаний, модуляция и демодуляция, выпрямление и др,) связано с трансформацией спектра, следовательно, они могут быть выполнены либо и линейных системах (цепях) с переменными параметрами (параметрические цепи), либо и нелинейных цепях.
2. Вследствие линейности амплитудной модуляции спектр AM сигнала повторяет форму спектра сообщения и занимает полосу, в два раза превышающую максимальную частоту спектра первичного (модулирующего) сигнала.
3. Из энергетических соображений и соображении экономии полосы частот канала представляют интерес системы с балансной модуляцией (AM без несущей) или системы с одном боковой полосой (ОБП).
4. Квадратурная схема передачи и приёма сигналов позволяет на одной несущей передавать сообщение от двух независимых источников
5. Фазовая и частотная модуляция является разновидностями угловой модуляции,
6. Спектр сигналов с УМ при больших индексах модуляции М шире и сложнее спектра AM.
7. Сигналы ОБП можно формировать путём модуляции двух гармонических несущих, сдвинутых по фа^е на тг/2, лосрсдством первичного сигнала и его преобразования по Гильберту.
У, Временные и спектральные характеристики цифрового первичного сигнала существенно зависят от выбора аналогового переносчика дискретных сообщений.
9. Система двоичной частотной модуляции с минимальным сдвигом (ММС) (с индексом модуляции 0,5) позволяет достичь помехоустойчивость системы с противоположными сигналами (ФМ-2), но занимает более узкую положу частот.
10.Модулированный сигнал при импульсном переносчике занимает более широкую полосу частот, чем при гармонической несущей.
11.Спектр средней мощности AM сигнала при модуляции случайным процессом повторяет форму спектра средней мощности первичного сигнала, но не зависит от плотности вероятности модулирующего процесса.
12.Спектр средней мощности сигнала УМ при модуляции случайным процессом имеет более сложный характер, чем при AM, и зависит от плотности вероятности модулирующего процесса.
13В режиме сильного сигнала помехоустойчивость УМ при больших индексах модуляции значительно больше, чем при AM.
ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
ЗЛ. Дифференциальная крутизна параметрического элемента меняется  по закону ^(Q = So + У|СозюуЛ а входной сиг-нал n^(f) = ;/(f)cos(oi^ + <рс). Найти крутизну преоб-
124

разования частоты ^р как отношение амплитуды тока частоты а,,? - (iiy- "с к ^мплиту-де входного сигнала.
3.2. На нелинейный элемелт с ВАХ / = do 4" ^1 (и-Е} ^ a-i (^-£) действует напряжение и =~- Е + ?/icos^j; + U-^o^t. Найти амплитуды всех частотных состамяющих тока.
3.3. H:i нелинейный элемент с ьольт-ампсрной характеристикой, аппроксимируемой ломаной прямой, подается (при угле отсечки ?г/2) гармонический сигнал с амплитудой 2 В. Крутизна ВАХ S = 1C мЛ/В. Найти амплитуды постоянной составляющей тою! /^ первой и второй гармоник /| и i-i. Для сравнения найти величины /^, у], /^ методом трех ординат.
3.4. Прямоугольный имлульс длитсльностыо 1 мс модулирует по амплитуде гармоническую несущую частоты А = 1 МГц и амплитуды 1 В. Найти спектр первичного и модулированного сигнал-
3.5. Найти статическую модуляционную характеристику при AM смещением в цепи базы транзистора при аппроксимации характеристики ^ =Л^) ломаной прямой.
3.6. На "линейный" детектор при угле отсечки 9 ^ л/2 подается AM сигнал U.-^(t) = [1 + О^со^-Ю^Цсо^Ю6/). Крутизна характеристики нелинейного элемента ,?= 10 мА/В. Найти напряжение на нагрузке, образованной параллельным соединением сопротивления R = JO кОм и ёмкости С, удовлетворяю шей требуемым условиям работы детектора,
3.7. В чём разница между двумя разновидностями угловой модуляции: фазовой и частотной? 3.3. Спектр переносчика первичного цифрового сигнала определяется на положительные

приподнятого КОСИНУС;! уДОВЛеПЮрЯеТ НТОрОМу уСЛОИЖП паикши:!^, паши (^ирму III:-
рсносчика v(/) с указанным спектром и убедиться, что она удовлетворяет первому усло-иию Найкниста.
3.9. В чём особенности систем цифровой частотной модуляции с непрерывной фа.юй, is частности системы ММС ?
3JO, В качестве импульсной несущей используется периодическая последовательность прямоугольных импульсо?! длительностью т •= 10 мкс и с периодом следования Т= 125 мкс. Эта иссушая модулируется по амплитуде речевым сигналом с псрхней частотой спектр:! fq = 3400 Гц. Какую ширину спектра занимает сигнал АИМ? Сколько речевых сигналов можно передать на импульсной несущей путем временного разделения каналов?
3JI. Двоичная частотная модуляция реализуется путём поочередного выбора одного из двух независимых гармонических сигналов с частотами fv и f\. Модель первичного сигнала — случайная стационарная двоичная сиихронния последовательность, Найти функцию корреляции и спектральную плотность средней мощности ЧМ сигнал;!.
3.12. На вход "линейного" детектора при угле отсечки тг/2 подан однотональный ДМ сигнал
"лы^) - ^o(l+"/sm(n/))cos((diif) и стационарный и^1зибелый (в полосе сигнала) гауссов-
i ский шум с дисперсией с ^ Найти:
а) МО и дисперсию суммарного входного колебания;
б) ПВ суммарного входного колебания;
в) ПВ огибающей входного колебания,
г) ПВ НЧ сигнала на выходе детектора при большом ОСП,
д) вероятность того, что выходной НЧ сигнал (при большом ОСП) превышает срсдне-квадратическое значение шума ст .
125

ГЛАВА 4- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КАНАЛОВ СВЯЗИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ В КАНАЛАХ СВЯЗИ
4.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О КАНАЛАХ СВЯЗИ
В гл. 1 канал связи определён как совокупность средств, предназначенных для передачи сигналов (сообщений) между различными точками системы связи. Под "средством" понимают и технические устройства, и линию связи - физическую среду, в которой распространяется сигнал между пунктами связи. Канал связи можно представить как последовательное соединение устройств (блоков), выполняющих различные функции в общей системе связи,
Такое объяснение применительно к дискретной системе связи показано на рис. 1.5, и при необходимости анализа отдельных её блоков схему можно детализировать. Например, можно учесть ряд устройств (реализуемых электрическими цепями), размещённых в промежуточных пунктах линии связи между передатчиком и приёмником (например, усилительную и фильтровую аппаратуру вдоль линий дальней проводной связи или ретрансляторы радиорелейных линий связи).
В данном курсе не рассматриваются вопросы электрического сопряжения отдельных блоков, образующих канал связи. В первую очередь изучается выбор функциональных блоков канала, при котором была бы обеспечена наибольшая эффективность передачи сообщений (информации). В зависимости от решаемых задач под каналом связи можно понимать различную совокупность блоков, которая у ходе решения задачи считается заданной (см, и 1-2, рис, 1.3).
Классификация каналов связи возможна с использованием различных признаков. В зависимости от назначения систем каналы связи делят на телеграфные, фототелеграфные, телефонные, звукового вещания, передачи данных, телевизионные, телеметрические, смешанные и т,п. В зависимости от того, распространяются ли сигналы между пунктами связи в свободном пространстве или по направляющим линиям выделяют каналы радио- (в частности, космические каналы) и проводной связи (воздушные, кабельные, волоконно-оптические линии связи, волноводные СВЧ тракты и т.п,) В зависимости от характера связи между сигналами на входе и выходе канала различают каналы (звенья, цепи) линейные и нелинейные.
Различают каналы чисто временные (с сосредоточенными параметрами), в которых сигналы на входе и выходе описываются функциями одного скалярного параметра (времени /), и пространственно-временные каналы (с распределёнными параметрами), в которых сигналы на входе и (или) выходе описываются функциями более одного скалярного параметра (например, времени / и пространственных координат х, у, z). Такие сигналы называют полями.
Более существенна классификация каналов электрической связи по диапазону используемых ими частот- Так, на современных симметричных кабельных линиях связи применяют сигналы, занимающие полосы частот в диапазоне, ограниченном сверху частотой в несколько сотен килогерц. Дополнительные мероприятия по увеличению симметрии кабельных пар позволяют увеличить верхний предел используемого диапазона частот до тысячи килогерц Коаксиальные кабели, являющиеся основой сетей магистральной дальней связи, пропускают в настоящее время диапазон частот до сотен мегагерц На воздушных
126

проводных линиях используют частоты не выше 150 кГц, так как на более высоких частотах в этих линиях сильно сказывается мешающее действие аддитивных помех и резко возрастает затухание в линии-
Радиосвязь осуществляется с помощью электромагнитных волн, распространяющихся в частично ограниченном (например, землей и ионосферой) пространстве, В настоящее время в радиосвязи применяют частоты примерно от 3'103 до 3-1012 Гц, Этот диапазон принято в соответствии с десятичной классификацией подразделять следующим образом (см- табл. 4Л).
В таблице в скобках указаны нестандартные, но используемые названия

диапазонов волн> Диапазон децим илли метровых волн уже вплотную подходит к диапазону инфракрасных волн. В настоящее время благодаря созданию и широкому внедрению квантовых генераторов (лазеров) освоен и диапазон световых волн (оптический диапазон). Практически в оптико-волоконных линиях связи используются частоты порядка 1014 Гц (длины волн 1,55; 1,35; 0,85 мкм),
Для современного этапа развития техники связи характерна тенденция к переходу на всё более высокие частоты. Это вызвано рядом причин» в частности необходимостью повышать скорость передачи сообщений, возможностью получить остронаправленное излучение при небольших размерах излучателей, меньшей интенсивностью атмосферных и многих видов промышленных помех в более высокочастотных диапазонах, возможностью применения помехоустойчивых широкополосных систем модуляции и т-п-
Для теории электрической связи большой интерес представляет классификация каналов связи по характеру сигналов на входе и выходе канала. Различают каналы:
127

а) непрерывные (по уровням), на входе и выходе которых сигналы непрерывны- Примером может служить канал, заданный между выходом модулятора и
входом демодулятора в любой системе связи;
6) дискретные (по уровням), на входе и выходе которых сигналы дискретны^
л
Таковы каналы, заданные между точками а-а и Ь-Ь на схеме рис. 1.5;
в) дискретные со стороны входа и непрерывные со стороны выхода или наоборот. Такие каналы называются дискретно-непрерывными или полунепрерывными (например, каналы, заданные между точками a -z, Ь —z (см- рис. 1.5),
Всякий дискретный или полунепрерывный канал содержит внутри себя непрерывный канал. Следует помнить, что дискретность и непрерывность канала не связана с характером передаваемых сообщений; можно передавать дискретные сообщения по непрерывному каналу (см. гл. 5) и непрерывные сообщения по дискретному (см. гл. 8). В ТЭС анализируются каналы (сигналы) с непрерывным и дискретным временем (см. гл. 10).
4.2. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ КАНАЛОВ СВЯЗИ
Для построения теории электрической связи необходимо прежде всего располагать математической моделью канала, описывающей реальный канал с нужной степенью приближения. Такая модель (если не интересоваться внутренними процессами в системе) сводится к заданию математической модели сигналов на входе и выходе канала (или образующих его электрических цепей) и связей между ними. Будем рассматривать только чисто временные каналы, задавая связь сигналов (в общем случае многомерных, векторных) на входе x(l) и выходе у(г) (последние называют также откликом или реакцией системы) системным оператором у0) - L{x(t)}.
Чтобы полностью определить задачу, решаемую в теории связи, следует задать область У^ некоторого функционального пространства, которая называется областью допустимых входных воздействий. Указание этой области описывает характер входных сигналов, которые могут быть непрерывными, дискретными, цифровыми детерминированными или случайными. Аналогично должна быть определена область Уу допустимых выходных сигналов- В настоящей главе рассматриваются  главным образом системы с аналоговыми  сигналами (непрерывные по уровням и времени) на входе и выходе (непрерывные каналы).
Математической моделью системы (канала} называют совокупность системного оператора Z, и областей допустимых сигналов У^ и Уу. Классификацию систем (каналов) можно проводить на основании характерных свойств их математических моделей. Говорят, что система стационарна, если её отклик на выходе не зависит от того, в какой момент времени поступает входной сигнал. Стационарные системы называют системами с постоянными во бремени параметрами. Если свойства системы зависят от того, в какой момент времени поступает входной сигнал, систему называют нестационарной (системой с переменными во времени параметрами или параметрической системой).
Важнейший принцип классификации систем (каналов) основан на том, что различные системы по-разному реагируют на сумму нескольких сигналов. Если оператор системы удовлетворяет принципу суперпозиции:

где а — произвольное число, то система называется линейной. Ьсли условия (4-1) не удовлетворяются ^ система называется нелинейной.

Строго говоря, все физические каналы связи и составляющие их звенья (цепи) в той или иной степени нелинейны. Однако очень много каналов (цепей) весьма точно описываются линейными моделями. Так, практически всегда можно пренебречь нелинейностью обычных резисторов, конденсаторов, некоторых индуктивных элементов, среды распространения электромагнитных волн при обычных мощностях передатчиков и т.д. Нелинейные каналы (цепи) содержат в себе обычно такие элементы, как полупроводниковые диоды и транзисторы, имеющие сложные вольт-амперные характеристики. Нелинейные каналы характерны также для некоторых сред распространения радио- и оптических волн при повышенной мощности передатчиков.
Построить общие математические модели и анализировать нелинейные каналы (цепи) ввиду того, что не работает принцип наложения, значительно сложнее, чем анализировать линейные каналы (цепи). В этой связи мы ограничим рассмотрение нелинейных каналов только детерминированной безынерционной одномерной нелинейной моделью, когда сигналы на выходе y{t) и входе канала х(!) связаны соотношением

Соотношением (4.2) достаточно точно может быть охарактеризована работа ряда звеньев реальных каналов связи, например входящих в состав модуляторов и демодуляторов (см, гл. 3), ограничителей и тп,
4.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ В ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ
Передача сигналов по реальным каналам связи всегда сопровождается изменениями (преобразованиями) этих сигналов, в результате чего принятые сигналы отличаются от переданных. Отличия эти обусловлены прежде всего линейными и нелинейными преобразованиями входных сигналов, а также наличием аддитивных шумов в канале, существующих чаще всего независимо от передаваемых сигналов, С точки зрения передачи информации по каналу важно подразделение преобразований сигнала на обратимые и необратимые. Обратимые преобразования не влекут за собой потери информации (см. гл. б),
129

При необратимых преобразованиях потери информации неизбежны. Для обратимых преобразований сигнала часто используется термин искажение, а необратимые преобразования называют помехами (аддитивными и нсаддитивными).
4.3.L ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ
Пользуясь 4^нльтрую1лим свойством 5-функцин, запишем

Выражение (4-3) можно рассматривать как динамическую модель сигнала, показывающую ход его развития от -со до точки /,
Поскольку й(/ - т) = 0 при т > /, то (4J) можно записать как

Введем в рассмотрение импульсную характеристику (ИХ) g(!) линейного [-тационарного канала как его отклик в момент времени / на 5-импульс, поданный в момент времени 0, Тогда отклик такого канала на элементарное воздействие х(т)^т8(? —т) равен x(x)(hg(t -т), а отклик на сигнал (4.3) в соответствии с принципом суперпозиции

Верхнюю переменную /в интеграле можно заменить на со, так как из условия реализуемости системы (отклик системы не может появиться раньше воз-.idicTimn) к(!. — т) ^ 0, при / - т < 0 или т > /.
Выражение (4-5) называют интегралом Дюамеля. Он определяет отклик линейной стационарной системы v(l} как свёптку сигналов тС^ и р(/1:

Формула (4,5) имеет наглядный физический смысл, линейная стациопар-||;1Я система выполняет над входным сигналом операцию взвешенного сумми-ронанш! всех его мгновенных значений, существовавших в прошлом при — ее < т < /. Роль весовой функции играет ИХ.
Физически реализуемая система должна быть также устойчивой: возникающие от внешнего толчка (воздействия 5(?)) собственные колебания долж.ны с течением времени затухать, что требует выполнения условия абсолютной интегрируем ости-

Формулу   (4,5)   можно   обобщить   на   случаи   линейною   нестационарного
\параметрического) канала:

^.iii учесть что ИХ g{f, г) - это отклик канала (системы) в мо\тснт t ил Й-импульс, пощнньш ко ихолу ^ момент / - т- Для стационарной системы g(!, т) = ^(т).
Сслн klih.l'i (система) имеет т вкопон н и выходов, можно iMsecTii б (хюсмогреиис матрицу импульсных характеристик g(t, т) с парциальными импульсными характеристиками
130

определяет передаточную функцию линейного кангша с псЕ^еменными параметрами, которая является функцией не только частоты, но и премсии-
Для стационарных линейных каналов (систем) передаточная функция (комплексный коэффициент передачи или частотная характеристика - ЧХ) не зависит от времени, поскольку

Импульсную характеристику^?) можно найти из K(f) обратным преобразованием Фурье:

Соотношения (4.10) и (4,11) определяют спектральный (частотный) метод анализа линейной стационарной системы, в то время как соотношение (4.4) определяет временной метод анализа этой системы.
Спектральный метод анализа линейных стационарных систем можно обобщить, если от преобразований Фурье входного х{!) и выходного у(!) сигналов перейти к их преобразованиям Лапласа-
Предположим, что x(l) — вещественный или комплексный сигнал, определённый при / > 0 и равный нулю при t < 0. Преобразование Лапласа этого сигнала ^ это функция комплексной переменной

131

Число а называют абсциссой абсолютной сходимости
Выражение (4.13) можно рассматривать как обобщение преобразования Фурье (для сигналов, определённых при г^. 0) на случай комплексной частоты (4.12)- В литературе имеются таблицы большого числа функций x(f)
(оригиналов) и их изображений ^{р}. что часто делает излишним выполнение операции обратного преобразования Лапласа, Так, для функции

Оригинал х{!) по заданному изображению F^[p) можно в общем случае находить обратным преобразованием Лапласа. Для этого в формуле обратного преобразования Фурье

следует осуществить аналитическое продолжение, перейдя от мнимой переменной j(o к комплексной переменной р :- а + jo. Так как (ао == ф/j, то из (4.15) следует

Из соображений сходимости надо, чтобы выполнялось условие с > а (см. (4.14))^ Изображения по Лапласу оказываются в точках комплексной плоскости р (за исключением счётного числа так называемых особых точек, которые, как правило, полюсы, однократные или многократные) аналитическими функциями (непрерывные функции с производными любого порядка). Это позволяет для вычисления интегралов типа (4.16) пользоваться достаточно простым и отработанным методом теории вычетов.
Чтобы использовать методы теории вычетов для интегрирования (4Л6), надо сначала от этого интеграла перейти к интегралу по замкнутому контуру

Контур интегрирования в (4.17) образован добавлением к прямой о ^ а дуги бесконечно большого радиуса R (рис. 4,1). Для того чтобы добавление этой дуги не изменило значение интеграла (4.17). надо, как доказывается в теории функции комплексной переменной р: при положительных значениях /
132

располагать дугу с радиусом R в левой полуплоскости и вести интегрирование по замкнутому контуру против часовой стрелки (рис, 4,1); при отрицательных значениях / располагать дугу с радиусом Я -^ со в правой полуплоскости и вести интегрирование по замкнутому контуру по часовой стрелке (рис. 4.1, штриховая лнния).
Согласно теореме Коши о вычетах, интеграл по замкнутому контуру

где Re^l/^^e^j - вычет подынтегральной функции ^[р]^ относительно ее /г-го полюса, который лежит внутри контура интегрирования. Вводя вместо передаточной функции линейной стационарной системы к(]<а} её операторный коэффициент передачи К(р) (т.е. формально, перейдя от мнимой частоты jcd к комплексной частоте /?), получаем для изображения F,,(/?) (преобразование Лапласа) отклик системы y(i) на воздействие x(f):

Анализ цепи посредством формул (4,19) и (4.20) называют операторным. Для интегрирования (4.20) методом теории вычетов надо прежде всего
знать полюса функции г(р)к(р]^ (т.е. значения р, при которых эта функция обращается в бесконечность). Представим уту функцию в виде

Если интеграл в (4.20) берется при !^ 0 (контур замыкается в левой полуплоскости), то согласно'теореме о вычетах он не равен нулю, так как все полюса подынтегральной функции попадают внутрь контура интегрирования. Действительно, полюса /\(/?) лежат внутри этого контура, что обусловлено выполнением условия .с > а. Полюса р^ операторного коэффициента передачи К(р} устойчивой линейной стационарной системы лежат в левой полуплоскости переменной р, так как свободное колебание в системе (существующее при
133

отсутствии внешнего воздействия) совершается по закону е^- Эти колебания стремятся к нулю с ростом / (условие устойчивости) лишь при Re[/?^] < О,
Если интеграл в (4,20) берется при I < 0 (контур замыкается в правой полуплоскости), то он равен нулю, так как при Re[^| > с нет полюсов внутри контура интегрирования. Этот результат очевиден, поскольку входное воздействие начинается лишь пни != 0-

Линейный стационарный канал (цепь) является неискажающим (не меняет форму входного сигнала), если

где у - масштабный коэффициент; /о - постоянная задержка в канале. Действительно, подставив (4.24) в (4,4) и учтя фильтрующее свойство ё-функции, получаем

Импульсной характеристике (4-24) соответствует согласно (4.9) передаточная функция канала

т.е. АЧХ не зависит от частоты, а ФЧХ <р(/)^ -2лД линейно меняется с частотой. В реальных каналах связи, даже когда можно пренебречь аддитивным шумом, преобразование сигналов имеет сложный характер и обычно приводит к отличию формы выходного сигнала от входного.
4.3.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УЗКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ В УЗКОПОЛОСНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ КАНАЛАХ
Многие каналы (цепи) можно считать узкополосными, когда модули их передаточных функций К( jco) имеют существенные значения лишь в малой окрестности частоты ±с)[). В то же время и входные сигналы x(f) можно чаще всего в линиях связи считать узкополосными (квазигармоническими, см- g 2.2). Поэтому представляет интерес упрощённый метод расчёта преобразований таких сигналов, вводящий в рассмотрение низкочастотный эквивалент канала с
передаточной функцией /"(jQ) или Г(Р}. 134

Спектральную плотность узкополосного входного сигнала х(/) со средней частотой спектра А на положительных частотах (-/о — на отрицательных частотах) можно представить в виде'^

Выражение (4.28) определяет спектр по Фурье комплексной амплитуды /!,(/) , который расположен в области низких частот, С учётом (4.28) из (4,27)
следует (4.26), Из (4-26) следует, что спектр A,[f) (4.28) можно получить как удвоенное значение i?,(j(o) в области положительных частот при замене ©-(Оц
на Cl.
Аналогично, полагая что средняя частота в полосе пропускания канала с характеристикой А'0&)) на положительных частотах равна щ (на отрицательных —о)о) можно записать

где g{t} — сигнал, сопряжённый с g(!) по Гильберту, -f(t) — комплексная огибающая ИХ узкополосного канала g(t), a

- передаточная функция низкочастотного эквивалента канала с ИХ g (t)= 0,5y(/). имеющая существенные значения лишь в области низких частот.
1) Очевидно, что с учетом уз ко полос ноет и сигн,1-|щ Д1!>1 сл^шс^ых (4,26) не псрскрыниются по
спектру.
J) Дна слагаемых |! правой части (4,29) не перекрываются по спектру,
135

Из формулы (4-29) следует, что характеристику ГО^) можно получить из А^0(о) в области положительных частот, полагая в ней q) - coo ^ О.- Действительную ИХ узкополосной системы можно выразить через частотную характеристику низкочастотного эквивалента с учётом (4.30) так;

Интегрирование выполняется просто при помоши теоремы о вычетах, если считать в ин-гегрн-пе, что Q = а + ]Ь является комплексной переменной. Замыкая вещественную ось дугой бесконечно большого радиуса а верхней полуплоскости (при / > 0), переидём от (4.32) к рал-

По (4.Ю) определяем спектральную плотность выходного сигнала Sy(]<^) как произведение правых частей (4.26) и (4-29), Учитывая сноски на двух предыдущих страницах получаем

Приравнивая правые части (4.33) и (4,34) и обозначая m — coo = ^ находим низкочастотный эквивалент соотношения (4-Ю):

Исходя из (4.35) и учитывая (4.30), комплексную огибающую выходного сигнала можно найти и посредством свёртки:

136

Отметим, что в некоторых задачах комплексную огибающую А.(/) можно
найти без формул (4.35) или (4.36), пользуясь обычными методами комплексных амплитуд из теории цепей. Реализовать комплексную фильтрацию (4.35) или (4,36) можно посредством квадратурной обработки сигнала |11|.
4.3.3, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Рассмотрим преобразования энергетических характеристик детерминированных сигналов длительности Т в линейных стационарных системах (каналах). Учитывая определение СПМ, данное в и 2.5. можно выразить связь между ^тими характеристиками на выходе и входе детерминированного линейного стационарного канала;

т.е. ФК системной характеристики g(i) и коэффициент передачи системы по мощности ^(/) связаны парой преобразований Фурье. Используя спектральное соотношение f4.3S), можно утверждать, что ФК выходного сигнала y(f} определяется свёрткой ФК входного сигнала х(/) и ФК импульсном характеристики системы

137

4.3.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ
Исследование преобразований случайных процессов при их прохождении через динамические системы (как с регулярными, так и со случайно меняющимися параметрами) связано с решением задач двух типов: определение корреляционной функции (спектральной плотности мощности) отклика Y(t) на выходе системы, заданной своими характеристиками, по данной корреляционной функции (или спектральной плотности мощности) входного воздействия X(t)\ определение многомерного распределения вероятностей отклика Y(t) на выходе системы по многомерному распределению входного воздействия X(t).
Вторая из указанных задач является более общей. Из её решения, очевидно, может быть получено решение первой задачи. Однако в дальнейшем огра-
138

ничимся рассмотрением только первой задачи и лишь укажем пути решения цторой, более сложной задачи. Так, можно утверждать, что если полоса частот F,, занимаемая входным случайным процессом .Y(/), много шире полосы пропускания AF данной линейной системы, то распределение выходного случайного процесса У(г) имеет тенденцию приближаться к гауссовскому,
Действительно, в стационарной детерминированной линейной системе с финитной т.е. ограниченной во времени пределами О...т ИХ g{!) отклик

Шаг дискретизации Дт можно выбрать равным интервалу корреляции входного процесса I//7,. Допустим, что входной процесс центрирооан .V(/)=.0, тогда центрирован и выходной процесс. Узкая полоса пропускания UF означает, что длительность импульсной характеристики т велика по сравнению с Лт.
Сечение выходного процесса Y{!) в любой момент времени t определяется согласно (4.39) N слагаемыми суммы. В эту сумму входит много некоррелированных между собой сечений процесса X(t}. Распределение вероятностей такой суммы согласно центральной предельной геореме теории вероятности близко к гауссовскому (тем ближе, чем больше /V, определяемое отношением F^/^F}. В предельном случае, если на вход канала воздействует белый шум, у которого ширина спектра бесконечна (не совпадающие во времени отсчёты не коррели-рованы), а канал имеет ограниченную полосу пропускания, то N-> со и выходной процесс будет строго гауссовским. Отмеченное свойство линейного канала сохраняется и при изменении параметров канала.
Используя правила нахождения законов распределения для функций от случайных величин (случайных процессов), можно в принципе находить и распределение выходного процесса любого порядка, если известно распределение входного процесса. Однако определение многомерных вероятностных характеристик отклика линейных систем оказывается весьма громоздким и сложным, несмотря на то, что для решения этой задачи разработан ряд специальных приемов.
Далее займемся определением функции корреляции выходного процесса. Мы показали в g 2.5, что для стационарных случайных процессов существует пара преобразований Фурье между ФК 5,(т),^.(т) процессов X{t) и У(!} и их
СПМ G\f\ Gy{f} - Поскольку для стационарной линейной системы и при случайных стационарных воздействиях справедливо соотношение (438), то ФК-выходного стационарного процесса У(/)

Можно показать |15j, что ФК отклика детерминированной параметрической системы на стационарные входные воздействия X(t) определяется форму лой

т.е. в данном случае выходной процесс, вообще говоря, нестационарен
139

4.3.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ
Ограничив рассмотрение нелинейных преобразований моделью (4.2) у(!) = ^\x{t)], заметим, что преобразование х -> у, как правило, однозначно, что не всегда можно сказать об обратном преобразовании у -^ х (например, квадратичная цепь с характеристикой y=kc5).
При нелинейных преобразованиях возникает трансформация (изменение) спектра входного воздействия. Так, если на вход нелинейной системы воздействует смесь регулярного сигнала и аддитивного шума X{t) — S(t} + /V(/) в узкой полосе частот /^, группирующейся около средней частоты /о, то в общем
случае на выходе будут присутствовать составляющие комбинационных частот трёх видов, группирующихся около частот nf (п = 0, 1, ...): продукты взаимодействия составляющих входного сигнала между собой (с х с), продукты взаимодействия составляющих входного игума (ш у. ш), продукты взаимодействия сигнала и шума (с у. ш). Разделить их на выходе системы обычно невозможно.
Если известна характеристика у =- {^(х) нелинейной системы и двухмерная функция распределения входного воздействия w(xi, ;о; /ь ^ т0 основные характеристики выходного процесса (МО и ФК) в принципе всегда можно опре-

J 1рямым преобразованием Фурье можно по ФК найти и спектральную плотность мощности процесса Y(f).
Анализ прохождения случайных воздействий через нелинейные цепи сильно упрощается для узкополосных воздействий, если воспользоваться их квази-гаомоническим поел ставленном.

140

При значениях р,^ » 1 имеем р,^=0,5р,^, :з при шлых значениях р^ « 1 следует
Ppl.tx^P^ ОСП на ныходс детектор;) (приёмника) is 'лтоп области резко уменьшается с уменьшением р^ (сильный шум "под им лет" сигнал)
4,3,6. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ СЛУЧАЙНЫЕ КАНАЛЫ СВЯЗИ
Помимо рассмотренных детерминированных преобразований сигнала в отдельных звеньях канала (в частности, в линии связи или среде распространения волны) имеют место и случайные преобразования сигнала- В простейшем случае это преобразование сводится к суммированию сигнала с независимым от него случайным процессом, называемым аддитивной помехой или аддитивным шумом. В более сложных каналах к этому добавляются случайные изменения параметров канала, в результате которых даже в отсутствие аддитивных помех принимаемый сигнал не определяется однозначно передаваемым.
Рассмотрим в общих чертах характерные преобразования сигнала в случайных линейных каналах (цепях).
Случайный линейный канал. В самом общем виде линейную систему (или линейный канал) можно описать случайной ИХ <7(/,т), имеющей тот же смысл, что и g(/^) в (4-7), но представляющей случайную функцию двух аргументов: / (момента наблюдения реакции) и т (времени, прошедшего с момента иод^чн о-импульса на вход цепи). Такова, например, ИХ любой линейной системы, параметры которой подвергаются воздействию случайных внешних влияний, например температуры, давления, влажности и т.д,
141

Случайный линейный канал можно характеризовать также случайной передаточной функцией переменных со и /

Можно показать [15], что функция корреляции процесса Y(t) на выходе случайного канала с характеристикой (4.41) при подаче на вход стационарного процесса X(f) определяется выражением

Остановимся подробнее на моделях, с которыми чаще всего приходится встречаться- Обобщая модель (4,25) для случайного входного воздействия X(f), получаем

Обычно такие флуктуации в проводных линиях связи вызываются изменениями внешних условий и происходят чрезвычайно медленно0 и в очень небольших относительных пределах. В радиоканалах при многолучевом распространении волн, в гидроакустических каналах и других флуктуации выражень более заметно.

Таким образом, при узкополосном сигнале малая задержка сводится к некоторому сдвигу фазы. Важно отметить, что даже при очень малых относительных флуктуациях времени задержки т фазовый сдвиг 9 (из-за больших значении g>()) может изменяться в очень больших пределах. Для этого достаточно выполнения условия Дт з> 1//^ где Дт - среднсквадратическое отклонение задержки, Уо — средняя частота спектра сигнала. Это условие в радиоканалах обычно выполняется.
Более сложный случай имеет место, когда сигнал проходит по параллельным путям от входа канала к его выходу (рис. 4.2), так что на выходе каждого пути сигнал имеет вид (4.44), но значения у и т для разных путей различны и к
^ Это :жа'|чт, что ia время длительности отсчётного интервала и = \/1F, где F — ширина спектр;.! сигнала, параметры канала не успевают заметно изменяться.
142

тому же в небольших пределах флуктуируют Такого рода многопутевое     распространение сигнала характерно для большинства радио-, гидроакустических и некоторых других каналов (в том числе проводных).

Энергия волны распространяется обычно в неоднородной среде и испытывает отражение от различных неоднородностей, Эти неоднородности могут быть распределены внутри относительно небольшого отражающего (рассеивающего) объёма, В этом случае разности хода (разности значений т) для отдельных путей невелики. Если по такому каналу направить очень короткий импульс, то и на его выходе импульс будет довольно коротким- Такой канал принято называть однолучевым. Наличие разных путей ("подлучей", как их часто называют [14]) не вызывает в этом случае существенного рассеяния (растяжения) сигнала во времени, но приводит к возникновению явления замираний, которое заключается в более или менее быстрых случайных изменениях передаточной функции канала (мультипликативная помеха),

— комплексная амплитуда выходного сигнала, которая в данном случае по определению равна передаточной функции канала.
Передаточная функция в общем случае зависит от частоты. Если учесть, что вследствие хаотических перемещении отражателей значения у/ и т/ флуктуируют, то у зависит также от времени, представляя собой случайную функцию (мультипликативную помеху) у (/,©)- Во многих случаях эта функция
флуктуирует значительно быстрее, чем величины у/и т/>
Важной характеристикой канала с замираниями является распределение
вероятностей комплексной передаточной функции y(/Jm) и в первую очередь её модуля у. Для определения этого распределения представим у в следующем виде;

143

Поскольку X и /образуются в результате сложения большого числа слабо коррелированных величин с ограниченными дисперсиями, к ним обычно можно применить центральную предельную теорему теории вероятности и считать их нормально распределёнными.

Это доказывается так же, как в § 2-6. Фаза результирующего сигнала 6 при этом распределена равномерно на интервале (-тг^+л). Дисперсия квадратурные
составляющих d2 равна средней мощности приходящего сигнала. Такие замирания, как и каналы, в которых они проявляются, называются рз/юевс/спм!/.
Во многих каналах замирания отличаются от рэлеевских. Иногда в одном из подлучсй коэффициент передачи у, значительно больше, чем в других, и
можно сказать, что помимо диффузно отражённых подлучей в место приёма приходит и регулярный (не замирающий) луч. В этом случае коэффициент передачи канала у^л/А^+У2 подчиняется обобщённому распределению Рэлея

В общем случае, когда о, fo\, и /п^^ 0, /щ^ 0, получается гак называемое
четырехпарамстрическое распределение модуля и фазы замирающего сигнал? (общая гауссовская модель канала). Соответствующие плотности вероятности даны в 114].
Если по однолучевому каналу с замираниями передаётся относительно узкополосный сигнал, а среднеквадратическое отклонение запаздывания Дт в отдельных подлучах удовлетворяет условию

где /^ — ширина спектра сигнала, то изменения начальных фаз на разных частотах о в спектре сигнала, равные мйт, почти одинаковы. При этом все составляющие спектра сигнала замирают "дружно", т,е, их амплитуды и фазы изменяются одинаково. Такие замирания называются общими или гладкими''. Если же условие (4,46) не выполнено, то в разных областях спектра сигнала процессы замираний не совпадают (селективные по частоте замирания^ При этом наблюдаются существенные изменения формы сигнала, что характерно для многолучевых каналов радиосвязи (приходящие в точку приема сигналы обра-
1) Заметим, что услоине (4.46) может выполниться при Д1 » 1//о , т-к^ is рздиокгэн.1ла^ /у » /^ -144

зованы отражением от сильно разнесённых в пространстве рассеивающих объемов)-
Быстрота изменений во времени комплексного случайного птюиесса

(при фиксированной частоте) или, как говорят, скорость замираний сигнала характеризуется временем корреляции Ткоп квадратурных компонент Х(!, сд) и

4.3.7. АДДИТИВНЫЕ ПОМЕХИ В КАНАЛЕ
В каналах связи аддитивные помехи вызываются различными причинами и могут принимать различные формы, индивидуальные реализации которых трудно учесть. Именно эти помехи чаще вызывают необратимые преобразования передаваемых сигналов. Несмотря на большое разнообразие, аддитивные помехи по их электрической и статистической структуре разделяют на три основных класса; флуктуационные (распределённые по частоте и времени), сосредоточенные по частоте (квазигармонические) и сосредоточенные во времени (импульсные).
В отсутствие аддитивных помех детерминированные линейные преобразования сигнала чаще всего обратимы^ , В присутствии даже очень слабой аддитивной помехи линейные преобразования оказываются необратимыми,
Флуктуационные помехи. С физической точки зрения аддитивные флуктуа-ционные помехи порождаются в системах связи различного рода флуктуация-ми, т.е. случайными отклонениями тех или иных (физических величин (параметров) от их средних значений- Так, источником шума в электрических цепях могут быть флуктуации тока, обусловленные дискретной природой носителей заряда (электронов, ионов). Дискретная природа электрического тока проявляется в электронных лампах и полупроводниковых приборах в виде дробового эффекта (при заданном режиме питания схем случайно меняется число создаваемых носителей заряда).
Флуктуационные помехи могут считаться гауссовскими случайными процессами (см. hl 2), которые чаще всего считаются стационарными с нулевыми средними значениями (по крайней мере на определённых временных промежутках, называемых интервалами стационарности).
Сумма большого числа любых помех от различных источников вследствие условий центральной предельной теоремы теории вероятностей также имеет характер флуктуационной помехи- Многие помехи при прохождении через приёмное устройство часто приобретают свойства нормальной флуктуационной помехи (см- 4-39).
Наиболее распространённой причиной шума в аппаратуре связи являются флуктуации, обусловленные тепловым движением. Случайное тепловое движение носителей заряда в любом проводнике вызывает случайную разность потенциалов (напряжения) на его концах. Среднее значение такого напряжения равно нулю, а переменная составляющая проявляется как шум- Тепловой шум на входе приёмника представляет собой гауссовский случайный процесс с нулевым средним и спектральной плотностью мощности:
[) Об особенностях в оптико-волоконных каналах с квантовым шумом речь пойдет ннжс-
145

где h = 6,624-10 34 Дж-с - постоянная Планка; k = 1,38-10 23 Дж/град - постоянная Больцмана; Г" абсолютная температура источника шума;/— текущая частота,
В диапазоне звуковых и радиочастот hf«kT, и поэтому, разлагая в (4-47)
экспоненту q ряд, получаем

Величина /Vo является односторонней (на положительных частотах) спектральной плотностью шума- Специфическим для полупроводниковых приборов является шум, называемый фликер-шумом, который возникает в результате разного рода поверхностных явлений. Его спектральная плотность в широком диапазоне частот подчиняется гиперболическому закону (она пропорциональна I//). Обычно на частотах выше 10 кГц фликер-шумами пренебрегают,
Космические помехи в системах радиосвязи, вызванные радиоизлучением солнца и других космических объектов, имеют характер флуктуационных шумов.
Сосредоточенные по спектру помехи. К сосредоточенным по спектру аддитивным помехам принято относить сигналы посторонних радиостанций, преднамеренные помехи, излучения генераторов высокой частоты различного назначения (промышленных, медицинских) и т-п. В общем случае это модулированные колебанил; г.с. квазигармонические колебания с изменяющимися параметрами- В одних случаях эти колебания являются непрерывными (например, сигналы вещательных и телевизионных радиостанции), в других -они носят импульсный характер (сигналы радиотелеграфных станций и систем передачи данных). В отличие от флуктуационных ширина спектра сосредоточенной помехи в большинстве случаев не превышает полосы пропускания приемника, а в некоторых случаях она намного уже этой полосы, В диапазоне коротких волн сосредоточенные по спектру помехи являются основными, определяющими качество связи, и считаются случайными колебаниями с флук-туациями фаз и амплитуд (замираниями), распределение которых такое же, как у полезных сигна-чов-
Импульсные помехи. К импульсным (сосредоточенным во времени) аддитивным помехам принято относить помехи в виде одиночных импульсов, следующих один за другим через такие большие промежутки времени, что переходные явления в приемнике от одного импульса успевают практически затухнуть к моменту прихода следующего импульса- К таким помехам относят многие   виды  атмосферных  и   индустриальных  помех.   Заметим,  что "флуктуационная помеха" и "импульсная помеха" являются понятиями относительными. В зависимости от частоты следования импульсов одна и та же помеха может воздействовать как импульсная на приёмник с широкой полосой пропускания и как флуктуационная на приёмник с относительной узкой полосой пропускания. На практике импульсные помехи приходится рассматривать как случайный, относительно широкополосный (тем шире, чем короче импульсы помехи) процесс, состоящий из отдельных редких, случайно распределённых во времени и по амплитуде импульсов. Вероятностные свойства таких помех с достаточной для практических целей полнотой описываются распреде-146

лением вероятностей амплитуд импульсов и распределением временных интервалов между этими импульсами- Для последних часто применяют модель Пуассона,
Распределение амплитуды импульсных помех часто описывается логнор-мальным законом

где а, У — МО и дисперсия преобразованного СП р = 1пА Для этого закона характерно наличие существенных значений в области больших амплитуд, что соответствует реальной модели импульсной помеха
Заметим, что логнормальньш законом часто описывают медленные (суточные, сезонные) флуктуации амплитуд радиосигналов, обусловленные не интерференционными явлениями, а поглощениями сигнала в среде распространения.
4.3.8. КВАНТОВЫЙ ШУМ
В диапазоне оптических частот hf » kT тепловой шум оказывается очень слабым. Однако в этом диапазоне при слабых сигналах существенное значение имеет "квантовый шум", вызванный дискретной природой светового излучения. Согласно квантовой теории электромагнитного поля его энергия сигнала излучается и поглощается квантами, причем энергия одного такого кванта (фотона) равна hf. В элементарном сигнале длительности Т с высокостабильной несущей частотой/(когерентное одномодовое3) излучение) и амплитудой С/детерминированной может быть только средняя энергия (пропорциональная U1} £cp ^ mhf(m - среднее число фотонов на интервале Т}. Конкретная же реализация элементарного сигнала имеет энергию Е= nhf, где п — случайное число регистрируемых фотонов.
В современных системах оптической связи в основном используется AM оптического несущего колебания  по амплитуде  или  интенсивности (мощности).

1) Современные оптические квантовые генераторы являются одномодовыми (излучают один тип волны).
147

Реальная система оптической связи отличается от идеальной следующим
|9):
1. Время передачи бита информации не остаётся постоянным — этот эффект называют фазовым дрожанием цифрового сигнала.
2. Излучаемая оптическая энергия не остаётся строго одной и той же. При передаче как кодовой 1, так и кодового 0 имеет место шум передатчика, приводящий к случайным изменениям амплитуды от импульса к импульсу, Кроме того, имеет место "шум лазера", обусловленный статистической природой взаимодействия между возбуждением лазера и создаваемым потоком фотонов- Флуктуации принимаемой энергии увеличиваются ещё больше из-за изменений затухания в канале связи. Кроме того, появляются флуктуации энергии на отдельных тактовых интервалах в месте приёма, обусловленные статистической природой взаимодействия потока фотонов (оптический сигнал) и создаваемого фотодетектором (обычно это фотодиод) потока электронно-дырочных пар. Условно будем говорить в этом случае о шуме фотодетектора.
3. Весьма вероятно, что при передаче 0 излучается малый, но вполне определённый уровень энергии (шум лазера), не считая шума передатчика и канала, Отношение средней энергии, принимаемой при передаче 0, к средней энергии при передаче 1 характеризуется коэффициентом /з = ^про/^прр Полагают, что в идеальной системе /э =.Q, однако обычно это не так, особенно если лазерный источник излучения смещён вблизи порога генерации,
4. Конечная длительность излучаемых импульсов и дополнительная временная дисперсия (рассеяние) при их передаче по каналу приводят к тому, что в практических системах связи происходит наложение соседних посылок, т-е-проявляется межсимвольная интерференция,
Шум лазера, о котором говорилось выше, имеет квантовую природу. Вероятность появления точно п фотонов на интервале Т на передающей стороне определяется распределением Пуассона (см^ g 2.76);

Таким образом, шум лазера — это "квантовый шум"» так как проявляется во флуктуациях параметров сигнала, детерминированного по классическим представлениям. Этот шум не является аддитивным, так как зависит от самого полезного сигнала. С учетом этого в приведённой формуле следует считать, что при передаче 1 т = т\, а при передаче 0 т = т^ Как указывалось выше, при передаче 0 (отсутствие возбуждения лазера) может наблюдаться определённый, хотя и малый уровень энергии, обусловленный тем, что вероятность непоявле-иия фотонов на этом интервале р(0) - е^ ^ ], где т^ — среднее число шумовых
фотонов на интервале Г при отсутствии возбуждения лазера. По мере увеличения средней мощности излучаемого сигнала ^пср •экл&Д квантового шума по сравнению с другими шумами тракта передачи падает.
Шум фотодетектора имеет природу, аналогичную шуму лазера, так как падающий на фотодиод стационарный световой поток генерирует электронно-дырочные пары носителей заряда как независимые случайные события- Если за отрезок времени Т на фотодиод падает оптическая энергия, равная в среднем йцр, то следует ожидать, что будет создано в среднем N пар носителей заряда, причём [9]
148

где t[ — квантовая эффективность взаимодействия, показывающая среднее отношение числа рождаемых фотопете кто ром электронно-дырочных пар к числу падающих фотонов (t| ^ 1),
Вследствие стохастической природы взаимодействия фотонов с фотодетектором истинное число пар носителей заряда, генерируемых каждым оптическим импульсом, будет флуктуировать вокруг среднего значения N. Вероятность того, что число созданных пар носителей заряда на интервале Гравно К, определяется пуассоновским распределением

Следует отметить, что в реальных оптических линиях связи помимо квантового шума существуют и другие мешающие факторы (в том числе аддитиь-ные помехи), что приводит к необходимости увеличения мощности оптического сигнала.
4.4. МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНЫХ КАНАЛОВ СВЯЗИ
Для того чтобы дать математическое описание канала, необходимо и достаточно указать множество сигналов, которые мот быть поданы на его вход, и для любого допустимого вводного сигнала задать случайный процесс (сигнал) на его выходе. Задать случайный процесс можно в той или иной форме его распределения вероятностей. Так, в непрерывном канале надо задать априорную плотность (многомерную) )v|u] входного процесса Uif) т интервале анализа 7д и многомерную переходную плотность iv[7/u], т.е, плотность реализации принимаемого случайного колебание 2[!} (сигнал + шум) при условии передачи реализации U(f).
Точное математическое описание любого реального канала обычно весьма сложное. Вместо этого используют упрощённые математические модели, которые позволяют выявить все важнейшие закономерности реального канала, если при построении модели учтены наиболее существенные особенности канала и отброшены второстепенные детали; мало вл[1яющие на ход сня^и.
Рассмотрим наиболее простые и широко используемые математические модели каналов, начав с непрерывных каналов, поскольку они во многом предопределяют и характер дискретных каналов.
4.4.1. ИДЕАЛЬНЫЙ КАНАЛ БЕЗ ПОМЕХ
Канал отображается линейной цепью с постоянной передаточной функцией, обычно сосредоточенной в ограниченной полосе частот. Допустимы любые входные сигналы, спектр которых лежит в определенной полосе частот /•c, имеюшие ограниченную среднюю мощность Р^ (либо пиковую мощность ^пик)- Эти ограничения характерны для всех непрерывных каналов, и в дальнейшем о них не говорится,
В идеальном канале выходной сигнал s{t) при заданном входном u(i) детерминирован и определяется согласно (4,25): s(!) = уи(! -т), где у - постоянный коэффициент передачи канала, т - постоянная задержка^ Эту модель иногда используют для описания кабельных каналов. Однако, строго говоря- она
149

нс пригодна для реальных каналов, в которых неизбежно присутствуют, хотя бы и очень слабые, аддитивные помехи.
4.4.2. КАНАЛ С АДДИТИВНЫМ ГАУССОВСКИМ ШУМОМ
Сигнал на выходе такого канала

где At;) " гауссовский аддитивный шум с нулевым математическим ожиданием и заданной корреляционной функцией. Чаще всего рассматривается белый гауссовский шум (БГШ) либо квазибелый (с равномерной спектральной плотностью в полосе спектра сигнала .?(/)). Часто при анализе можно т не учитывать, что соответствует изменению начала отсчета времени на выходе канала. Некоторое усложнение модели (4.48) получается, если коэффициенты передачи 7 и запаздывания т считать известными функциями времени:

Такая модель удовлетворительно описывает многие проводные каналы, ра-диоканальт при связи в пределах прямой видимости, а также радиоканалы с медленными общими замираниями, при которых можно надёжно предсказать значения у и т.
4.4.3. КАНАЛ С НЕОПРЕДЕЛЁННОЙ ФАЗОЙ СИГНАЛА
и аддитивным шумом
Эта модель отличается от модели (4-48) тем; что в ней запаздывание является случайной величиной. Для узкополосных сигналов с учётом (4.44) выражение (4.48) при постоянном у и случайных г можно представить в виде

где u(f) — преобразование Гильберта от n(l), 9 == ~оц^ ~ случайная фаза. Распределение вероятностей 6 предполагается заданным, чаще всего равномерным на интервале от 0 до 2я. Эта модель удовлетворительно описывает те же каналы, что и предьЕДущая, если фаза сигнала в них флуктуирует. Такая флуктуация вызывается небольшими изменениями протяжённости канала, свойств среды, в которой проходит сигнал, а также фазовой нестабильностью опорных генераторов.
Однолучевой гауссовский канал с общими замираниями (флуктуациями амплитуд и фаз сигнала) также описывается формулой (4.4S), но множитель -^ как и фаза и, считаются случайными процессами. Иными словами, случайными будут квадратурные компоненты

К-ак отмечалось выше, одномерное распределение коэффициента передачи канала у может быть рэлеевским или обобщенным рэлеевским. Такие каналы называют соответственно каналами с рэлеевскими или обобщёнными рэлеев-скими (или райсовскими) замираниями. В рамках общей гауссовской модели канала [14] у имеет четырехпараметрическое распределение. Модель однолуче-
150

вого канала с замираниями достаточно хорошо описывает многие каналы радиосвязи в ра:^личных диапазонах волн, а также некоторые другие каналы.
Многолучевой гауссовский канал с селективными по частоте замираниями обобщает модель (4.49):

где /V - число лучей в канале, т^ - средкее время задержки для д-го луча. Многолучевая обшая туссовскан модель хорошо описывает многие каналы радиосвязи. Для модели (4.50) условия (4,46) не выполняется, если под Дт понимать запаздывания между лучами.
4.4.4. КАНАЛ С МЕЖСИМВОЛЬНОЙ ИНТЕРФЕРЕНЦИЕЙ (МСИ) И АДДИТИВНЫМ ШУМОМ
Эта модель является частным случаем (4,41), когда G(t, т» от / не зависит (или меняется очень медленно), так что рассеяние по частоте практически не наблюдается. Межсимвольная интерференция вызывается рассеянием сигнала во времени при его прохождении по каналу связи, В частности, на выходе многолучевого канала полезный сигнал оказывается деформированным так, что одновременно присутствуют отклики канала на строчки входного сигнала, относящиеся к довольно отдалённым моментам времени. При передаче дискретных сообщений это приводит к тому, что при приеме одного символа на вход приёмного устройства воздействуют также отклики на более ранние (а иногда и более поздние) символы, которые в этих случаях могуг (при неоити-мальных методах приема) проявлять себя как помехи,
Мсжсимвольнач интерференция вызывается нелинейностью ФЧХ канала и ограниченностью его полосы пропускания. В радиоканалах причиной МСИ чаще всего является многолучевое распространение радиоволн').
Пусть передатчик передаёт синхронно с тактовым интервалом ^последовательность элементарных сигналов, соответствующих цепочке символов ^-y'^y-i)1 ---'^чА^р- •^d-|a^ "ричем каждый из символов последовательности
выбирают из возможного для данного кода набора 0, I, „., т - 1 {т - основание кода).
Обозначим отклик линейного канала на элементарный сигнал, соответствующий символу Ь,-, через s^!)^ , f-T< !< {Q 4- /-ч- У) Г, где 6=^- - относительная память канала, определяемая целой частью от деления времени рассеяния канала Дт (длительности переходного процесса в канале) на Т. Тогда принимаемое колебание s(t) в месте приёма на интервале анализа 7^ = (О + 1)7'3) при поиске решения о символе Ь^ можно записать в виде
'? Испольэл ванне сигналов с большой б^ой 3= 2/77' х- J позволит к месте приема риздс^ить сигналы отдельных лучей.
^ Прл неполно па нии диоичных противоположных сигиплон и постоянные п;1р|Щс'тр^ клнял;э -\\{f) = Cp?(/)i где £{1) — отклик канала иа элементарный сигнпл. соотнЕтстьующин символу 1, с^ ±1,
^ При поэлементном приеме D определяет задержку (иыра.женную в числе символен} принятия решения о персданаемом еимиолс, С ростом D во^рустаст качсетио связи при оптималь-ноа] приеме. Обычно выбирают D > Q.
151