выводы
1. Сообщения, сигналы и помехи в системах электрической связи прежде всего описываются некоторыми функциями времени (процессами), которые являются детерминированным" или случайными,
2. Сообщения, сигналы и помехи как векторы (точки) в линейном пространстве можно описать через набор координат ц заданном базисе (совокупности линейно независимых единичных векторов). Чаще всего ба^ие является ортонормиронанным-
3. Для ТЭС наибольший интерес при отображении сигналов представляет //-мерное про-стрЕЩстьо Евклида R,„ бесконечномерное пространство Гильберта 1^(7) и дискретное пространство Хэмминга 2д. В этих пространствах вводится понятие скалярного произведения двух /seKTOpoB (x, у).
4. Любую непрерывную функцию времени как элемент L^ можно представить обобщённым рядом Фурье по заданному ортонормированному базису. Усечённый обобщённый ряд Фурье даёт описание непрерывной функции времени е определенной погрешностью,
5. Частным случаем обобщённого ряда Фурье является обычный ряд Фурье для периодических функций, когда в качестве базисных используются гармонические функции кратных частот. Ряд Фурье можно представить в действительной и комплексной форме, вводя в рассмотрение отрицательные частоты. Периодическая функция характеризуется линейчатым спсктром-
6. Спектр по Фурье непериодической функции времени х(1) является сплошным. Он определяется спектральной плотностью (СП) 5,(/). Функция х(1) и СП ^(/) связаны линейно
парой преобразований Фурье. Модуль ^\(/)|= ^,(/) определяет амплитудный спектр сигнала x(l), а агЁ^,(/) определяет фазовый спектр.
7. Временная ФК детерминированного сигнала с размерностью энергии 5^(т) связана со спектральной плотностью энергии (СПЭ) №д(/) парой преобразований Фурье. Аналогично
связаны временная ФК сигнала B(i) с размерностью мощности и спектральная плотность средней мощности (СПМ) G\(/). В^) определяет энергию сигнала, а 5(0) - его среднюю
мощность,
8. Произведение эффективной длительности простого сигнала Ту и эффективной полосы его частот /-^ — величина порядка единицы.
9. Сигн^ш л-(/) с финитным спектром ^ представляется в обобщённый ряд Фурье по базисной
(sm<uJ/-fcAll ,, системе функции <——————k Координатами разложения являются временные отсчеты
| (ч,,^-^) j x(kA) в сечениях, кратных интервалу дискретизации й^1/2^в. Приближённое пред ста иленис
79

такого сигнала на интервале Г определяется усеченным рядом с числом координат х(АД), равным базе сигнала В = 2FpT.
10,Слученные процессы (СП) чаще всего описываются косвенным путём через плотности вероятности (ПВ) и интегральную функцию распределения (ИФР). Более грубыми характеристиками СП являются его математическое ожидание №|[/)=-у(/). дисперсия о-2^)-.^ и
ФК й(т)=.\ВД/-т).
1 Е. В теории и практике электросвязи большую роль играют стационарные в широком смысле СП, определяемые не зависящей от времени одномерной ПВ и двумерной ПВ. зависящей от раиности выбранных сечений т- Такие процессы часто обладают свойствами -эргодичности. характеристики, полученные усреднением во времени одной реализации, приближённо равны характеристикам, полученным усреднением по реалидациям СП.
12.ФК и СПМ случайного процесса сиянаны парой преобразований Фурье. Эффективная ширина спектра СП Р^ обратно пропорциональна интервалу корреляции СП т^р
13.Представление центрированного СП в обобщённый ряд Фурье с некоррелированными координатами (разложение Карунена-Лоэва) называется каноническим разложением. Для СП с финитным спектром каноническое разложение определяется рядом Котсльникова.
14.Двумерной плотностью вероятности полностью определяются гауссовский и простой марковский случайные процессы, Некоррелированность сечений гауссовского СП означает и их независимость,
15.Узкополосные вещественные процессы x(f} (как детерминированные, так и случайные) удобно представить через квадратурные составляющие, огибающую и фазу, через комплексную огибающую. Мнимая S{l}  и вещественная л'(0 части комплексного
(аналитического) узкополосного сигнала y[s} связаны парой преобразований Гильберта.
16.Спектр аналитического (комплексного) сигнала ->•(/)= x[t]+ ]x[f} лежит полностью в области положительных частот, а сигнала х{!}= r(;)-jr(/) — г области отрицательных частот -
17.Огибающая узкополосного гауссоиского СП при равной дисперсии квадратурных компонент распределена по обобщённому закону Рэлея (или закону Раиса). У стационарного [центр про ванного) гауссовского СП огибающая распределена по закону Рэлея, а фаза -равномерно на отрезке [-тг/2; я/2|.
1й.Непрерывные и дискретные источники сообщений, сигналов и поме^ (процессов, развивающихся во времени) можно описать или прямым способом [через временные функции их реализации) или косвенным способом (через различные спектральные характер и стики, а для СП — через функции распределения).
19, Непрерывные источники случайных сигналов (сообщений), например, речи и телевидения, часто описываются не только косвенным способом (через функции распределения и мо-ментные функции), но и прямым способом (через стохастические дифференциальные ура в н он ия состоян ия).
20-Удобной моделью для исследования дискретных источников является модель случайного стационарного синхронного двоичного сигнала с нулевым МО и треугольной ФК.
ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
2.1. Заданные на интервале (-7У2,Г/2) сигналы /(/)- ^/Icos^t/'t) и y{f]= ^/2соз(4я//7") трактуются как элементы пространства Гильберта L^(T). Докажите, что: а) нормы этих сигналов равны 1; 6) их скалярное произведение равно 0; в) расстояние между ними равно ^2 ,
2.2. Докажите, что в //-мерном пространстве Хэмминга 2„ существует лишь один ортоиорми-рованный базис, образованный п векторами: (I, 0, 0, ..., 0), (0, I, 0, .... 11), .., (П, 0, 0, .. , 1),
2.3. Докажите, что функции Уопша н'д/(3,9) и W7/(5,6) ортогональны на интервале (-1,+1). 2-4- Как определяется погрешность представления сигнала х{1) как элемента пространства
^(7) усечённым обобщённым рядом Фурье?
2.5. Найдите спектральные компоненты периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов длительностью i с периодом следования Т =- 2т по спектральной плотности Фурье одиночного импульса.
80

2.6- Покажите, что сели спектральная плотность по Фурье ^,(/)=A\(/),S'(/) сигнала у{Г)
равна произведению спектральных плотностей сигналов x(f) н g(f), то сам сигнал J'1/) определяется временной сверткой сигналов x(f) и g{f). у-{1) = x(I) ® g(I), Аналогично если Х/> = ^)^ то ,^,(/)=^(/}®.^(/|.
2.7. Пользуясь определением 5-функции, найдите спектральную плотность по Фурье постоянной составляющей x(f) = a.
2.8. Дан прямоугольный импульс х(!) = А, ! е[-т„/2; т„/2|. Найдите его ФК 5/,<г) (с размерностью энергии) и Дт) (с размерностью мощности), ;i также СПЭ И',(/) и СПМ G,(/).
2.9. Чему ранен максимальный интервал дискретизации речевого и телевизионного сигнала,
если верхнюю частоту и спектре сигнала принять равной соответственно 4 кГц и 6,5 Мгц-2,10, Из каких соображении интервал дискретизации и непрерывной функции времени с финитным спектром на отрезке |-/^ 4- /•ц] часто выбирают меньше, чем I/I/7,, ?
2-IL Имеется экспоненциальный импульс ;г(/)= l(r}e~'", Какова относительная погрешность
при восстановлении этого сигн;1Ла по его дискретным отсчётам при щаге дискретизации Д= 1/2^? 2J2. Дискретный стационарный двоичный источник описывается простой цепью Маркова е
„ P{\\V) Р{\0'}        t   ^ матрицей псрехолных вероятностей   ) •   ' • , где Р[а. а'\ - вероятность появле-
/-'(0|Г)   fWO'J           \ ' '!        •
«ия символа ^ при условии, что ему предшествует символ а'. . Пусть /*(i|r)^0,9,
/^]0')=0,7. Определить, вероятности /'(от), /'(о|01). безусловные исроятности передачи
символов PW) н ^(l); вероятности передачи цепочек из трех символов (1. 1, 0) и (0, 1, 0),
2.13. Дискретный случайный процесс принимает три значения с вероятностями p(ii[) = 0,3;
Р^г) = ^Л ^te) = ^^- Написать выражение для плотности вероятности процесса, построить график ИФР.
2.14. Покажите, что случайный узкополосный процесс X(f)- ^(/)coЈui„/-4,(Qs4ia>^ с независимыми квадратурными компонентами ,Ц/) н ^(/) стационарен лишь тогда, когда A,(f)=A„[f)=Q и Т^Д^о2 =consi,
2.15. СП X{i) = /lcos(uin/ + Ф) с равномерно распределённом фазой эргодичен. Найдите его МО, Напишите аналитическое выражение для ФК и СПМ-
1-\Ь, СП, определённый на отрезке [-7/2: +Т/2\, имеет экспонси пильную функцию корреляции /^(т)^ехр-т|Д^,[ . Найти каноническое разложение •зтой функции по ортонор-
миронаниой системе базисных функций {-/2cos( 2^/71,', /=0, 1, 2, .. 2.17. Напишите двумерную плотность вероитноети ^[х^у^,т) сгационарного гауссовского

спей а2. Определите условную ПВ этого процесса u'(^,/; ^i,/i)
2.1^. CiirHiUi x(f) является суммой двух гармонических компонент х{1') = (/icosw^-ь [/^сой^ы Найти; сопряженный по Гильберту сигнал хП\, аналитический сигнал x[f), огибающую

2 19, Найти единое лиффсренцич-пр^нос уравнение колебаний б контуре по заданной системе уравнений состояния {2.\5\).
2,20, Найти интервал корреляции т^р по методу равно пел и кого прямоугольника для случай' ного стационарного синхронного двоичного сигнала Ад^). Чему равна эффективная ширина спектра /^ '.'
81

ГЛАВА 3- ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДУЛЯЦИИ И ДЕТЕКТИРОВАНИЯ
3.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ В ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
Как следует из гл, I, в системе электрической связи имеют место различные преобразования сигналов. Одним из важнейших преобразований является модуляция — изменение параметров некоторого переносчика ("несущей") по закону первичного сигнала Ь{1}. Так образуется сигнал на выходе модулятора ;/(/), который способен передаваться по данной линии связи. Проходя от модулятора передатчика до детектора приемника^, сигнал //(/) претерпевает различные изменения (обусловленные, главным образом, полосовой фильтрацией в выходных каскадах передатчика и входных каскадах приёмника, а также изменениями в линии связи (см. гл. 4)) и превращается в сигнал на входе детектора s{l}. Из анализируемого колебания z(!) ~ s(F) + n(t) (n{i) - аддитивный шум в
канале) надлежит получить оценку b(t).
Преобразование сигналов в модуляторе и детекторе связано с трансформацией спектра входного сигнала, т.е. появлением в выходном продукте частотных составляющих, которых нет на входе. Действительно, спектры сигналов
Jb.
b(f) и b(i) находятся в области низких частот, в то время как спектры сигналов //(/) и s(!) являются полосовыми в границах от /| до _/^ причём /i > F^ fq — верхняя частота в спектре первичного сигнала.

Линейные системы с постоянными параметрами (стационарные системы) не могут трансформировать спектр входного сигнала u^(t).
Действительно, любой входной сигнал можно представить суммой гармонических компонент. Гармоническое же входное колебание ^^=e'ш' является собственной функцией системного оператора L линейной стационарной сис-
1) В технике часто исполмустся многоступенчатая модуляция (см. ниже). В этом случае при холится рсиличоиать и многоступенчатую демодуляцию- Последнюю ступень демодуляции. dl]
дающую оценку h(t), назьп^ют детектированием. Именно эта ступень демодуляции рассматривается в дальнейшем. 

82

Для трансформации спектра можно использовать или линейную систему с переменными параметрами (параметрическую систему), или нелинейную систему. Ограничим анализ параметрической системой нулевого порядка (без ре-активностей) и нелинейной системой нулевого порядка. На рис. 3.1 изображён резистивный параметрический двухполюсник. Пусть входное напряжение меняется по гармоническому закону с частотой /i: /;[(/) == u\cos((q\i + ф]), а параметрическая проводимость (крутизна характеристики) меняется по гармоническому закону с частотой управления fy: S(f) •= S^ -F- 5']Cos((uy/ + <py). Согласно закону Ома ток в цепи

1 аким образом, ток (выходной сигнал) содержит компоненты на частотах f}±fy, которых нет во входном сигнале, т.е. произошла трансформация спектра. Полезные (при решении тех или иных задач) частотные составляющие тока 1{!) выделяются линейной фильтрацией-
На практике параметрический резиетивный элемент R{f) получают путём лнсшнего упр.шлсния нслинеиным сопротпклснисм. Рассмотрим нелинойныи резистивный двухполюсник с вольт-ампера он характеристикой (ВАХ) i = Ли) (Р^- ^•3). на который действуют на-прошения сигнала /;i(/) и управления i'-s{f}- Ток в нелинейной цепи

Предположим, что сигн;1-л управления существенло превышает входной сигнал; и^ з? щ , P-iinarasi (3.2) ь ряд Тенлор;! по малому сигналу //i и удерживая два члена р;ш.1, получаем

83

Согласно (3,3) параметрический резистивный (безынерционный) элемент функционирует как перемножитель входного сигнала Удх(0 и управляющего колебания /М), что показано на рис- 3J. Знаком "х" обозначен блок, осуществляющий перемножение двух сигналов. Через Ф обозначен блок, осуществляющий фильтрацию для выделения полезного выходного сигнала-
Рассмотрим нелинейную схему рис, 3.1 при произвольных соотношениях сигналов и\ и //з- Вольтамперную характеристику нелинейного / =Д/0 (см. рис- 3-4, а) очень часто аппроксимируют (относительно рабочей точки, определяемой напряжением смещения Е) полиномом /г-й степени:

Чем выше степень полинома п, тем точнее (в заданных пределах изменения входного напряжения) можно описать изменение тока. При малых переменных входных напряжениях (ЗА) можно ограничиться квадратичной аппроксимацией^ ,

(гармоническое воздействие). Тогда, воспользовавшись формулами кратных дуг

на нелинейную ёмкость с вольт-купонной характеристикой q=j[u} воздействовать суммой напряжений сигнала и управления u\{i} + иМ}. Можно также реализовать цепь с парамстри-

веберной характеристикой Ф = /(/) воздействует сумма токов сигнала и управления f[(!) 4- i^t). ?) Если переменные входные напряжения настолько малы, что (3.4) можно ограничить линейной аппроксимацией / = до '1' ^\W " ^)- " трансформация спектра входного сигнала не-ио^можна.
84

получим для тока (рис 3.4,в), содержащего гармоники входного воздействия, выражение

(бигармоническое воздействие). Тогда, воспользовавшись формулами (3.1), (3-5) и формулой бинома Ньютона

можно видеть, что при бигармоническом воздействии в составе тока имеются частоты /= kf\ ± mf^, k=0,n, w=0^, (k Ч- т) < п^ Гармоники частоты/] соответствуют значениям т = 0 (fc^O), гармоники частоты /^ — значениям k = О irn^O}. Частоты получаемые ппи ^нячениях т и k. не павны^ нулю опновое-

менно, называют комбинационными. При этом число (А + т) называют порядком комбинационной частоты-
Очень часто при исследовании схем с нелинейными элементами при гармонических воздействиях ^(0 с большими амплитудами ВАХ аппроксимируют ломаной линией (кусочно-линейная     аппроксимация     (см-рис. 3.5)), Аналитическая запись для ломаной прямой имеет вид

!) При исследовании нелинейных систем, когда полезный продукт определяется только первой гармоникой /,, часто вводят понятие средней крутизны ^\р(С')= /i/^'i, т.с, вводится понятие линеаризации при данном •значении L\ нелинейной системы по первой гармонике (так

85

где Е - напряжение смещения, определяющее рабочую точку; L/o,c "~ напряжение отсечки- График тока имеет вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Под углом отсечки имеют в виду безразмерное время со/, в пределах которого ток меняется от максимума до нуля или в пределах которого входное напряжение меняется от максимального значения до Ноте- Следовательно, можно написать Ј+ UcosQ - Соте. Откуда

Угол отсечки может принимать значения от нуля (ток не проходит) до те (линейный режим работы схемы). При Е= Уотс имеем Q = п/2 (проходят положительные полупериоды входного сигнала). Постоянная составляющая тока

определяется формулой

При приближенном расчете постоянной составляющей тока /о, первой гармоники /[ и нторой гармоники h пля произвольных нелинейных характеристик пользуются методом трёх ордин;п\ В этом случае гадают три точки на нелинейной характеристике (см. рис. 3.4)' макси-
86

малмюс ;iH,ncHuc токи /,ц;^ минимальное •жачснис тока /пни и среднее значение тока ^ (полученное при отсутствии переменного иоздеистиия на входе). Расчетные w.\'\cwa получим, носпользоваишись приближением

Эти формулы дают точные значения амплитуд гармоник, если точна аппроксимация полиномом второй степени.
В технике связи посредством нелинейных схем часто решается задача умножения частоты (например, для получения высокостабильных гармонических колебаний высокой частоты nf\ при наличии высокостаб ильного гармонического сигнала частоты/i).
Рассмотрим умножитель частоты на биполярном п-р-п транзисторе (рис. 3.6). В цепь базы помимо постоянного смещения Е подано гармоническое колебание

Коэффициенты Берга y^(Q) и a/;(6) были введены выше- Для максимизаш /„ надо при заданном параметре SV\ найти такой оптимальный угол отсечки который максимизирует коэффициент у/;(0). Из полученных выше соотнош ний следует

Значит, для умножения частоты в 2 и 3 раза в оговоренных условиях надо выбрать угол отсечки соответственно -к/1 и к/3. Для выходных каскадов передатчика, где желательно поддерживать максимальный импульс /^^ оптимальный угол отсечки 9 надо найти из условия максимизации с/„(6). В этом случае

для бдит можно найти приближенную формулу

Значит, для умножения частоты в 2 и 3 раза при %Јix = const надо выбирать угол отсечки тг/3 и 2тг/9, Получить существенное значение 1„ при п > 3 затруднительно, поэтому для увеличения кратности умножения частоты прибегают к последовательному соединению отдельных каскадов умножения- Если амплитуда входного гар-

87

монического сигнала C/i мала, характеристику ^ =/(/-/г,,) следует аппроксимировать полиномом второй степени, что означает, что в зтом случае можно получить лишь умножение частоты в 2 раза.
Если резонансный контур в схеме рис- 3^6 настроен на частоту/], схема работает в режиме резонансного усиления. Нелинейный режим резонансного усиления энергетически более выгоден, чем режим линейного усиления (б - т:), что имеет особое значение для мощных выходных каскадов передатчика.

3.2. ФОРМИРОВАНИЕ И ДЕТЕКТИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ АМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИИ
Используем в качестве несущей (переносчика сообщений) гармонический сигнал

Ом характеризуется тремя параметрами: амплитудой Уу, фазой фо и постоянной мгновенной частотой (do. Меняя эти параметры во времени по закону первичного сигнала /i(f), получаем соответственно сигналы амплитудной (AM). фасован (ФМ) и чпс/патной (ЧМ) модуляции. Зависимость меняющихся параметров несущей от первичного сигнала называют модуляционной характеристикой.
Рассмотрим сначала линейную амплитудную модуляцию- Ее можно записать

88

На рис, 3.7. приведена векторная диаграмма AM сигнала. Направление этого вектора неизменно, а его длина меняется при изменении b(t). На рис, 3.8 даны временные диаграммы: а) первичного сигнала b(t} (отрезок синусоиды);
б) изменения огибающей U(f), в) AM сигнала при т < 1; г) AM сигнал при т> 1 ("перемодуляция1")1^.

Этот сигнал содержит компоненты на частоте несущей (/„) и на боковых
частотах; верхней (/,+/7) и нижней (/,-^)- Р^ 0/(2тг). Амплитудные спектры (на положительных частотах) первичного и AM сигнала (ЗЛ9) даны на рис. 3-9.
На рис. ЗЛО показан амплитудный спектр первичного сигнала ^,(/), определённый на
положительных и отрицательных частотах и амплитудный спектр AM сигнала ^о.м(/)' оп-рсделённый на положительных частотах. Видно, что последний получается (на боковых час-готах) из спектра ^,(/) п^тсм переноса начала координат в точку А и изменения интенсин-ностн и 0>5^\^ раз.

]) Неискажённое детектирование простым детектором в этом случае невозможно (см. ьиже),
 89

соответственно 50 и 33 %. На практике (во избежание перемодуляцни и дл51 уменьшения искажений при модуляции и детектировании) т берут не более 0,5...0,7, Приведённые энергетические соотношения для AM сигналов объясняют интерес к получению сигналов AM без несущей^, Такую систему называют балансной амплитудной модуляцией (БАМ),
На рис> 3^11 даны амплитудные спсктрь] первичного и AM сигналов при непериодическом изменении Ь(!}. Сплошной амплитудный спектр первичного
сигнала S,.[f} дан на положительных и отрицательных частотах, а спектр AM сигнала - лишь на положительных частотах. Последний (на боковых частотах) имеет форму спектра ^(/) (смещённого из точки 0 в точку Уо)-

90

Рассмотрим пути ос уще ствлсния AM. Отметим прежде всего, что реализацию AM можно рассматривать как частный случай операции преобразования частоты-
При рассмотрении параметрической реализации преобразования частоты можно исходить из схемы рис. 3.3, взяв в качестве входного сигнала в общем случае сигнал с амплитудной (по закону U(t)) и угловой (по закону <р(Л) модуляцией;

Если фильтр на выходе перемножителя пропускает с одинаковым коэффициентом передачи К лишь первое слагаемое, мы имеем преобразование вверх

Отметим, что при преобразовании частоты (вверх или вниз) выходной продукт пропорционален амплитуде входного сигнала и сигнала управления. Форма, сигналов на входе и выходе параметрического преобразователя частоты совпадает. Преобразователи частоты (перемножители двух функций) используют в приёмных и передающих устройствах при формировании и обработке сигналов амплитудной и угловой модуляции,

1} Для облегчения решения задач синхронизации передающего и приемного устройств по частоте несущей часто работают с частично подавленной несущей, играющей роль специального пилот-сигнала,
91

отдельных блоков в схемы введены обозначения: Г„ - генератор сигнала гармонической несущей; ЛС - линия связи; ФНЧ - фильтр нижних частот;
1\ „  — генератор опорного сигнала на приёме, учитывающий фазовый сдвиг
9кац в канале.
Метод детектирования схемой рис. 3.12 (посредством перемножения принимаемого^ опорного сигналов) называют когерентным, поскольку предполагается знание в месте приёма не только частоты используемой несущей /ц, но
и фазы, вносимой каналом 6^, в сигнал 5(0. Детектор при этом называют синхронным.

детектирования. При Л = п/2 выходной результат равен нулю. Знание в месте приёма параметров/ц и 6^,ui обеспечивается специальным устройством их оценивания, входящего и общую систему синхронизации работы передающего и приёмного устройств, (В этой книге вопросы синхронизации не рассматрипаются. Они изучаются в специальных курсах.)
Если в системе рис. 3.\2 считать, что входной сигнал /^(/) не содержит постоянную составляющую [/п и пропорционален b(f\ то модулятор (умножитель) выдаёт сигнал БАМ, а синхронный детектор обеспечивает его неискажённое детектирование.
На рис. 3.13 дана квадратурная схема формирования канального сигнала БАМ

при передаче сообщений от двух независимых источников и квадратурная схема детектирования для этого случая. В квадратурной схеме рис. 3.13 первичные сигналы b^i) и Ь^(1) подаются на псремножители с опорными сигналами, находящимися в квадратуре [cos(tdo/),sin(o>o^)l Суммарный (групповой) сигнал в месте приема подаётся (для получения оценок &,(/) и b^f})
на два синхронных детектор,.! с опорными снгжглами, находящихся в квадратуре |cos(uj[}/ -+- 6д,ш), ^in(<o^ 4" ^,ц,)|. Качество работы квадратурной сяемы предполагает когерентность опорных сигналов нд приёме.
Рассмотрим пути осуществления операции преобразования частоты, в частности для получения AM сигналов, посредством нелинейных схем. На

[) В искажающем (многолучевом) канале соотношения между s(f) и //(/) более сложные. Методы приёма (демодуляции) для этого случая, см. гл. 5.
92

рис. 3,14 дана однотактная схема преобразования частоты на базе биполярного п-р-п транзистора. Пользуясь полиномиальной аппроксимацией (3.4) для характеристики ^ -/(^,), можно написать

то за счет квадратичного члена в составе тока имеется слагаемое, определяющее идеальный продукт преобиазования частоты:

Будем считать, что резонансный контур в коллекторной цепи выделяет полезные продукты преобразования частоты (амплитудной модуляции). Если
удовлетворительная аппроксимация характеристики ^=f[z/^} возможна лишь
полиномом выше второй степени, то найдутся слагаемые тока, которые помимо полезного продукта из (3.24) создают заметное падение напряжения на резонансном контуре. Это может привести к неприемлемым искажениям.
Проведём анализ при аппроксимации нелинейной характеристики полиномом третьей степени. В этом случае

Таким образом, закон изменения амплитуды первой гармоники тока /](/), который при идеальной AM должен быть пропорционален b(t) = u^(f), теперь искажён. Коэффициент нелинейных искажений А^и (отношение амплитуд составляющих 1^1 /д) в составе (3.26)

93

Амплитудную модуляцию без несущей (БАМ) можно реализовать в двухтактной нелинейной схеме преобразования частоты, показанной на рис. 3.15, Б этой схеме благодаря трансформатору со средней точкой напряжение u^(t) поступает на базы двух транзисторов в проти-вофаэе, напряжение же щ(1) поступает на базы транзисторов в фазе. Если считать, что ток в верхнем транзисторе /'[ определяется формулой (3.25), то ток в нижнем транзисторе ^ при одинаковых параметрах двух плеч (балансе) определяется (3-25), если ^ заменить на -и^, т.е.

что соответствует неискажённой балансной модуляции.
Для оптимального выбора рабочей точки на характеристике \=f(ula} "Р11 осуществлении нелинейной AM часто определяют статическую модуляционную характеристику — зависимость /I от смешения Е в цепи базы при заданной амплитуде несущей uq. Для этого в схеме рис. 3.14 положим щ = 0, а и, - uq соасч о/, Найдём ток коллектора при аппроксимации характеристики 1^~/[и5,) полиномом четвёртой степени 
94

Построив зависимость 1\(Е) при заданных параметрах uq, а\^ а-^, а^ (рис. ЗЛй) можно выбрать рабочую точку на середине линейной части характеристики. По рис. 3.16 можно также определить допустимые значения предело» изменения смещении (для неискажённой модуля

ции) и, следоиательно. возможное значение

Перейдём к рассмотрению нелинейных (некогерентных, так как они не требуют знания фазы Оцан) ^^м детектирования AM сигналов. На рис- 3.17 дана однотактная схема коллекторного детектора. Для того, чтобы нагрузка в коллекторной цепи выполняла роль ФНЧ (для выделения полезного продукта детектирования), должны выполняться условия;

При этом для полезного продукта с низкой частотой Ј1 сопротивление нагрузки практически равно R, а для ненужных высокочастотных компонент оно близко к нулю>
Будем считать, что за счёт додетекторного усиления AM сигнал в цепи базы достаточно интенсивен для того, чтобы можно было использовать кусочно-линейную аппроксимацию ВАХ ^ ^/(?^). "Р" напряжении смещения Е =- f/ртс
(см, рис. 3.5). Тогда угол отсечки 9 - к/2 независимо от изменения во времени амплитуды AM сигнала U(!)cos(^f + О^и) в цепи базы (U(t) = uq + К^Ь({}). Ток постоянной составляющей в цепи коллектора

\/г
Напряжение на нагрузке коллекторной цепи U^t) -!^(t)R=—U(f). Зависи-
71
мость полезного продукта на выходе детектора от модулированного сообщением параметра несущей называют характеристикой детектирования- В нашем случае - она линейная, а коэффициент передачи детектора (отношение выход

ного напряжения к амплитуде входного)

95

Отметим, что полезный сигнал на выходе детектора повторяет форму амплитуды входного сигнала. Такой детектор называют "линейным", он не вносит искажений в передаваемое сообщение. Напряжение на выходе разделительной ёмкости Ср (см. рис. 3.17)

Очевидно, что и "линейный" детектор при перемодуляции (рис, З.й, г), выделяя сигнал, пропорциональный огибающей, не может восстановить неискажённый первичный сигнал-
Если на кход рассмотренного "линейного" детектора подать AM сигнал без несущей (сигнал БАМ), то выходной сигнал не будет воспроизводить форму первичного сигнала. На рис, ЗЛЯ изображена форма огибающей БАМ сигнала при модуляции тональной частотой F. Первая гармоника этого сигнала равна 2F, "Линейный" детектор воспроизводит форму оги-баюшсй рис. 3.18, Во избежание искажений при детектировании сигнала БАМ надо в цепь базы схемы рис, 3,17 включить помимо смешения Ј два источника: принимаемого сигнала БАМ и восстановленного сигнала несущей U^ .
Если на входе нелинейного детектора имеется слабый сигнал^ то характеристику ^ = f{up\ придется аппроксимировать квадратичной зависимостью
^=^(и^Е)\ При и,,=Е+Ки(/)со5(й^ имеем ^ -А'У(0(о,5+0,5соз2о,/),
Напряжение на коллекторной нагрузке [/„(/) =• О^/У^С/2^) не повторяет форму амплитуды AM сигнала, следовательно, возникают искажения при детектировании. Так при модуляции одним тоном (С/(0 = uq + K^U^co^li) в составе сигнала U^(t) имеются как полезная составляющая частоты Јi, так и вторая гармоника этой частоты 2Јi, т.е. имеют место нелинейные искажения.
3.3. ФОРМИРОВАНИЕ И ДЕТЕКТИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ
Сигнал угловой модуляции (УМ) при гармонической несущей можно представить так:

где ^(0 = coo/ + ф(0 — полная фаза сигнала; ф(/) - фаза, которая несет в себе информацию о первичном сигнале b(f)^ Амплитуда сигнала УМ, а следовательно, и его средняя мощность неизменны, что облегчает режим работы выходных каскадов передатчика,
Сигнал (3-30) можно представить в виде вектора постоянной длины-Ц), меняющего свое направление в зависимости от фазы ф(0 (рис- 3-19). Поскольку (р(0 принимает (в зависимости от b(f}) как положительные, так и отрицательные значения, то можно считать, что вектор на рис- 3,19 качается относитель

96

но некоторого среднего положения с максимальным отклонением (девиацией фазы) Дф.
На практике различают два вида УМ: фазовая модуляция (ФМ) и частотная модуляция (ЧМ). При ФМ изменения фазы <р(/) прямо пропорциональны первичному сигналу:

где фо — начальная фаза.
При ЧМ мгновенная частота сигнала прямо пропорциональна первичному сигналу'^

На рис. 3.20 даны графики ФМ и ЧМ сигнала при треугольном изменении b(l). Формы сигналов ФМ и ЧМ не отличаются друг от друга, если производная первичного сигнала во времени имеет тот же вид, что и сам первичный сигнал. Это, в частности, выполняется при синусоидальном первичном сигнале

где М— так называемый индекс модуляции, который имеет смысл максимального приращения (девиации) фазы Дф. С учётом (3.31) и (3J4) индекс фазовой модуляции

где Jf^M} — функция Ьссселя А-го порядка от аргумента М (М — любое вещественное число).
На рис, 3.21 показаны графики функции Бесселя J^{M), J\{M). .A(M), </з(А/) при положительном аргументе М. Следует подчеркнуть, что при некоторых значениях аргумента функции Бссссля равны нулю, в том числе и J^M). Справедливо соотношение
" Угловая скорость перемещения вектора на рис. ЗЛ9 равна ю(/) - ы^ = Кц^Ь(1). 1} Постоянную начальную фазу <ро (не имеющую существенного значения) считаем нулевой-
97

Из свойств 4^ункции Бесселя известно, что чем больше порядок функции Бесссля, тем протяжённее область значений аргумента, при которых модуль этой функции очень мал. Обычно считают, что можно пренебречь спектральными составляющими с номером А>(/У+1). Таким образом, практически ширину полосы частот при тональной угловой модуляции находят из соотношения

На рис- 3-22 показан амплитудный спектр сигнала (3,39) на положительных частотах при некотором значении А/и U^ = 1. Практическая ширина полосы частот при УМ шире, чем при AM, в А/+ 1 раз.

Если М » 1 (этот случай представляет основной практический интерес, так
как при больших А/помехоустойчивость УМ существенно выше, чем AM (см. ниже)), то из (3.40) имеем

98

Поскольку при частотной модуляции M.^=Af/F, то из (3.41) получаем, что при больших индексах модуляции

т-е- ширина полосы частот при ЧМ равна удвоенной величине девиации частоты и не зависит от частоты модуляции F. Спектр УМ при негармоническом первичном сигнале определить трудно. Но он всегда сложнее, чем при AM при том же первичном сигнале b(t}.
Рассмотрим пути осуществления УМ. Сначала рассмотрим нелинейную схему, содержащую перемножители. Используя формулу

представим (3.30) в виде

На рис. J.2J представлена структурная схема, реализующая УМ согласно формуле (3-44), На схеме нелинейный блок б| реализует преобразование сигнала b(t) в сигнал cos ф|г, b(t)}. Блок Бз реализует преобразование сигнала b{t) в сигнал sin ф[/, Ь(!)\. В блоке Г„ генерируется несущая U^cos ^!. В блоке
Ф-,^ осуществляется поворот фазы на -тс/2- На рис. 3.24 дана структурная схема получения ФМ из БАМ. На выходе блока БАМ образуется сигнал k}b(!)cos(<^Q/ -Ь фо). На выходе сумматора получаем сигнал

Если считать, что усилительный блок в схеме рис, 3,24 обеспечивает такое усиление, что

то сигнал (3-45) можно записать в виде

Формула (ЗЛ7) определяет ФМ сигнал с малой девиацией фазы (вследствие неравенства (3,46). Для увеличения девиации фазы можно осуществить операцию умножения частоты (см. выше). При л-кратном умножении частоты де-виацкя фазы сигнала возрастает в п раз. Схему рис- 3-24 можно использовать и

99

для получения ЧМ, если на блок БАМ в качестве управляющего подавать сигнал \b(t}clt.
На рис. 3,25 дана схема получения ЧМ, основанная на изменении ёмкости (или индуктивности) контура, определяющего частоту генерации генератора гармонических колебаний, посредством присоединения к нему реактивного двухполюсника, управляемого первичным сигналом b(f),
Известно, что частота генерации Z-C-генератор гармонических колебании равна резонансной частоте контура, са, = &)р. Резонансная частота <ор меняется, если параллельно контуру включить реактивное сопротивление X, управляемое первичным сигналом Ь(1). Проще
всего реализуется параллельное подключение к контуру управляемой ёмкости СЦ&(г)(, Достигается это при помощи варикапа — управляемого полупроводникового диода, работающего в запертом состоянии. При подаче внешнего воздействия на диод меняется заряд ц на полупроводниковом переходе. При этом дифференциальную ёмкость варикапа —=С__ можно dv
найти, если известна вольткулонная характеристика варикапа q(u}. При параллельном подключении ёмкости c(b[f}}^ Со+ДС(&(/)) к контуру его резонансная частота (а следовательно,
и частота генерации) определяется формулой

Построив зависимость [йр(/?(/)) согласно (3.48) (рис- 3,26), можно выбрать рабочий {линейный) участок характеристики, на котором справедлива аппроксимация

где йд = ]/^/.„С„ . При гармоническом модулирующем сигнале Ь(!) = [/дзтП; имеем Дю = K^U^. Максимально допустимые значения uq (следовательно, и максимально допустимые значения Лей) определяются протяжённостью линейного участка кривой (Др(й(/)) (см, рис, 3,26). Для увеличения девиации частоты пользуются умножением частоты.
Рассмотренная схема может использоваться и для получения ФМ, если управление диф-
,,   dh[s\
фсрснци;1льной емкостью варикапа осуществляется сигналом v[f)=——. Тогда мгноненн.1Я и//
/ ^      . ^(0      / резонансная частота генератора меняется по закону а(/)=[Дд+^——, где fc — константа.

100