Функция корреляции случайного процесса с ограниченным спектром. Случайный процесс, характеризуемый СПМ Со(/)=Л^, равномерной на всех частотах (рис. 2.27, а}, называют белым шумом (по аналогии с белым светом в оптике). Если спектр G,(/) ограничен сверху частотой Рд (рис, 2-27, б), то процесс называется квазибелым шумом. Его дисперсия сг2 = 5(0) = М)/^- Найдем ФК квазибелого шума:

Полученная ФК отображена на рис. 2.28, а. Обратим внимание на то, что при значениях, кратных 1/2/^ значения Д(т) проходят через нуль- Это означает, что сечения процесса, разделённые интервалом k/2Fs (k — целое число), не коррелированы между собой. Если беспредельно увеличивать граничную частоту /^„ то от квазибелого шума придём к абсолютно случайному процессу (белому шуму), у которого два несовпадающих сечения не коррелированы; КФ белого шума выражается б-функцией (рис. 2,28, б):

Результат (2.90) следует из (2.89), если воспользоваться определением о-функции (2.2). Белый шум является математической идеализацией реального процесса, так как средняя мощность (5(0)), необходимая для создания такого процесса, оказывается бесконечно большой. Вместе с тем случаи, когда реальный спектр помехи можно аппроксимировать белым шумом, встречаются в практике достаточно часто. Примером помехи типа белого шума является тепловой шум резисторов, имеющий практически равномерную спектральную плотность на частотах вплоть до 6-Ю12 Гц,
2,6, ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ РЯДАМИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
Каноническое разложение, В § 3.5 покачано, что непрерывный случайный процесс Х{!} иплястся математическим объектом большой сложности: его можно трактоиать как несчётное множество случайные неличин. Естественно, ионникает желание представить случайную функцию X{f} чсрс^ счетное множество случайных исличин, что упрощает анализ В g 2,3 покачано, что сколь угодно сложные детерминированные сигналы с интегрируемым квадратом (-элементы в пространстве Гильберта ^з(Т)) могут быть представлены обобщённым рядом Фурье (2,22). Эти идеи можно распространить на представление случайного процесса^ нспре-
60

рывного в среднсквадратическом смысле^. Для такого центрированного случайного процесса
( Т Т\ -\'{f),f e -—;— , можно найти такую ортонормированную систему базисных функции (4/;(/)[,
'      ^     £f ^
а
которая обеспечит разложение V(/) на некоррелиров.шные слагаемые. Такое разложение, называемое разложением Каруненд-Лоэва, имеет вид

где                  коэффициенты разложения, которые являются попарно некоррелиро

ванными случайными величинами Разложение вида (2^91) случайного процесс;! на некоррелированные слагаемые называется его каноническим разложением. Функции {^i(l)} в каноническом разложении называются координатными функциями Они образуют базис разложения и наводятся как собственные функции интегрального оператора

Эти формулы выражают значения A'i и Xi случайного процесса .V(/) в виде линейных
функции одних и тех же некоррелированных случайных величин vq, у|, ..., •v„ i ^ 0, 1, 2, .„ В
" этом случае корреляционная функция случайного процесса Л'(/1 определяется выражением

                                                                                              61

случайного процесса Л'(/) равна сумме мощностей всех гармоник. Поскольку (2.95) является разложением Л(т) в обобщенный ряд Фурье по о рто нормирован ной системе базисных функ

ций

Разложение в ряд Котельникова Требованиям канонического разложения (2.91) удовлетворяет разложение непрерывного в среднеквадратическом и стационарного в широком
смысле случайного процесса А'(/), спектр плотности мощности которого G(/) равномерен и ограничен областью частот |/| < F„, Для такого случайного процесса справедливо разложение в ряд Котельникова

С л^ до стельно, непрерывный стационарный СП с ограниченным спектром полностью определяется    счётным    множеством    некоррелированных    случайных    величин

Для гауссовского случайного процесса (процесса с нормальным распределением, см. ниже) коэффициенты канонического разложения (2,91) являются статистически независимыми гаусссжскими случайными величинами. Именно в этом случае разложение Карунена-Лоэт особо проявляет слои преимущества и существенно облегчает решение многих задач.
Случайные процессы, определяемые двумерной плотностью вероятности.
Среди различных типов случайных процессов можно выделить некоторые процессы, которые полностью характеризуются простейшими плотностями вероятности В качестве примера случайного процесса, который полностью определяется одномерной плотностью вероятности, можно привести так называемый абсолютно случайный процесс или белый шум. В этом процессе значения Х\, Х-^, —, А/,, взятые в различные моменты t\, 1^, .-, /„, статистически независимы друг от друга, как бы близко эти моменты ни располагались друг от друга. Иначе говоря, возникающие в белом шуме всплески затухают за бесконечно малые промежутки времени. Поскольку значения X] и Х-^ в моменты t\ и ^ независимы, их совместная (двумерная) плотность вероятности равна произведению одномерных плотностей;

62

Аналогично

Это означает, что в рассматриваемом случае все /г-мерные плотности вероятности определяются одномерной плотностью вероятности,
Следующий по сложности процесс получается, когда вся информация о нём содержится в двумерной плотности вероятности w{x[, х-^ f\, /3)- Такими являются гауссовские СП или простые марковские СП; ^-мерная ПВ гауссовско-го случайного процесса определяется формулой

Но (2.98) определяет условие статистической независимости отдельных сечений СП- Итак, если гауссовские случайные величины X, при различных / не коррелированы, то они также статистически независимы,
Отличительной особенностью простого марковского СП является минимальное последействие; для него вероятность нахождения Х в заданном интервале значений в момент ^ зависит только от состояния в предшествующий

полностью определяется двумерной плотностью вероятности- [еорня марковских процессов хорошо разработана и широко используется в современной теории связи. В частности при некоторых дополнительных условиях переходная плотность вероятности при ^ > 1\ удовлетворяет дифференциальному уравнению 2-го порядка в частных производных:

63

сноса, а Л^{х^ /з) "" коэффициент диффузии- Уравнение (2.99) называют уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова. Марковские процессы, удовлетворяющие этому уравнению, называют диффузионными. В зависимости от вида коэффициентов А\ и А^ диффузионный марковский процесс может иметь различные распределения вероятностей-
К марковским процессам относятся также процессы с независимыми приращениями. Эти процессы обладают тем свойством, что для любой совокупности моментов времени !\< h< ... <//, (// ^ 3) разности значений процесса X(h) - X(f[\ Х{1^ - X(h). ... , X(Q - .V(^-i) взаимно независимы. Для того> чтобы определить функцию распределения любого порядка для процесса с независимыми приращениями, достаточно знать только одномерные распределения X{t) и X{tk) - W^-i), т-с, одномерную и двумерную функции рас пределе ни я процесса. Если распределение приращении Х{1} - X{t - т) зависит лишь от т, то процесс с независимыми приращениями называется однородные
Рассмотрим процесс, введённый Н- Винером в качестве простой модели броуновского движения частицы, передвигающейся под воздействием множества соударений таких же частиц, Винеровский процесс H(t) определяется как интеграл от нормального белого шума N(f}:

мени, его реализации оказываются своеобразными^ с возрастающим во времени разбросом траекторий. Для винеровского процесса коэффициент сноса A\(r\. f) is (2,99) равен нулю, е! коэффициент диффузии Д?(ч, 4 = W2 ^ const; поэтому винеровский процесс часто называют диффузионным, он играет основополагающую роль при формировании более сложных марковских процессов. Важной особенностью винеровского процесса является то, что его реализации нигде не дифференцируемы, хотя являются непрерывными с вероятностью единицы. Это следствие особых снойств винеровского процесса Я(/), производная от которого
А^ если сё понимать в обычном смысле, не существует, поскольку llm——= со. Дейстии-
лг-н) Д/

64

бесконечность, что свидетельствует о недифференцируемости процесса. Вместе с тем шркои-скис диффузионные процессы являются во многих случаям удобной математической моделью сообщений, сигнален и noMC;s-
Представление случайных процессов дифференциальными уравнениями. Для
описания сообщений, сигналов и помех можно воспользоваться их представлением в пространстве состояний (подробнее см. гл. 4), В зависимости от вида воздействий дифференциальные уравнения, определяющие поведение процесса в пространстве состоянии, могут быть детерминированными либо стохастическими,
Для непрерывного времени задание состояния процесса (или системы) во времени означает задание функции (вектора состояния):
^l ^ l^if^ -^(/)' •-•- -^W7' где Т- знак транспонирования матрицы. Поведение многих реальных динамических систем хорошо описывается стохастическим векторным дифференциальным уравнением вида (подробнее см. гл. 4)

где F \t, x{t)] — //-мерная неслучайная вектор-функция своих аргументов, ^|/, x(t)} — л-мерный случайный процесс с известными вероятностными характеристиками, которые могут зависеть от вектора х- В частности, как будет показано в § 2,8, если в (2Л02) ^[/, х(/)] является белым гауссовскнм шумом, то вектор состояния х(/) представляет собой простой марковский процесс соответствующей размерности. Важнейшим свойством такого процесса, как отмечалось выше, является то, что при фиксированном настоящем (сечении ^), его будущее состояние не зависит от прошлого (значений процесса при / < ?о). Представление случайных процессов стохастическими дифференциальными уравнениями весьма плодотворно и будет использовано в последующих главах.
гл. ОГИБАЮЩАЯ И ФАЗА СИГНАЛА. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ. КВАДРАТУРНЫЕ КОМПОНЕНТЫ УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА
Для многих практических приложений бывает полезно представить сигнал x(t) в виде процесса с изменяющейся амплитудой (огибающей) A(t) и полной фазой ш(0:

Так, при амплитудной модуляции информация закладывается s A(f), при угловой — в \\t(t). Представление (2.103) в общем случае неоднозначно, т.е. один и тот же сигнал x(t) может быть представлен бесконечным множеством пар {А(!), \\f(f}}. Из каждой такой пары может быть образован новый сигнал x'(t) — A(!}sm\[f(t), в некотором смысле сопряжённый с сигналом х(!). Очевидно,

65

Из сопоставления (2.104) и (2.105) вытекает, что в области положительных частот спектры сигналов x(t) и x(i) различаются множителем -j, а в области отрицательных частот -множителем j. Процесс х(/) называют сигналом, сопряжённым по Гильберту с х(!). Передаточная функция цепи, преобразующей x(f) в x(i) (т,е. преобразователя Гильберта (ПГ), см. рис, 2.29), имеет вид

Импульсная характеристика цепи определяется обратным преобразованием Фурье от K(f};

следует, что передаточная функция или импульсная характеристика цепи, выдающей на своем выходе сигнал х(!} при подаче ко входу x(f) (цепи, осуществляющей обратное преобразование Гильберта) обратны по знаку характеристи

(2.109) называют прямым, а (2ЛЮ) - обратным преобразованием Гильберта. Совместно их называют парой преобразований Гильберта.
Отметим, что для произвольных сигналов x(f} [x(t)) преобразование Гильберта (2,109) (также обратное преобразование Гильберта (2Л 10) нереализуемо, так как оно требует импульсную характеристику цепи, определённую не только при / > 0, но при / < 0 (см- 2.107). Как будет показано в гл. 4, для реализуемой цепи g(!) = 0 при / < 0- Если всё же ПГ таких сигналов необходимо, его реализуют приближённо, с некоторой задержкой 4ъ заведомо отбрасывая ветви g{t}, располагающиеся левее точки t — -^ и правее точки ?= /о- Задержка сигнала должна быть учтена в других устройствах, работающих синхронно с ПП Следует отметить, что погрешность преобразования, связанная с усечением импульсной характеристики ПГ, может оказаться недопустимо большой, ПГ легко реализуется, если сигнал x{t} можно представить через узкополосные квадратурные компоненты (см, ниже),
Комплексный сигнал :c(/)=-v(/)+jxt/), полученный на основе ПГ, называется аналитическим. Рассмотрим его основные свойства,

67

Алгоритм (2-117) используется при фазобалансном методе однополоснои модуляции (когда До = (do — частота несущей), при коррекции частотных сдвигов, обусловленных неточным сопряжением синтезаторов частот на передаче и
на приёме или доплеровскими сдвигами (тогда Дсо^О мало), и при демодуляции сигнала (тогда Д(о < 0). Вопросы однополосной модуляции и демодуляции мы рассмотрим в гл, 3.
Операции, связанные с ПГ, становятся реализуемыми и существенно упрощаются, если сигнал x(f) можно представить через квадратурные компоненты AM}, А(/1 при заданной частоте (обычно в спектре сигнала) соо,

Условие (2.120) будем называть условием "узкополосности в расширенном смысле". Чаще всего канальные сигналы в системах связи обладают свойством узкополосности

Это означает, что квадратурные компоненты A^(f), A^(t) меняются медленно (по сравнению с сояс^/ или с sinc^u/) и сигнал (2.119) имеет вид квазигармонического сигнала (рис. 2,30). Именно в этом случае обработка сигнала (через обработку низкочастотных квадратурных компонент) технически проще и реализуется точнее-

68

— комплексная амплитуда^. Поскольку умноже-

Jly.—
ние Л(/) на е   означает перенос спектра сигнала Л(/) вверх на величину^
Щ! J
то очевидно, что при выполнении условия (2.120) спектр сигнала x(f}=A(/)e
содержит только положительные частоты (/щщ > 0, Ушах </4" /^и) и может рассматриваться как аналитический. Тогда сопряжённый по Гильберту сигнал

Из сравнения (2,119) и (2-122) видно, что преобразование Гильберта сигнала A^ws^yf

а преобразование Гильберта сигнала ^,(;)sm(uo/

Формально (2-123) и (2,124) можно интерпретировать так, что преобразованиЕ Гильберта осуществляется над cost^o/ и кпшо/:

при неизменности Ac(!) и Дs(г)•
Из (2.119) и (2.122) видно, что огибающая сигнала

На   комплексной   плоскости   (рис. 2.31)   аналитический   сигнал
./ \     -,/ \ 4<oo/ч•1F(л^
4/) = А{/)е       в общем случае отображается вращающимся вектором с переменной длиной /!(/). Его угловая скорость вращения о(;) меняется во времени.
При представлении узкополосного в расширенном смысле сигнала через квадратурные компоненты алгоритм (2.116) реализуется достаточно просто:
1) Следует отметить, что A^{t) и A^(t) сопряжены по Гильберту лишь при условии, что комплексный сигнгит A(f) содержит только положительные частоты,
69

Используя понятие сопряжённого по Гильберту сигнала, Л,М, Финк ввел очень важное для теории и практики электросвязи понятие ортогональности в усиленном смысле пары сигналов x(t) и у(!} |27L
Сигналы jc(o и y(f) ортогональны в усиленном смысле в пространстве L^, если одновременно

Полезность понятия ортогональности в усиленном смысле объясняется тем, что сигналы x(t) (у(/}). пройдя через канал связи, часто получают случайные фазовые сдвиги 9^ Qy. При выполнении условий (2-128) ортогональность сигналов сохраняется при произвольных фазовых сдвигах Од и Qy.
Действительно, представим сигналы x(t) и y(t) через огибающую A(t) и полную фазу:

будет обеспечена только в том случае, если сигналы х(!} и у{!) ортогональны в усиленном смысле (условие (2>128))- Этот результат очевиден, если выполнить операцию (2.131) с учётом (2,129), (2.130) и условия (2.128). Как будет показано в гл. 5, при наличии случайного фазового сдвига в канале система сигналов, ортогональных в усиленном смысле, обеспечивает наибольшую помехоустойчивость,
Часто используемая в технике связи система ортогональных в усиленном
смысле сигналов, определённых на интервале (-7/2; Г/2), строится на основе тригонометрических функций кратных частот

Обычно в ансамбле (2.132) удерживается конечное число компонент М Если ансамбль (2Л32) дополнить элементами sin(faoi0, то получаем ансамбль ортогональных сигналов размерности 2/V. Если каждый элемент последнего ансамбля дополнить противоположным элементом (-coskff>\!, --smk(Q\t)y то получаем часто используемый при передаче дискретных сообщений ансамбль сигналов. называемый биортогональным. Число элементов этого ансамбля 4/V,
Вероятностные характеристики огибающей и фазы узнополосного случайного гауссовского процесса. Для определения ПВ огибающей А и фазы ф узкополосного случайного процесса
70

будем исходить и^ совместной плотности вероятности w{A^, А^) квадратурных компонент /!,. и ^ в фиксированных сечениях СП, Считав процесс гауссовеким, представим эту ПВ

где Mi;, /н;,, с^, ет,2 - МО и дисперсии квадратурных компонент. Представление (2,133) предполагает, что квадратурные компоненты Л^ 4, - независимые случайные величины, что всегда можно обеспечить- Действительно, известно, что гауссовский вектор комплексной огибающей .'[ можно так расположить в декартовой системе координат'', что его проекции (4:, Л;) оказываются некоррелированными (значит, и статистически независимыми при гаус-совском распределении).

тах ракн;1 cfA^iA^ (см. рис. 2.32, а), Илощ-щку той же величины в полярных координат;^ можно ьыр.шить формулой Ad^dA^ (см. рис. 2-32, б). Приравнивая вероятности -элементарных событий н двух системах координат, получаем

" Поворот системы координат, при которой опсспечив;1сто| некоррелированность А^ и А^ не
влияет на модуль А= А , следовательно, и на его ПВ. 2> Голор^т, что якобиан преобразования т декартолой системы координат в полярную ранен
А,
71

/d(0 ^ 1! c ростом I C| функция непрерывно возрастает). После интегрирования следует результат

Формула (2.137) выражает обобщённый закон Рэлея или закон Раиса.
Узкополосный случайный процесс X(f) с регулярной частью Ap(f) (с отличным от нуля МО) можно представить, как

Отсюда нидно. что амплитуда регулярной части сигнала

'а
Эта зависимость при различных параметрах — дана на рис, 233, а. Одномерную плотность ст
вероятности фазы получим, интегрируя (2Л35) по всевозможным значениям А (от 0 до зд).

л
График этой функции дан на рис. 2.33, б при различных параметрах — - При отсутствии рсгу-а
лнрнои части сигнала11 (т^ ~ т^= Лр^ 0), учитывая, что /о(0) = 1, получаем из (2.140) рзлеев-скос распределение амплитуды

п Можно показать, что только в этом случае СП (2.128) стационарен в широком смысле. 72

Корреляционная функция узкополосного случайного процесса. Пусть СПМ узкополосного СП Х{!) на положительных частотах [/о- /'в^+ Рц] является равномерной С^(/)=Л^ и равна нулю вне этой полосы (рис- 2.35, а). ФК такого СП

Выражение (2-146) определяет ФК низкочастотного квазибелого шума (рис. 2.35, б}. График ФК, определяемый формулой (2,145), дан на рис. 2.36. Отметим, что дисперсия узкополосного процесса (равная дисперсии низкочастотного квазибелого шума)

.2.8, НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ (СООБЩЕНИЙ, СИГНАЛОВ И ПОМЕХ)
Прямое и косвенное описание процессов. Способы представления как случайных, так и детерминированных процессов можно разделить на прямые и косвенные. К прямым способам описания относится аналитическое представ-
73

ление реализации процесса временными функциями на основе функциональном связи значений сигнала в данный момент с его значениями в прошлом. То же относится к различным функциональным преобразованиям, отображаемым алгебраическими, разностными, интегро-дифференциальными уравнениями, в которых функциями времени являются детерминированные или случайные процессы. Так, задача исследования переходного процесса в линейной стационарной системе классическим методом с использованием дифференциального уравнения системы является типичной для прямого способа описания сигналов, Спектральное описание колебаний — характерный пример косвенного описания. К косвенным способам описания процесса можно отнести такие параметры сигналов, как эквивалентная ширина спектра, ,экви валентная длительность. При описании случайных процессов 8 предыдущих параграфах мы пользовались косвенными характеристиками случайного процесса: интегральной функцией распределения, плотностью вероятностей, моментами первого и второго порядка, дисперсией, функцией корреляции, интервалом корреляции и другими усредненными статистическими характеристиками- При косвенных способах описания вероятностные закономерности отражают устойчивость средних результатов. Косвенное описание СП находит основное применение в задачах анализа-
В задачах синтеза СП прямой способ сводится к определению алгоритма воспроизведения его реализации по заданным вероятностным характеристикам (косвенному описанию). При этом СП можно представить на основе описания поведения динамической порождающей системы (рис- 2-37, я), на вход которой воздействует белый шум N(!), а на выходе формируется процесс Х(!} с требуемыми характеристиками. Иначе говоря, прямой способ задаст алгоритм генерирования процесса, а косвенный - вероятностные характеристики процесса. Как прямые, так и косвенные способы описания случайных процессов широко применяются в задачах теории связи.
Некоторые модели источников (сообщений, сигналов, помех). Пусть выход источника представляет собой непрерывную 4^ункцию х(/), являющуюся реализацией некоторого случайного процесса X{t). Для описания X{t) воспользуемся динамической порождающей системой (рис- 2,37, а), на вход которой подаётся стационарный белый гауссовский шум N(f) со спектральной плотностью мощности tv(). Случайный процесс X{t) на выходе простейшей динамической системы (интегрирующей /?С-цепочки) первого порядка (рис- 2J7, 6} определяется стохастическим дифференциальным уравнением состояния-

где а - \/RC - известная постоянная величина; N{t) " стационарный белый гауссовский шум с известными статистическими характеристиками:

Общее решение линейного уравнения (2.147), состоящее из решения однородного уравнения (определяющего свободные колебания) и частного решения (при заданной реализации n{t)), имеет вид
74

На рис.2.38, а изображен график СПМ, определяемый согласно (2Л49) на положительных частотах. Спектру (2,149) соответствует КФ экспоненциально-затухающего типа (рис. 2.38, 6}

где дисперсия а2 =- 5^(0) = аЛ^/Ч, График зависимости (2.150) при т > 0 показан на рис. 2.38, б. На основе уравнения состояния (2.147) можно составить схему устройства (вычислителя) для формирования случайного процесса с заданными КФ и СПМ (рис, 2-39)-
В качестве модели источника, порождающего узкополосный случайный сигнал, можно использовать случайный процесс At/} на выходе колебательного контура (рис. 2.40) при действии на его входе белого шума с теми же характеристиками, что и в предыдущем примере. ФК и СПМ случайного процесса X(t) (который является гауссовским и марковским) определяются теперь на ос' ново системы стохастических уравнений состояния

75

Гауссовские и марковские СП, сформированные на основе стохастических дифференциальных уравнений (2.147) и (2.151), часто используются в качестве типовых моделей телеметрических сообщений, телевизионных и речевых сообщений. На модели речевого сообщения целесообразно остановиться более подробно.
Мелели речевого сообщения. Под речевым сообщением h(l) будем понимать электрическое колебание, наблюдаемое на выводе электроакустического пр собрало вателя при действии на его входе акустической речевой волны, К преобразователю отнесем микрофон имеете с фильтром, формирующим спектр выходного колебания в заданной полосе частот, а также устройство регулировки уровня. f>(f) является речевым сообщением (первичным сигналом) в непрерывном времени /, его спектр сосредоточен в определённой полосе частот, например, для стандартного телефонного канала 300,„3400 Гц.
Смысловое содержание акустической речевой волны априорно неизвестно is общем случае одному смыслоному содержанию в равных •экспериментах могут соответствовать различимо электрические колебания, отличающиеся временной структурой, длительностью, формой и т.д. Поэтому речевое сообщение следует рассматривать как случайный процесс, реализации которого наблюдаются на выходе формирующего источника — источника речевых сообщений (сигналов). Случайный процесс как совокупность случайных величин задается вероятностными характеристиками — функциями рае п р сделен и я вероятностей, плотности вероятностей, момснтными характеристиками- Эти характеристики часто включаются в состав вероятностных моделей речевых сигналов.
На практике априорные сведения о речевом сигнале не всегда оказываются достаточно полными, чтобы можно было явно задать его вероятностную модели Поэтому приходится описывать процесс статистическими характеристиками, которые определяются опытным путем- Оценки интегральных функций распределения вероятностей, плотности нероятностей, КФ, СПМ дают приближенное представление о речевом сигнале. Они получаются усреднением за сравнительно большой промежуток времени в предположении стационарности и эргодичности речевого сигнала и вследствие зтого не дают полного представления о его мгновенных свойствах,
Эксперимента-пьныс данные показывают, что сели исключить паузы длительностью свыше 350 мс, то одномерная плотность речевого сигнала хорошо аппроксимируется двусторонним гамма-распределением

метр, зависящий от качества (главным образом, полосы пропускания) абонентского тракта, }-. основном от качества микрофона — для высококачественного микрофона а = 0,5 и более При (/ = \ (2.154) переходит в распределение Лапласа (экспоненциальное распределение)
76

Распределение сигнала речи в паузах с учётом шумовых напряжений аппроксимируется гауссовоким распределением

где 0 ^ а < I — параметр, характеризующий поведение функции плотности вероятности (при а ->• 0, см, (2.155), он стремится к 5-функции). Распределение речевого сигнала в целом может аппроксимироваться навешенной суммой распределений (2,154) и (2.Э55) с учетом вероятности появления пауз речи.
На рис, 2.41, а показана экспериментальная зависимость нормированной спектральном плотности мощности речевого сигнала

В последние годы всё большее распространение находят модели речевых сигналов в виде динамических поровдаюших систем. Например, выбирая р качестве динамической системы последовательно соединенные ^С-фильтры нижних и верхних частот (рис. 2,42, а), получают описание речевого сигнала двух компонентным марковским процессом. В этом случае СП представляется системой стохастических уравнений состояния

77

где х\(1) и х^1) = Ь([) - соответственно напряжение на емкости С] и на нагрузке /^' ^0 " ко' эффицисят передачи устройства развязки, /V(4 обладает свойством (2,14S); ai ^ \/К\С^ а?= \/RiC-/_ - постоянные коэффициенты. СПМ и ФК случайного процесса Д(/), определяемые на основе решения (2-156), будут:

Для частного случая, когда сч = а^, на рис, 2.42, б изображен график СПМ.
Модель стохастического дискретного источника. В качестве модели многих двоичных источников сообщений (например, данных на выходе ЭВМ) можно использовать модель случайного стационарного синхронного двоичного сигнала Адц(/). Будем полагать, что процесс Адв(^) с вероятностью 0,5 принимает в дискретных точках, кратных Т, значения ±А (сохраняя эти значения на интервале Т) независимо от значений процесса на предыдущих тактовых интервалах^ Две реализации рассматриваемого процесса показаны на рис, 2ЛЗ. Очевидно, что

Зафиксируем момент /о (см. рис. 2.43). Интервал и, отделяющий точку /о от ближайшей точки, в которой может произойти изменение знака процесса ^дц(/), распределён в нашей модели равномерно на отрезке [0, Т\:

Возьмем сечение процесса Хдц{!) в моменты /о и /о + т (т>0)> Если т < Л, то усредненное значение произведения рассматриваемых сечений равно /h, если т > Д, оно равно 0,25(А^- /^) = ° (произведение {-h)h получается, если знаки посылок в отдельных сечениях не совпадают, ^ - если знаки этих посылок совпадают Поэтому ФК процесса Дд„(0

78