ГЛАВА 1- ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ ЭЛЕКТРОСВЯЗИ
U. ИНФОРМАЦИЯ, СООБЩЕНИЯ, СИГНАЛЫ
Понятия информации и сообщения употребляются довольно часто. Эти близкие по смыслу понятия сложны и дать их точное определение через более простые нелегко- Слово информация происходит от латинского informatio — разъяснение, ознакомление, осведомлённость. Обычно под информацией понимают совокупность сведений, данных о каких-либо событиях, явлениях или предметах. Мы живем в информационном мире- Всё, что мы видим, слышим, помним, знаем, переживаем, — всё это различные формы информации. Совокупность сведений, данных становится знанием лишь после их интерпретации с учётом ценности и содержания этих сведений. Следовательно, информацию в широком смысле можно определить как совокупность знаний об окружающем нас мире. В таком понимании информация является важнейшим ресурсом научно-технического и социально-экономического развития общества- В отличие от материального и энергетического ресурсов, информационный ресурс не уменьшается при потреблении, накапливается со временем, сравнительно легко и просто с помощью технических средств обрабатывается, хранится и передаётся на значительные расстояния^
Для передачи или хранения информации используют различные знаки (символы), позволяющие выразить (представить) её в некоторой форме. Этими знаками могут быть слова и фразы в человеческой речи, жесты и рисунки, формы колебаний, математические знаки и т.п. Совокупность знаков, отображающих ту или иную информацию, называют сообщением. Так, при телеграфной передаче сообщением является текст телеграммы, представляющий собой последовательность отдельных знаков — букв и цифр. При разговоре по телефону сообщением является непрерывное изменение во времени звукового давления, отображающее не только содержание, но и интонацию, тембр, ритм и иные свойства речи. При передаче движущихся изображений в телевизионных системах сообщение представляет собой изменение во времени яркости элементов изображения,
Передача сообщений (а следовательно, и информации) на расстояние осуществляется с помощью какого-либо материального носителя (бумаги, магнитной ленты и т.д,) или физического процесса (звуковых или электромагнитных волн, тока и тд,). Физический процесс, отображающий (несущий) передаваемое сообщение, называется сигналом.
В качестве сигнала можно использовать любой физический процесс, изменяющийся в соответствии с переносимым сообщением. В современных системах управления и связи чаще всего используют электрические сигналы. Физической величиной, определяющей такой сигнал, является ток или напряжение. Сигналы формируются путём изменения тех или иных параметров физического носителя в соответствии с передаваемым сообщением. Этот процесс (изменения параметров носителя) принято называть модуляцией.
Сообщения могут быть функциями времени, например речь при передаче телефонных разговоров, температура или давление при передаче телеметрических данных, спектакль при передаче по телевидению и т.п. В других случаях
10

сообщение не является функцией времени (например, текст телеграммы, неподвижное изображение и т.д.).
Сигнал передаёт (развёртывает) сообщение во времени. Следовательно, он всегда является функцией времени, даже если сообщение (например, неподвижное изображение) таковым не является. Если сигнал представляет собой функцию x(t), принимающую только определённые дискретные значения х (например, 1 и 0), то его называют дискретным или дискретным по уровню (амплитуде). Точно так же и сообщение, принимающее только некоторые определённые уровни, называют дискретным. Если же сигнал (или сообщение) может принимать любые уровни в некотором интервале, то они называются непрерывными или аналоговыми.
В некоторых случаях сообщение или сигнал задают не на всей оси времени, а в определённые моменты ;. Такие сообщения (сигналы) называют дискретными по времени в отличие от непрерывных по времени, заданных на всей оси t. Например, речь является сообщением непрерывным как по уровню, так и по времени, а датчик температуры, выдающий ее значения через каждые 5 мни, служит источником сообщений, непрерывных по величине, но дискретных по времена На рис- 1.1 наглядно проиллюстрированы различные виды сигналов. Сигнал с конечным числом дискретных уровней часто называют цифровым, поскольку уровни можно пронумеровать числами с конечным числом разрядов.
Не следует думать, что дискретные сообщения обязательно преобразуются в дискретные сигналы, а непрерывные сообщения - в непрерывные сигналы, Чаще всего именно непрерывные сигналы используют для передачи дискретных сообщений (в качестве их переносчиков, несущей^ Дискретные же сигналы могут использоваться для передачи непрерывных сообщений (после их дискретизации),
Сообщение с помощью специальных устройств (датчиков) обычно преобразуется в электрическую величину Ь{!} -^ первичный сигнал. При передаче речи такое преобразование выполняет микрофон, при передаче изображения — телевизионная камера. В большинстве случаев первичный сигнал является низкочастотным'^ колебанием, которое отображает передаваемое сообщение,
В некоторых случаях первичный сигнал непосредственно передают по ли-нии> Так поступают, например, при обычной городской телефонной связи. Для передачи на большие расстояния (по кабелю или радиоканалу} первичный

сигнал преобразуют в высокочастотный.
Если бы передаваемое сообщение было детерминированным, т.е. заранее известным с полной достоверностью, то пер&дача его не имела бы смысла- Такое детерминированное сообщение не содержит информации- Поэтому сообщения следует рассматривать как случайные события (или случайные величины, случайные функции}. Другими словами, должно существовать некоторое множество вариантов сообщения (например, множество различных значений температуры, выдаваемых датчиком), из которых реализуется с определённой вероятностью одно- Поэтому и сигнал является случайной функцией. Детерминированный сигнал не может быть носителем информации. Его можно использовать лишь для испытаний системы связи или отдельных её элементов.
Случайный характер сообщений, сигналов, а также помех обусловил важнейшее значение теории вероятностей в построении теории связи. Как будет показано в последующих главах, вероятностные свойства сигналов и сообщений, а также среды, в которой передаётся сигнал, позволяют определить количество передаваемой информации и её потерн.
Описанием конкретного сигнала может быть некоторая функция времени х(/). Определив так или иначе эту функцию, определяем и сигнал. Однако такое полное описание сигнала не всегда требуется. Для решения ряда вопросов достаточно более общего описания в виде нескольких параметров, характеризующих основные свойства сигнала, подобно тому, как это делается в системах транспортирование Указывая габаритные размеры и массу, характеризуем основные свойства предмета с точки зрения условии его перевозки; другие свойства (например, цвет) с этой точки зрения являются несущественны ми ^
Сигнал также является объектом транспортировки, а техшпса связи по существу техникой транспортирования (передачи) сигналов по канонам связи. Поэтому целесообразно определить параметры сигнала, которые являются основными с точки зрения его передачи- Такими параметрами являются длительность сигнала Т, его динамический диапазон D и ширина спектра F. Всякий сигнал, рассматриваемый как временной процесс, имеет начало и конец. Поэтому длительность сигнала Т является естественным его параметром, определяющим интервал времени, в пределах которого сигнал существует.
Динамический диапазон — это отношение наибольшей мгновенной мощности сигнала к той наименьшей мощности, которую необходимо отличать от нуля при заданном качестве передачи. Он выражается обычно в децибелах. Динамический диапазон речи диктора, например, равен 25..JO дБ, небольшого вокального ансамбля 45...65 дБ, симфонического оркестра 70..-95 дБ> Во избежание перегрузок канала в радиовещании динамический диапазон часто сокращают до 35-45 дБ.
И наконец, ширина спектра сигнала F. Этот параметр дает представление о скорости изменения сигнала внутри интервала его существования. Спектр сигнала в принципе может быть неограниченным. Однако для любого сигнала можно указать диапазон частот, в пределах которого сосредоточена его основная энергия. Этим диапазоном и определяется ширина спектра сигнала.
В технике связи спектр сигнала часто сознательно сокращают. Это обусловлено тем, что аппаратура и линия связи имеют ограниченную полосу пропускаемых час/пот. Сокращение спектра осуществляется исходя из допустимых искажении сигнала. Например, при телефонной связи требуется, чтобы речь была разборчива и чтобы корреспонденты могли узнать друг друга по голосу. Для выполнения этих условий достаточно передать речевой сигнал в полосе
12

от 3UO до 34UO Гц. Передача более широкого спектра речи is этом случае нецелесообразна, т^к клк. ведет к техническим усложнениям и увеличению затрат. Аналогично необходимая ширина спскчра телевизионного сищали опрсдслястсч требуемой чёткостью изображения При с-1;шд:1рте ь 625 строк верхьяи чистота сигнала достигает 6 МГц. Спектр сигнала изображения много шире спектра епггмла злукового сопровождения ^ Это существенно усложняет построение систем телевизионного вещания по сравнению с системами звукового нсщання Ширина спектра телеграфного снгна-па жпиент от скорости передачи и обычно принимаегся раиной Р^ t,5i\ где v — скорость передачи (телеграфиронания) в Бодах, те число симиолоп, псредаьасмых и секунду. Так, при телетайпной передаче г = 50 Бод и Р ^ 75 Гц, Спектр модулированного сигнала обычно шире спектра передаваемого сообщения (первичного сигнала) и JaisHdir от вида модуляции.

Можно ввести более общую и наглядную характеристику — объём сигнала;

У.- 7с ^ Д,       "       .                             (1-1) Объем сигнала ^ даёт общее представление о возможностях данного множества сигналов как переносчиков сообщений. Чем больше объём сигнала, тем больше информации можно "вложить" в этот объём и тем труднее передать такой сигнал по каналу связи с требуемым качеством.

1.2. СИСТЕМЫ, КАНАЛЫ И СЕТИ СВЯЗИ
На рнс. 1.2 изображена структурная схема простейшей одпокапальнои cifc-темы связи. Рассмотрим назначение отдельных элементов утоп схемы. Источником сообщений и получателем в одних системах связи может быть человек, в других — различного рода устройства (автомат, вычислительная машина и т,д.). Устройство, преобразующее сообщение в сигнал, называют передающим^ а устройство, преобразующее принятый сигнал в сообщение, " приёмным. С помощью первичного преобразователя в передающем усгройствс сообщение п. которое может иметь любую физическую природу (изображение, звуковое колебание и т,п.), преобразуется в первичный электрический сигнал b(f). В телефонии, например, ^та операция сводится к превращению акустических колебшшй е! пропорционально изменяющееся электрическое напряжение на выходе микрофона. В телеграфии с помощью телеграфного аппарата последовательность элементов сообщения (букв) заменяется последовательностью кодовых символов (0, 1 или точка, чире), которая одновременно преобразуется в последовательность электрических импульсов постоянного тока- В передатчике первичный сигнал й(/) (обычно низкочастотный) превращается во вторичный (высокочастотный) сигнал ;/(/), пригодный для передачи по используемому каналу, Это осуществляется посредством модуляции.
Преобразование сообщения в сигнал должно быть обратимым. В этом случае по выходному сигналу можно восстановить входной первичный сигнал, i.e. получить всю информацию, содержащуюся в переданном сообщении. В противном случае часть информации будет потеряна при передаче,

Линней связи называется физическая среда и совокупность аппаратных средств, используемых для передачи сигналов от передатчика к приёмнику. В системах электрической связи — это прежде всего кабель или волновод, в системах радиосвязи — область пространства, в котором распространяются электромагнитные волны от передатчика к приёмнику. При передаче канальный сигнал //(/) может искажаться и на него могут накладываться помехи n(t). Приёмное устройство обрабатывает принятое колебание s(/) = s(f) + /;(/), представляющее собой сумму пришедшего искажённого сигнала .^(/) и помехи n(f), и восстанавливает по нему сообщение а, которое с некоторой погрешностью отображает переданное сообщение а. Другими словами, приёмник должен на основе анализа колебания =(/} определить, какое из возможных сообщений передавалось, Поэтому приёмное устройство является одним из наиболее ответственных и сложных элементов системы связи,
Совокупность технических средств для передачи сообщений от источника к потребителю называется системой связи. Этими средствами являются передающее устройство, линия связи и приёмное устройство. Иногда в понятие система связи включается источник и потребитель сообщений. По виду передаваемых сообщений различают следующие системы связи: передача речи (телефония); передача текста (телеграфия); передача неподвижных изображений (фототелеграфия); передача подвижных изображений (телевидение), телеизмерение, телеуправление и передача данных. По назначению телефонные и телевизионные системы делят на вещательные, отличающиеся высокой степенью художественности воспроизведения сообщений, и профессиональные, имеющие специальное применение (служебная связь, промышленное телевидение и т.п.). В системе телеизмерения физическая величина, подлежащая измерению (температура, давление, скорость и т.п.), с помощью датчиков преобразуется в первичный электрический сигнал, поступающий на передатчик. На приёмном конце переданную физическую величину или её изменения выделяют из сигнала и наблюдают или регистрируют с помощью записывающих приборов- В системе телеуправления осуществляется передача команд для автоматического выполнения определённых действий. Нередко зти команды формируют автоматически на основании результатов измерения, переданных телеметрической системой-
Внедрение высокоэффективных ЭВМ привело к необходимости быстрого развития систем передачи данных, обеспечивающих обмен информацией между вычислительными средствами и объектами автоматизированных систем управления. Этот йид электросвязи по сравнению с телеграфной отличается более высокими требованиями к скорости и верности передачи информации,
Каналов! связи называется совокупность средств, обеспечивающих передачу сигнала от некоторой точки А системы до точки Б (рис. U). Точки А и Б могут быть выбраны произвольно, лишь бы между ними проходил сигнал. Часть системы связи, расположенная до точки А, является источником сигнала для этого канала- Если сигналы, поступающие на вход канала и снимаемые с его выхода, являются дискретными (по уровням), то капая называется дискретным. Если входные и выходные сигналы канала являются непрерывными (по уровню), то и канал называется непрерывным. Встреча-
неточны е; сигнала ,
	^——————————--——>

Исючпик споощ^нии
	->
	
	1 '
	i
	
	~>
	
	-f
	
	J
	^
	
	->
	Получатгл!, со шипений

ются также дискретно-непрерывные и непрерывно-дискретные каналы, на вход которых поступают дискретные сигналы, а с выхода снимаются непрерывные, или наоборот. Из сказанного видно, что канал может быть дискретным или непрерывным независимо от характера передаваемых сообщений Более того, в одной и той же системе связи можно выделить как дискретный, так и непрерывный канал. Всё зависит от того, каким образом выбраны точки А и Б входа и выхода канала.
Канал связи можно характеризовать так же, как и сигнал, тремя параметрами; временем 7^, в течение которого по каналу возможна передача, динамическим диапазоном Ј)^ и полосой пропускания канала F^- Под динамическим диапазоном канала понимают отношение допустимой мощности передаваемого сигнала к мощности неизбежно присутствующей в канале помехи, выраженное ц децибелах.
Типы каналов, по которым передаются сигналы, многочисленны и разнообразны. Различают каналы проводнои свяуи (воздушные, кабельные, свстоводные и др.) и каналы радио-сиязи. Кабельные линии связи являются основой магистральных сетей дальней связи, по ним осуществляется передача сигналов в диапазоне частот от десятков кГц до сотен МГц. Весьма перспективными являются волоконно-оптические линии связи. Они позволяют в диапазоне 6U(L.9UO ТГц (0.5...0,3 мкм) обеспечить очень большую пропускную способность (сотни ТВ tL'm сотни тысяч ТФ каналов). Наряду с проводными линиями связи широко используются радиолинии различных диапазонов (от сотен кГц до десяткол ГГц), Эти линии более экономичны и незаменимы для связи с подвижными объектами- Наибольшее распространение для многоканальной радиосвязи получили радиорелейные линии (РРЛ) метрового, дециметрового и сантиметрового диапазонов на частотах от 60 МГц до 15 ГГц, Разновидностью РРЛ льляют-ся тропосферные линии с использованием отражений от н сод нор од н осте и тропосферы. Всё большее применение находят спутниковые линии связи — РРЛ с ретранслятором на ИСЗ. Для этих линий (систем) связи отведены диапазоны частот 4...6 и 11...275 ГГц. Большая дальность при одном ретрансляторе на спутнике, гибкость и возможность организации глобальной связи — важные преимущества спутниковых систем.
Общими признаками непрерывных каналов являются следующие. Во-первых, большинство каналов можно считать линейными. В таких каналах выходной сигнал является суммой откликов отдельных входных сигналов и помех (применим принцип суперпозиции), а продукты нелинейных преобразований в канале малы по сравнению с выходными сигналами. Во-вторых, на выходе канала даже в отсутствие полезного сигнала всегда имеются помехи- В-третьих, сигнал при передаче по каналу претерпевает задержку по времени и затухание по уровню. И наконец, в реальных каналах всегда имеют место искажения сигнала, обусловленные несовершенством характеристик канала и нередко изменениями параметров канала во времени. Обобщённой характеристикой канала является его ёмкость (объем)
^-Тк/кАс-                                             (1-2) Необходимым условием неискажённой передачи по каналу сигналов с объёмом vq, очевидно, должно быть
Vc< У^                                                   (1.3) Преобразование первичного сигнала в высокочастотный сигнал часто и преследует цель согласования сигнала с каналом. В простейшем случае сигнал согласуют с каналом по всем трём параметрам, т,е. добиваются выполнения условий:
7, < Т^ /-с< /•К, D,< D^.                                     (1.4) При этих услоеилх объём сигнала полностью "вписывается" в объём канала,
15

Однако неравенство (1.3) может выполняться и тогда, когда одно или qisei из нсравенетц (1.4) не выполнены. Это означает, что можно производить "обмен" длительности на ширину спектра или ширину спектра на динамический диапазон и т.д. Пусть, например, записанный яа пленку телефонный сигнал, имеющий ширину спектра 3 кГц, необходимо передать через к;1Н;гл, полоса пропускания которого 300 Гц. Это можно осуществить, воспроизнодя сигнал со скоростью, в 10 раз меньшсп той, с которой он был записан. При этом псе частоты исходного сигнала уменьшатся is 10 раз и во столько же раз увеличится иреми передачи. Принятый сигнал также записывается на плёнку, а затем, воспроизведя его со скоростью, в 10 раз большей, можно носстановить исходный сигнал. Аналогично можно передать сигн.тл быстрее, если полоса пропускания канала шире спектра сигнала.
Значительно больший интерес представляет возможность обмена динамического диапазона на полосу пропускания. Так, используя широкополосные помехоустойчивые виды модуляции (см. гл.8), можно передать сообщение с динамическим диапазоном, например 60 дБ, по каналу, н котором сигнал превышает помеху всего лишь на 20 дБ, При этом используется полоса пропускания канала в несколько раз более широкая, чем спектр сообщения.
В системе связи, представленной на рис, 1.1, передача сообщений осуществляется в одном направлении от источника к получателю. Такой режим связи называется симплексным. Режим, при котором обеспечивается возможность одновременной передачи сообщений в прямом и обратном направлении, называется дуплексным. Возможен и полудуплексный режим, когда обмен сообщений осуществляется поочередно-
Система связи называется многоканальной, если она обеспечивает передачу нескольких сообщений по одной общей линии связи. Структурная схема простейшей многоканальной системы связи изображена на рис- \А. Здесь первичные сигналы b\(i}, b^{i}, .-., А„(/), подлежащие передаче, преобразуются посредством модуляторов А/,, М^, ..., М^ в электрические сигналы и\(1), {^(!), -.., ^(/), а затем смешиваются в аппаратуре уплотнения. Полученный таким образом групповой сигнал u(f) передаётся по линии связи^ Приёмник из принятого колебания z(l) = s(l) + л(/) с помощью устройства разделения (4?ильтров Ф,) выделяет индивидуальные сигналы s,{!), преобразуемые посредством демодуляторов
(детекторов) Д, в соответствующие первичные сигналы b^(f), b^(t), ..-, ^(?) - Для
разделения сигналов на приёмном конце, очевидно, необходимо, чтобы они различались между собой по некоторому признаку. В практике многоканальной связи преимущественно применяют частотный и временной способы разделения,
Для обмена сообщениями между многими территориально разнесёнными пользователями (абонентами) создаются сети связи, обеспечивающие передачу и распределение сообщений по заданным адресам (в заданное время и с установленным качеством). Распределение потоков сообщений по заданным адресам осуществляется на узлах связи с помощью коммутационных устройств. По

способу распределения сообщений сети делятся на неюоммутируемые и коммутируемые. В первом случае связь между абонентами осуществляется по постоянно закреплённым каналам по принципу "каждый с каждым". Во втором случае абоненты связываются между собой не непосредственно, а через узлы коммутации, Сеть связи представляет собой совокупность оконечных (абонентских) устройств, каналов связи (соединительных линий) и узлов коммутации. В зависимости от числа абонентов и размеров обслуживаемой территории сети могут иметь различную структуру: линейную, радиальную, кольцевую, радиально-узловую и т.п. Задача оптимального построения сетей связи является одной из важнейших задач теории и техники связи- Решается эта задача с помощью теории графов и теории массового обслуживания.
1.3. ПОМЕХИ И ИСКАЖЕНИЯ В КАНАЛЕ
В реальном канале сигнал при передаче искажается и сообщение воспроизводится с некоторой ошибкой. Причиной таких ошибок являются как искажения, вносимые самим каналом^ так и помехи, воздействующие на сигнал. Частотные и временные характеристики канала определяют так называемые линейные искажения. Кроме того, канал может вносить и нелинейные искажения, обусловленные нелинейностью тех или иных звеньев канала. Если линейные и нелинейные искажения обусловлены известными характеристиками канала, то они, по крайней мере в принципе, могут быть устранены надлежащей коррекцией. Следует отличать искажения от помех, имеющих случайный характер- Помехи заранее не известны и поэтому не могут быть полностью устранены.
Помехой называется любое случайное воздействие на сигнал, которое ухудшает верность воспроизведения передаваемых сообщений. Помехи весьма разнообразны как по своему происхождению, так и по физическим свойствам. В радиоканалах часто встречаются атмосферные помехи, обусловленные электрическими процессами в атмосфере, и прежде всего грозовыми разрядами. Энергия этих помех сосредоточена главным образом в области длинных и средних волн. Сильные помехи создаются также промышленными установками. Это так называемые индустриальные помехи, возникающие из-за резких изменений тока в электрических цепях всевозможных электроустройств- Сюда относятся помехи от электротранспорта, электрических двигателей, медицинских установок, систем зажигания двигателей и т.п. Распространенным видом помех являются помехи от посторонних радиостанций и каналов. Они обусловлены нарушением регламента распределения рабочих частот, недостаточной стабильностью частот и плохой фильтрацией гармоник сигнала, а также нелинейными процессами в каналах, ведущими к перекрестным искажениям,
В проводных каналах связи основным видом помех являются импульсные шумы и прерывания связи. Появление импульсных помех часто связано с автоматической коммутацией и перекрестными наводками. Прерывание связи есть явление, при котором сигнал в линии резко затухает или исчезает.
Практически в любом диапазоне частот имеют место внутренние шумы аппаратуры, обусловленные хаотическим движением носителей заряда в усилительных приборах, резисторах и других элементах аппаратуры. Эти помехи особенно сказываются при радиосвязи в диапазоне ультракоротких волн, где другие помехи невелики. В этом диапазоне имеют значение и космические помехи, связанные с электромагнитными- процессами, происходящими на 17

Солнце, звёздах и других внеземных объектах. В общем виде влияние помехи л(0 на полезный сигнал u(t) можно выразить оператором
z(!)- L\s(u(!)), n(!)}.                                           (1.5) В частном случае, когда оператор вырождается в сумму
z(l) - s(t) + л(0,                                            0^) помеха называется аддитивной. Если же оператор может быть представлен в виде произведения
-~(0=Ц/И/),                                             (1.7) то помеху называют мультипликативной. Здесь А(0 - случайный процесс. В реальных каналах обычно имеют место и аддитивные, и мультипликативные помехи, и поэтому
z(t} = k(t)u{l) + n{t).                                        O.S) Среди аддитивных помех различного происхождения выделяют сосредоточенные по спектру (узкополосные) помехи, сосредоточенные во времени (импульсные) помехи и так называемую флуктуаиионную помеху, не ограниченную во времени и спектра Фяук.туациош1ая помеха (фдуктуационпый шум) представляет собой случайный процесс с нормальным распределением (гауссовский процесс). Такая помеха наиболее изучена и представляет наибольший интерес как в теоретическом, так и в практическом отношение Этот вид помех практически имеет место во всех реальных каналах. В диапазоне оптических частот существенное значение имеет квантовый шум, вызванный дискретной природой сигнала^ Мультипликативные помехи обусловлены случайными изменениями параметров капана связи- В частности, эти помехи проявляются в изменении уровня сигнала.
Следует заметить, что между сигналом и помехой отсугствует принципиальное различие. Более того, они существуют в единстве, хотя и противоположны по своему действию. Так излучение радиопередатчика является полезным сигналом для приёмника, которому предназначено это излучение, и помехой для всех других приёмников. Электромагнитное излучение звезд является одной из причин космического шума в диапазоне сверхвысоких частот и поэтому является помехой для систем радиосвязи. С другой стороны, это излучение является полезным сигналом, по которому определяют некоторые физико-химические свойства звёзд,
1.4. КОДИРОВАНИЕ И МОДУЛЯЦИЯ
Преобразование дискретного сообщения в сигнал обычно осуществляется в виде двух операций — кодирования н модуляции. Кодирование представляет собой преобразование сообщения в последовательность кодовых символов, а модуляция — преобразование этих символов в сигналы, пригодные для передачи по каналу- С помощью кодирования и модуляции источник сообщений согласуется с каналом.
Простейшим примером дискретного сообщения является текст. Любой текст состоит из конечного числа элементов: букв,'цифр, знаков препинания. Их совокупность называется алфавитом источника сообщения. Так как число элементов в алфавите конечно, то их можно пронумеровать и тем самым свести передачу сообщения к передаче последовательности чисел,
Так, для передачи заглавных букв русского алфавита (их;32) находимо передать числу от 0 до 31. Для передачи любого числа, записанного а десятичной форме, требуется передо
18

десяти цифр — от 0 до Э. Практически для этого нужны десять сигналов, соответствующих различным цифрам. Систему передачи дискретных сообщений можно существенно упростить, если воспользоваться при кодировании д]юичной системой счисления.
В десятичной системе основанием счисления является число 10. Поэтому любое целое число К можно представить в виде
A'=^10'l-^..+o;](гL+n,101+Д(^10(>,                                         (1.9) где ди, (/I, .., а„ — коэффициенты, принимающие значение от 0 по 9. Так, число 265 можно
•описать как 2-107 +6 101 -i-5 10°. Очевидно, в качестве основания счисления можно принять любое целое число т и представить число /Укак
К= а^п'Ч- .. + а^т1 + Д|М1 + ао//Л                                    (1.10) где а^ й|, .... Дп — коэффициенты, принимающие значения от 0 до т - 1. Задаваясь величиной w, можно построить любую систему счисления.
При т = 2 получим двоичную систему, в которой числа записываются с помощью двух цифр — 0 и I. Например, число 13 в двоичной системе записывается J 101, что соответствует
выражению J-23 +T-22 +0-2'+ 1'2\ Арифметические действия в двоичной системе весьма просты. Так, сложение осуществляется по следующим правилам: 0+0=0: 0 + 1=1, 1+0=1, 1 + 1 = Ю. Различают ещё поразрядное сложение без переноса в старший разряд, так называемое "сложение по модулю два". Правила этого сложения следующие: ОФО=0, ОФ1=1;
1 Ф0= I; 1 ® I = О,
Если преобразовать последовательность элементов сообщения в последовательность двоичных чисел, то для передачи последних по каналу связи достаточно передавать всего лишь два различных сигнала. Например, символы 0 и ] могут передаваться колебаниями с различными частотами или импульсами тока разной полярности- Благодаря сноси простоте двоичная система счислении широко применяется при кодировании дискретных сообщений.
При кодировании происходит процесс преобразования элементов сообщения в соответствующие им числа (кодовые символы). Каждому элементу сообщения присваивается определённая совокупность кодовых символов, которая называется юодовои комбинацией. Совокупность кодовых комбинаций, отображающих дискретные сообщения, образует код. Правило кодирования может быть выражено кодовой таблицей, в которой приводятся алфавит кодируемых сообщений и соответствующие им кодовые комбинации. Множество возможных кодовых символов называется кодовым алфавитом, а их количество т -основанием кода. Б общем случае при основании кода т правила кодирования К элементов сообщения сводятся к правилам записи ^различных чисел в т-ичной системе счисления. Число разрядов /г, образующих кодовую комбинацию, называется разрядностью кода или длиной кодовой комбинации. В зависимости от системы счисления, используемой при кодировании, различают двоичные и т-ичные (недвоичные) коды,
Коды, у которых все комбинации имеют одинаковую длину, называют равномерными. Для равномерного кода число возможных комбинаций равно т". Примером такого кода является пятизначный код Бодо, содержащий пять двоичных элементов (т ~ 2^ п - 5). Число возможных кодовых комбинаций равно 25 = 32, что достаточно для кодирования всех букв русского алфавита. Однако этого недостаточно для передачи сообщения, содержащего буквы, цифры, различные условные знаки (точка, запятая, сложение, умножение и т,п.). Поэтому в настоящее времн используется "Международный код №3" (МТК-2). В коде МТК-2 используется регистровый принцип, согласно которому одна и та же пяти элементная кодовая комбинация может использоваться до трёх раз в зависимости от положения регистра: русский, латинский, цифровой. Общее число различных знаков при этом равно 84, что достаточно для кодировал ния тслегрцммы. Для передали данных рекомендован ссмиэлементный код МТК-5. Коды МТК-2 и МТК-5 являются первичнылт {простыми)- Основными параметрами кодов являются. основание кода т^ длина кодовой комбинации и, расстояние между кодовыми комбинациями dy и вес кодовой комбинации ю. Расстояние ^ характеризует различие между двумя кодовыми
19

комбинациями и определяется по Хсммингу числом несовпадающих и них разрядов, т.е, числом единим в сумме диух комбинаций по модулю 2. Число ненулевых элементов н кодовой комбинации определяет сё вес а. Применение равномерных колов упрощает построение автоматических буквопечатающих устройств и не требует передачи разделительных символов между кодовыми комбинациями.
Неравномерные коды характерны тсм> что у них кодовые комбинации отличаются друг от прута не только взаимным расположением символов, но и их количеством. Это приводит к тому, что различные комбинации имеют различную длительность. Такие коды требуют либо спеця^итъных разделительные знаков, указывающих конец одной и начало другой кодопои комбинации, либо же должны строиться t;lk, чтобы никакая кодовая комбинация не являлась началом другой- Коды, удовлетворяющие зтому условию, насыпаются неприводимыми или префиксными. Заметим, что ранномсрнын код также является неприводимым. Строение код^ удобно представлять в виде. графа (кодового дерена}, в котором из каждого узла исходит число ветвей, равное основанию кода (для двоичного кода, например, шаг вверх означает 0, шаг вниз - 1).
Типичным примером неравномерных кодов является код Морзе, л котором символы 0 и 1 используются только в двух сочетаниях - как одиночные (1 и 0) или как тройные (111 n 000). Сигнал, соответствующий одной единице, называется точкой, трем единицам - тире. Символ 0 используется как ^нак, отделяющий точку от тире, точку от точки и тирс от тирс. Совокупность 000 используется как разделительный знак между кодовыми комбинациями.
По признаку помехозащищённости коды делят на примитивные (первичные} и корректирующие. Коды, у которых все возможные кодовые комбинации используются для передачи информации, называются простыми или подали/ без избыточности (примитивными). В простых равномерных кодах превращение одного символа комбинации в другой, например 1 в 0 или 0 в 1, приводит к появлению новой разрешённой комбинации, т,с, к ошибке. Корректирующие коды строятся так, что для передачи сообщения используются не все кодовые комбинации, а лишь некоторая их часть (разрешённые кодовые комбинации). Тем самым создаётся возможность обнаружения и исправления ошибки при неправильном воспроизведении некоторого числа символов. Корректирующие свойства кодов достигаются введением в кодовые комбинации дополнительных (избыточных) символов (см. гл. 7).
Декодирование состоит в восстановлении сообщения по принимаемым кодовым символам- Устройства, осуществляющие кодирование и декодирование, называют соответственно кодером и декодером. Как правило, это логические устройства. На рис. L5 изображена структурная схема системы передачи дискретные сообщений, а на рис. 1,6 поясняется процесс преобразования дискретного сообщения в сигнал- Передаваемое сообщение обозначено буквой а^, кодированное сообщение (или первичный цифровой сигнал) — /»,(/), его компоненты Ь^ (I — номер последовательно передаваемого символа, /-номер позиции кода, j=o,w-i). Сигнал, поступающий в линию связи обозначен u(f], принятое колебание — z(Q, восстановленная последовательность кодовых символов - ^(/) (её компоненты Ь^) и декодированное (восстановленное) сообщение — я„. Обозначения принятых сигналов, кодовых символов и восстановленного сообщения выбраны иными, чем передаваемых. Этим подчеркивается то обстоятельство, что из-за влияния помех принятый сигнал отличается от переданного, а восстановленное сообщение может не совпадать с исходным-
В современных системах передачи дискретных сообщений принято различать две группы относительно самостоятельных устройств: коде/ей и модемы. Кодском называются устройства, преобразующие сообщение в код (кодер) н 20

код в сообщение (декодер), а модемом - устройства, преобразующие код в сигнал (модулятор) и сигнал в код (демодулятор). Канальные устройства (полосовые усилители передатчика и приёмника, корректоры и т.п.) вместе с линией связи образуют непрерывный канал, а последний вместе с модемом -дискретный канал> Непрерывный канал обозначен на рис. 1.2 и L4 блоком "линия связи^
Следует |шет1. в виду, что в системах радиосвязи после передатчик;! посредством передающих антенн обралустся пространственно-временной сигна-п n(f, г) (электромагнитная волна), который зависит не только от времени /, но и пространственных координат точки наблюдение г = х, j\ ; 1). Сигн^ш^ зависящий от многих координат, называют полем2^ В месте приёма (на выходе рад и о канал а) для анализа поступает поле или пространственно-временное сигнал ;(?, г) =- д(/| г) 4- л(/, г). Чаще всего оно сначала посредством приемной антенны пре-ир;пшетея л чисто временной сигнал :{f)^ который в дальнейшем подпер гнется чисто временной обработке. Вопросы формирования и обработки пространствен но -временных сигналов в настоящем учебнике не расе матрица юте я, т.е. будем считать, что устройства преобразования временной сигнал - поле на передаче и поле — временной сигнал ни приёме включены внутри заданной "линии связи". Эти вопросы рассматриваются в специальных курсах.
При передаче непрерывного сообщения (рис- 1-6) а его сначала преобразуют в непрерывный первичный электрический сигнал b(f), а затем, как правило, с помощью модулятора формируют канальный сигнал и(!), который и посылают в линию связи. Принятое колебание z(!} подвергается обратным преобразо-
Л
ваниям, в результате которых выделяется первичный сигнал b (t). По нему затем восстанавливается с той или иной точностью сообщение д,
Общий принцип модуляции состоит в изменении одного или нескольких параметров несущего колебания (переносчика) f(t, а, р, .,.) в соответствии с передаваемым сообщением. Так если в качестве переносчика выбрано гармони-
11 Помимо декартовых, можно ввести иные пространственные координаты, например, полярные координаты,
21 Поле n(f,r) следует, вообще говоря, рассматривать как векторное поле u(/,r), если учесть поляризацию электромагнитной волны [14].
21

ческое колебание Д?) •= uw^((uq! + <р), то можно образовать три вида модуляции:
амплитудную fAM), частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ).
Если переносчиком является периодическая последовательность импульсов
•с
/О) ^^о S^-^-^). т0 ^и заданной
/.-<
форме импульсов v(t) можно образовать четыре основных вида импульсной модуляции;       ешпдиту^дио-импульсную (АИМ), широтно- импульсную (ШИМ), время-шпу^ъсную (ВИМ, ФИМ) и час-тотно-нмпульсную (Ч ИМ). Применение радиоимпульсов  позволяет  получить ещё два вида модуляции: по частоте и по фазе высокочастотного заполнения.
При дискретной (цифровой) модуляции закодированное сообщение а, представляющее собой последовательность кодовых символов {/;/}, преобразуется в последовательность элементов (посылок) сигнала [а^1)} путем воздействия кодовых символов на переносчик f(l). Посредством модуляции один из параметров переносчика изменяется по закону, определяемому кодом- При непосредственной передаче переносчиком может быть постоянный ток, изменяющимися параметрами которого являются величина и направление тока. Обычно в качестве переносчика, как и в непрерывной модуляции, используют переменный ток (гармоническое колебание^ В этом случае можно получить AM, ЧМ иФМ,
На рис. 1.7 приведены формы сигнала при двоичном коде для различных видов дискретной или цифровой модуляции (манипуляции). При AM символу 1 соответствует передача несущего колебания в течение времени Т (посылка), символу 0 — отсутствие колебания (пауза). При ЧМ передача несущего колебания с частотой/I соответствует символу i, а передача колебания с частотой А соответствует 0. При двоичной ФМ меняется фаза несущей на к при каждом переходе от 1 к 0 и от 0 к 1.
Наконец, на практика применяют систему относительной фазовой модудяцш! (ОФМ). В отличие от ФМ, при ОФМ фазу сигналов отсчитывают не от некоторого эталона, а от фазы предыдущего элемента сигнала. Например, символ 0 передаётся отрезком синусоиды с начальной фазой пргдшестнуюшего элемента сигнала, а символ 1 - таким же отрезком с начальной фазой, отличающейся от начальном (^аэы предшествующего элемента сигнала на п. При ОФМ передача начинаете;! с посылки одного не несущего информации элемента, который служит опорным сигналом для сравнения фазы последующего элемента. Подробнее о приеме такш сигналов и особенностях относительного метода модуляции будет скачано в гл. 5.
В более общем случае дискретную модуляцию следует рассматривать как преобразование кодовых символов 0, 1, .... т - \ в определённые отрезки сигнала if-i(l)v где / '= 0, 1, -,., т - } — передаваемый символ. При этом вид сигнала /^(/), в принципе, может быть произволен. В действительности его выбирают так, чтобы удовлетворить требованиям, предъявляемым к системе связи
22

(в частности, по скорости передачи и по занимаемой полосе частот), и чточы сигналы хорошо различались с учётом воздействующих помех.
Длительность посылки первичного сигнала /?ц(/) при дискретной передаче определяет с/сороапь передача посы.ю/с (техническую скорость или скорость модуляции). Эта скорость \' выражается числом посылок, передаваемых за единицу времени. Измеряется техническая скорость в Ьодах. Один Бод — уто скорость, при которой за 1 с передаете;! одна посылка. Если длительность посылка Г выражена в секундах, то скорость модуляции v ^ 1/Гв Бодах. Если полосу частот ограничить третьей гармоникой, то ширина спектра первичного сигнала F = 1.5 г, Гц..
1.5. ДЕМОДУЛЯЦИЯ И ДЕКОДИРОВАНИЕ
Переданное сообщение п приемнике обычно восстанавливается в такой по-следовитслыюсти- Сначала сигнал демодулируется. В системах передачи непрерывных сообщений в результате демодуляции восстанавливается первичный сигнал, отображающий переданное сообщение. Этот сигнал затем поступает на воспроизводящее или записывающее устройство. В радиовещании таким устройством может быть громкоговоритель или магнитофон. В системах передачи дискретных сообщении ооьггно л результате демодуляции последовательность элементов сигнала превращается в последовательность кодовых символов. Затем по ним восстанавливаются сообщения, выдаваемые получателю. Последнее преобразование называется декодированием.
Не следует думать, что демодуляция и декодирование — это просто операции, обратные модуляции и кодированию, выполняемые над пришедшим из канала сигналом, В результате различных искажений и иоздействия помех пришедший сигнал может существенно отличаться от переданного. Поэтому всегда можно высказать ряд предположении (гипотез) о том, какое сообщение перед авал ось. Задачей приёмного устройства является принятие решения о том, какое из возможных сообщений действительно передавалось источником. Для этого принятый сигнал подвергается анализу с учетом исех сведений об источнике (например, о вероятностях, с которыми источник посылает то или иное сообщение), о применяемом коде и методе модуляции, а также о свойствах ка-жпа.  В  результате  анализа  обычно  можно  определить  условные (апостериорные) вероятности возможных гипотез и на основании ^тих вероятностей принять решение, которое и поступает к получателю. Та часть приемного устройства, которая осуществляет анализ приходящею сигнала и принимает решение о переданном сообщении, называется решающей схемои.
В системах передачи непрерывных сообщений при апсаюговай л/оду^ящт решающая схема определяет по пришедшему искаженному канальному (вторичному) сигналу наиболее вероятный переданный первичный сигнал и восстанавливает его. Здесь решающей схемой является демодулятор. В системах передачи дискретных сообщений решающая схема чаще всего состоит из двух частей: первой решающей схемы — демодулятора и второй решающей схемы — декодера,
Иногда при передаче дискретных сообщений операции демодуляции и декодирования выполняет одно устройство, которое приходящую последовательность элементов сигнала преобразует сразу в последовательность символов (букв) сообщения. Такой метод приёма называют совмеапиой демодуляцией-декодированием или приемом в це/юм, в отличие от поэлементного приема 23

с двумя решающими схемами. В первом случае анализируется целиком отрезе» сигнала, соответствующий кодовой комбинации, и на основании того или ино го критерия восстанавливается переданный элемент сообщения (буква). В( втором случае сначала анализируются отдельные элементы сигнала, соответст вующие кодовым символам, а затем восстановленная кодовая комбинация декодируется, т.е. преобразуется в элемент (букву) сообщения,
В некоторых случаях роль решающе» схемы пополняет полностью или чеютично человек Т:1К прн приеме телсгр:1.фных сигналов на слу?< оператор решает, какой сигнал ("точка" илл "тире") был передан. Он же выполняет и операцию декодирования, В приёмниках дискретны» сообщений, предназначенных для записи информации, нес укачанные операции цыполнякугся автоматически. В простейшем случае первая решающая схема представляет собой порогош устройство в форме реле, триггера, работающих по принципу "да" или "нет". Если принятый элемент сигнала выше порога, выдаётся один символ кола (например, 1), если ниже — другой (0), В некоторых случаях применяют решающие схемы е двумя порогами. При попадании уровня сигнала между двумя порогами решение не принимается — вместо сомнительного элемента сигнала выдаётся специальный символ стирании. Введение такого стирающего символа облегчает возможность правильного декодирования принятой кодовой комбинации.
Дчя принятия решения о том, какое сообщение передавалось, необходимо проанализировать пришедший сигнал. Для этого он подвергается различным преобразованиям, которые называют обработкой сигнала. Одной из задач теории связи является отыскание правил оттшадъиой обработки сигнала, при которой решение о переданном сообщении оказывается наиболее достоверным. Эти правила зависят от свойств канала и методов передачи (кодирования и модуляции), Иногда оптимальные правила обработки оказываются сложными и для упрощения аппаратуры используют другую, не оптимальную обработку. Наконец, качество приема и обработки сигналов существенно зависит от точности синхронизации переданных и принятых сигналов. Различают синхронизацию тактовую (определение границ единичных элементов сигнала), цикловую синхронизацию (правильное разделение кодовых комбинаций), синхронизацию несу/цих частот и др, Погрешности синхронизации приводят к снижению достоверности приёма сообщений, а в ряде случаев - к неправильному приёму всего сообщения или части епх
Простейшим методом, позволяющим на приёме отделить одну кодовую комбинацию от другой, является стартстопный режим передачи, когда и начале и конце кдждои комбинации передаётся специальный сигнал ("старт" и "стоп"). Такой метод передачи относится к асинхронным, так как передачу любой кодовой комбинации можно начинять в любой момент времени после окончания предыдущей комбинации. При синхронных способах передачи элементы сигнала передаются непрерывно через одинаковые промежутки времени. Разделение кодовых комбинаций осуществляется в этом случае с помощью цикловой синхронизации. Вопросы синхронизации не рассматриваются в настоящем учебнике. Они изучаются п специальных курсах,
1.6. ЦИФРОВОЕ КОДИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ
В настоящее время широкое применение находят цифровые системы передачи (ЦСП), в которых непрерывные сообщения передаются дискретными сигналами- Преобразование непрерывного сообщения в цифровую форму осуществляется путём операций дискретизации и квантования.
Дискретизация по времени выполняется путём взятия отсчётов первичного сигнала b(t) в определённые дискретные моменты /, В результате непрерывную функцию Ь(!) заменяют совокупностью мгновенных значений (отсчётов) {b{k}\

или {b(tfs)}. Обычно моменты отсчётов выбираются на оси времени равномерно, т.е. )^= М), где Л — шаг дискретизации.
Операция квантования сводится к тому, что вместо данного мгновенного значения (уровня) передаваемого сообщения А(^) передают ближайшие значения по установленной цифровой шкале дискретных уровней ^кв(^)- Дискретные значения по шкале уровней чаще всего выбираются равномерно:
j^-/A^, где Дй — шаг квантования, /= 0, 1, ,.-, L - \. Само собой разумеется, что при квантовании вносится погрешность, так как истинное значение b{t^} заменяют округлённым значением ^кц(^)' Величина этой погрешности е -= b(tff) - ^ки(^) не превосходит половины шага квантования и/? и может быть сведена до допустимого уровня. Погрешность Ј является случайной функцией и проявляется на выходе как дополнительный шум (шум квантования), наложенный на передаваемое сообщение. Дискретизация по времени позволяет преобразовать непрерывные сообщения в дискретный (во времени) сигнал, который после квантования превращается в цифровой. Достоинством цифровых способов передачи является возможность применения кодов как для повышения помехоустойчивости, так и для сокращения избыточности источника, В настоящее время наибольшее применение находит система с импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ). В этой системе непрерывное сообщение сначала подвергается дискретизации по времени и квантованию по уровню, а затем полученная последовательность L уровней (цифр) кодируется (обычно двоичным кодом). При этом каждому уровню присваивается кодовая комбинация, состоящая из п символов 1 и 0. Полученная последовательность двоичных символов передаётся по каналу связи одним из методов дискретной модуляции. Обычно используется частотная (ИКМ-ЧМ) или фазовая (ИКМ-ФМ) модуляция.
1.7. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СВЯЗИ
При оценке работы системы связи необходимо прежде всего учесть, какую точность передачи сообщения обеспечивает система и с какой скоростью передается информация. Первое определяет качество передачи, второе — количество. В реальной системе связи качество передачи зависит от степени искажений принятого сообщения. Эти искажения зависят от свойств и технического состояния системы, а также от интенсивности и характера помех- В правильно спроектированной и технически исправной системе связи необратгшые искажения сообщений обусловлены лишь воздействием помех. В этом случае качество передачи полностью определяется помехоустойчивостью системы. Под помехоустойчивостью обычно понимают способность системы противостоять вредному влиянию помех на передачу сообщений- Так как действие помех проявляется в том, что принятое сообщение отличается от переданного, то количественно помехоустойчивость при заданной помехе можно характеризовать степенью соответствия принятого сообщения переданному. Назовем эту величину общим термином - верность. Количественную меру верности приходится выбирать по-разному, в зависимости от характера сообщения и требований получателя. Пусть сообщение представляет собой дискретную последовательность элементов из некоторого конечного множества. Влияние помехи на передачу такого сообщения проявляется в том, что вместо фактически переданного элемента может быть принят какой-либо другой, такое событие называет-
25

ся ошибкой. В качестве количественной меры верности можно взять вероятность ошибки? или любую монотонную функцию этой вероятности.
При передаче непрерывных сообщений степенью соответствия принятого
сообщения B(f) (с реализацией b(t)) переданному B(.t) (с реализацией b(t))
может служить некоторая величина» представляющая собой "расстояние" между
л. й(0 и Ь{!)^ Часто принимают критерий квадратичного отклонения
W)-[B(l)-B(f)}\                                            (1,11)
где прямая черта сверху означает усреднение по ансамблю случайных величин Количественную меру верности можно также определить как вероятность того, что уклонение Е не превзойдёт некоторой заранее заданной величины &о:
Q=P^<^}.                                                   (1.12)
Как будет показано в последующих главах, верность передачи зависит от отношения средних мощностей сигнала и помехи (ОСП), При данной интенсивности помехи вероятность ошибки тем меньше, чем сильнее различаются между собой сигналы, соответствующие разным сообщениям. Задача состоит в том, чтобы выбрать для передачи сигналы с большим различием. Наконец, верность передачи зависит и от способа приёма. Необходимо выбрать такой способ приёма, который наилучшим образом реализует различие между сигналами при данном отношении сигнала к помехе. Обратим внимание на существенное различие между аналоговыми и дискретными системами передачи сообщений. В аналоговых системах всякое, даже сколь угодно малое мешающее воздействие на сигнал, вызывающее искажение модулируемого параметра, всегда влечёт за собой внесение соответствующей погрешности в сообщение. Поэтому абсолютно точное восстановление переданного сообщения невозможно-В дискретных системах ошибка при передаче сообщений возникает только тогда, когда сигнал опознается неправильно, а это происходит лишь при искажениях, превышающих некоторый порог,
В теории помехоустойчивости, разработанной В.А. Котельниковым, показано, что при выбранном критерии и заданном множестве сигналов, принимаемых при аддитивном белом гауссовском шуме (БГШ), существует предельная (потенциальная) помехоустойчивость, которая ни при каком способе приёма не может быть превзойдена- Приёмное устройство, реализующее потенциальную помехоустойчивость, называется оптимальным (наилучшим) по данному критерию.
Наряду с верностью важнейшим показателем работы системы связи является скорость передачи. В системах передачи дискретных сообщений скорость измеряется числом передаваемых символов в единицу времени v, Вод- Количество передаваемой информации принято измерять в битах (двоичных единицах). Как будет показано в гл. б, максимальное количество информации, которое можно передать двоичным символом, равно 1 биту- Там же будет показано, что при использовании не двоичных, а w-ичных символов максимальное количество информации, которое можно передать, равно log,//i бит- Поэтому
дискретный источник может обеспечить максимальную скорость выдачи информации (максимальную производительность)

где Т — длительность посылки; т ~ основание кода. При т — 2, Ди= 1/Гбит/с, скорость передачи информации Дц численно равна технической скорости v. При т > 2 возможно, что скорость передачи информации rh > v. Однако нередко в дискретных системах связи скорость передачи информации rh < v. Это бывает, когда не все посылки используются для передачи информации, например если часть из них служит для синхронизации или для обнаружения и исправления ошибок (при использовании корректирующего кода),
Вводится также характеристика средней скорости передачи информации по заданному каналу в единицу времени с заданной верностью Существует максимально возможная (предельная) скорость передачи, которая называется пропускной способностью канала С". Это фундаментальное понятие определяет потенциальные возможности системы связи, использующей данный канал. В реальной системе средняя скорость передачи информации всегда меньше пропускной способности канала С'. В теории информации К. Шенноном доказана теорема, согласно которой для источника без избыточности (см. hl 6) при Дд < С' можно найти такой способ кодирования-декодирования, при котором возможна передача сообщений по каналу с помехами со сколь угодно малой ошибкой.
Универсальным показателем эффективности системы связи является коэффициент Ti, характеризующий использование системой пропускной способности канала t[ = R^/C' (информационная эффективность).
Своевременность передачи сообщений определяется допустимой задержка^ обусловленной преобразованием сообщении и сигналов, а также конечным временем распространении сигн,ц1;1 по каналу связи. Она зависит, во-первых, от характера и протяжённости канала, во-лторых, от длительности обработки сигнала в передающем и приёмном устройствах. Скорость передачи и задержка являются независимыми характеристиками, практически не связанными Друге другом.
Существуют и многие другие параметры, характеризующие с различных точек прения качества системы связи, К ним, в частности, относятся скрытность связи, надежность системы, габаритные размеры и масса аппаратуры, стоимость оборудования, эксплуатационные расходы и т.п. Зтч характеристики в курсе "Теория электрической связи" не рассматриваются. Им посвящены отдельные разделы других специальных курсов-
выводы
1. Передача сообщений по каналам связи осуществляется с помощью сигналов, которые являются материальными носителями сообщений, отображающих ту или иную информацию, Характерной особенностью сообщений (сигналов) является их непредсказуемость. О любом сообщении можно говорить лишь как о возможном с некоторой вероятностью событии, Сообщение об известном событии информации не несет. Процесс передачи сообщении всегда является вероятностным (стохастическим).
2. Сообщения и соответствующие им сигналы могут быть дискретными и непрерывными. Непрерывный канальный сигнал формируется с помощью модуляции, а дискретный - с помощью кодирования и модуляции. Кодирование определяет закон построения сигнала а модуляция - вид сигнала, который передаётся по каналу,
3. Непрерывное сообщение (сигнал) в цифровых системах связи преобразуется в цифровой сигнал с помощью трех операций: дискретизации по времени, квантования по уровню и кодирования.
4. Основными устройствами системы передачи дискретных сообщений являются кодек и модем. Канальные устройства вместе с линией связи образуют непрерывный канал, а последний вместе с модемом — дискретный канал.
27

5. Причинами появления ошибок при передаче сообщений по каналу связи являются иски-женин, вносимые самим каналом, и помехи, воздействующие на сигнал. Помехи могу быть аддитивными и мультипликативными. Среди аддитивных помех наиболее распространенными являются флуктуационные, сосредоточенные по спектру и импульсные,
6. Важнейшими характеристиками системы связи являются верность и скорость передачи сообщений. Первая определяет качество передачи, а второе — количество. При передача дискретных сообщений верность (помехоустойчивость) определяется вероятностью ошибки, а при передаче непрерывных сообщений — среднеквадратической ошибкой. Скоросп 1 измеряется чаще всего числом передаваемых двоичных единиц информации в единиц} i времени (бит/с).
7. Современная теория связи интенсивно развивается как статистическая теория, основы которой составляют теория сигналов, теория помехоустойчивости и теория кодирования.
ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

Необходимо: 1) определить вид кода; 2) определить, какие из этих кодов не требуют разделительных знаков, почему? 3) закодировать слова: звезда, вега, база, 4) расшифровав последовательности кодовых комбинаций: а) кода 1. 111000001000010000; 001101100000;
б) кодаЗ. 0100101001110, 01110110100; 10000111100,
1.2. Стартстопный телеграфный аппарат передаёт одну букву семью посылками: одной стартовой (20 мс), пятью кодовыми (20 мс каждая) и одной стоповой (30 мс). Определить скорость модуляции v в Бодах и максимальную скорость передачи информации Д„ в битах на секунду.
1.3. В чём отличие между дискретной и непрерывной модуляцией несущей?
1.4. Что понимают под решающей схемой при приёме дискретных сообщений?
1.5. Практически верность передачи дискретных сообщений определяют коэффициентом ошибок — относительным числом ошибочно принятые элементов сообщения. Вычислите этот коэффициент для случая передачи букв кодом МТК-2 со скоростью 50 Бод, если з;а 2 ч непрерывной передачи было зафиксировано 10 ошибочно принятых букв.
1.6. Запишите кодовые слова (комбинации), соответствующие числу 45, при основании кода т == 2, 3, 4, 8, 10. Как изменяется число разрядов и число используемых цифр в слове с изменением основания кода?
1.7. Какое число разрядов должен иметь равномерный код, предназначенный для первичного кодирования 32-буквенного алфавита, при основании кода т = 2, S, 16, 32 ?
1.8. По данным, приведенным в § 1.1, вычислите и сравните объёмы первичных сигналов:
речевого, радиовещательного и телевизионного (при одинаковой их длительности^
1.9. Текст из 180 букв передаётся по телефонному каналу в течение 30 с. Тот же текст за то же время передаётся по телеграфу кодом МТК-2. Сравните объемы телефонного и телеграфного сигналов (при одинаковых динамических диапазонах),
МО. Покажите, как за счет кодирования можно осуществить обмен полосы частот и отношение сигнал-помеха в канале при неизменном объеме сигнала,

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СООБЩЕНИЙ, СИГНАЛОВ И ПОМЕХ
2J. КЛАССИФИКАЦИЯ СООБЩЕНИЙ, СИГНАЛОВ И ПОМЕХ
Математические модели, отображающие основные свойства сообщений, сигналов и помех с точки зрения решения задач электрической связи, являются фундаментом ТЭС Поскольку сообщения, сигналы и помехи прежде всего представляются электрическими колебаниями, меняющимися во времени, то их базовой математической моделью является некоторая функция (временной процесс) х(0, значение которой меняется во времена По своим физическим и математическим свойствам процессы x(f) делятся на детерминированные и случайные.
Детерминированными или регулярными называются такие процессы х(/), течение которых во времени можно полностью предопределить заранее. Иначе говоря, для любого наперед заданного момента времени / может быть однозначно определено значение функции х(/). Детерминированные функции широко применяются при изучении электрических цепей. Так, при анализе переходных процессов в линейных цепях часто используют детерминированные испытательные сигналы у(/,Д) и п(/,й), формы которых показаны на рис. 2.1, а и б. Если параметр Д -> 0, то сигнал v(?,u) переходит в единичную функцию включения

Поскольку 5-функция часто используется в теории связи, отметим некоторые её полезные свойства. Для произвольного непрерывного сигнала x[t} справедливо соотношение

Дельта-функцию часто представляют как предел определённых последовательностей, например

При определении АЧХ и ФЧХ линейных стационарных (с постоянными параметрами) четырехполюсников (цепей) часто в качестве испытательных используют гармонические сигналы

При анализе, настройке и регулировке различных импульсных устройств у усилителей используются последовательности импульсов прямоугольной или иной формьь Детерминированные колебания различной формы широко применяются в качестве переносчиков при формировании модулированных сигналов,
Случайными называются такие процессы X{f), реализации которых в каждой опыте точно предсказать невозможно. Они отличаются от детерминированный тем, что нельзя заранее утверждать, что Х(!) в некоторый момент / будет иметэ определённое значение; например, для непрерывного случайного процесс;
можно лишь говорить о некоторой вероятности того, что в этот момент значе ние X(t) окажется в интервале между значениями х и х + ^х- Иначе говоря, ее ли X(t) есть случайная функция, то её значения при фиксированном значенш аргумента представляют собой случайные величины X(ii) = Xi. Случайные пр& цессы и их основные свойства обстоятельно рассматриваются в и 2.5.
В зависимости от вида передаваемых сообщений и сигналов, а также харак' тера помех соответствующие им функции могут быть непрерывными или дне кретными как по аргументу (времени /), так и по значениям- Об этом уже го верилось в гл. 1 (см. рис. 1,1).
2.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ БАЗИСЫ
Аналогия между сигналам» и векторами, Любай задача легче воспринимает ся, если её можно связать с каким-либо известным явлением. При математик ском описании сигналы удобно рассматривать как векторы или точки в некс тором функциональном пространстве — пространстве сигналов.
Электрические сигналы сложной формы по своей физической природе да леко не всегда сходны с привычными нам представлениями векторов как на правленных отрезков. Тем не менее практический интерес имеет обобщенн' операций над векторами на сигналы (функции), описывающие различные ко лебания. Дело в том, что среди различных математических приёмов, исполь зуемых при исследовании электрических цепей и сигналов наиболее широ^
30

- применяется представление произвольной функции в виде суммы более простых ("элементарных") функций. Такой подход лежит в основе принципа независимости действия (суперпозиции) при изучении преобразований сигналов в линейных электрических цепях- Наглядные геометрические представления, связанные с отображением функций в качестве векторов пространства сигналов, помогают часто уяснить физическую сущность процессов формирования, передачи и разделения сигналов, синтеза оптимальных сигналов и устройств обработки сигналов при наличии помех,
Задача разложения сигнала сложной формы на простейшие составляющие сходна с разложением обычного вектора х трёхмерного пространства на его составляющие по координатному базису единичных ортогональных векторов i, J, k (рис, 2.2). Такое представление можяо записать как
х -= ^i i + x^j + x^k,                                         (2.5) Составляющими вектора х по базису (i, j, k) будут векторы XiiyX^^x^k. Коэффициенты ;q, хз, хд представляют собой проекции вектора х на координат-
_ные оси i, j, k и называются координатами вектора х. Иначе говоря, вектор х в трёхмерном пространстве полностью определяется совокупностью его координат х- {х^хъ -^).
Чтобы перейти к обобщению понятия вектора трёхмерного пространства для случая п-мерного пространства, обратимся к примеру. Некоторое приближённое представление о функции (сигнале) х(!) можно составить по её отображению последовательностью прямоугольных импульсов, имеющих на интервалах /Д значения x(iA) (рис, 2.3). Если теперь условно представить функцию х(!) на интервале (0; 7) "вектором", то для его определения потребуется п ~^ Т/А ^координат х, = л(й). Это означает, что функцию х(!) по аналогии с (2,5) можно представить в виде суммы

Вектор х, соответствующий функции х(^), в /г-мерном пространстве единичных ортов i|/; будет полностью определяться его координатами

х = (xq, .Хь ..., -^-i)- Таким образом, сигнал х(/) произвольной формы представляется суммой п простейших элементарных сигналов, в данном случае в виде импульсов прямоугольной формы. Слово пространство используется здесь, чтобы придать множеству сигналов геометрический смысл и тем самым на-гладность. Наиболее простой и в то же время физически достаточно содержательной является трактовка сигналов как элементов нормированного линейного метрического пространства.
Основные определения, относящиеся к функциональным пространствам Евклида, Гильберта, Хэмминга, Линейным или векторным называется пространство сигналов, для элементов которого выполняются правила сложения и умножения на любое число из некоторого множества Щ ^называемое множеством скаляров'^, Сложение векторов производится покоординатно, ъе, суммой векторов х   (функции   x(t)}   и   у   (функции   y(f))   называется   вектор х + у = (^о + Я)> ^1 + У\. •-•. ^ + Уч)^ принадлежащий данному пространству, а произведение ^х вектора х на число Х даёт вектор \х = (Uo, \x\, ,.., \х^\), также принадлежащий данному пространству. В линейном пространстве существует нулевой элемент 0, такой, что х + 0 - х и каждому элементу х соответствует противоположный элемент -х, так что х + (-х) = 0. Вектор, образованный суммированием // линейно независимых (базисных) векторов ^; со ска-

дярными коэффициентами х, называется их линейной комбинацией

выполмяется лишь тогда, когда все х^ 0. Иначе говоря, линейно независимым называется множество {>у,}, для которого ни одна из его компонент не может быть образована линейной комбинацией других. Размерность линейного пространства определяется числом любых линейно независимых б;1зисных векторов {^j), образующих это пространство. Линейно независимые векторы {'/^ можно рассматривать как координатные оси пространства.
Метрическим называется линейное пространство, в котором определено расстояние между элементами (векторами) пространства (метрика), т.е. каждой паре элементов, скажем, х и у может быть поставлено в соответствие некоторое вещественное неотрицательное число (/(х, у) и способ, в соответствии с которым находится это число. Расстояние удовлетворяет следующим правилам.
1. а(\, у) -= 0, если х = у
2. d{x, у) = d(y, x);
3. ^ у) < ^fx, z) + ф, у),
где х, у, г - элементы (точки) пространства. Смысл первых двух условий очевиден. Третье условие называют неравенством треугольника: длина стороны треугольника меньше (или раина) суммы длин двух других сторон.
Нормированные пространства. Среди линейных метрических пространств важное место занимают нормированные пространства. Этот вид пространства определяется заданием нормы ||х||, удовлетворяющей следующим аксиомам:

^ Множество {k} должно быть полем, т.е. на нём должны быть определены операции сложения и умножения с коммутативными и дистрибутивными свойствами и оно должно содержать элементы нуль и единицу. Примерами полей являются множества всех целых чисел, иссх л. йствительных чисел, всех комплексных чисел и др. 32

Первая аксиома устанавливает, что норма есть положительное вещественное число, равное нулю только для нулевого вектора^ во второй аксиоме Й- — любое число (скаляр), третья яксиома — дксиомл треугольника.
Начнём с перечисления терминов и определений» относящихся к п-мерному вещественному евклидову пространству R^ Любой вектор х в этом
пространстве определяется совокупностью его координат: х = [хц, Хц,..., ^,_J.
Совокупность п линейно независимых векторов образует л-мерное евклидово пространство, обозначаемое R^ Пространство Дд можно определить как множество точек, представленных концами векторов, для которых норма

Как видим, норма есть обобщение длины вектора в двухмерном и трёхмерном пространстве. Расстояние между двумя векторами х и у определяется как норма разности векторов;

Координаты вектора представляют собой проекции вектора на координатные оси, аналогично (2.5). Из соотношения (2,8) вытекает очевидное неравенство
М<И.||у|(,                                                         (2.9)
известное в литературе как неравенство Буняковского-Шварца- Знак равенства имеет место лишь тогда, когда
y=fc\                                                      (2.10) (k - скаляр), т,е. когда векторы х и у коллинеарны. Для соответствующих сигналов х{!) и у(!) это означает, что они совпадают по форме y(t') = kx(f)- Квадрат выше определённой нормы вектора х можно найти как скалярное произведение вектора на самого себя:
llxll2 = (х х)
[|А||       \Л.^ Д^.
При п -> со пространство -/?^ переходит в бесконечномерное пространство Гильберта, обозначаемое L^. Гильбертовым пространством является, в частности, пространство всех непрерывных комплексных функций аргумента ;, за-
( Т Т\ данных на интервале -T^h B котором скалярное произведение определено
\   -^  ^-'
соотношением

а квадрат нормы

Норма (2.12) имеет не только геометрический, но и отчётливый физический смысл. Так, если сигнал х(г) - вещественный электрический ток в единичном сопротивлении 1 Ом, то квадрат нормы

определяет энергию сигнала. Элементы гильбертова пространства L^ характеризуются интегрируемым квадратом, т.е. если элементы этого иространстаа -
( Т Т\ вещественные сигналы x(f), определённые на интервале 1-,^) > т0 выполняется условие

Гильбертово пространство обозначается при этом La(T}. При Т -> со получаем пространство L^}. Для некоторых сигналов (функций) пространства ^з(^) условие (2.13) при Г"> со может не выполняться, но выполняется условие

В этом случае можно вместо (2-11) ввести скалярное произведение с размерностью мощности (для токов и напряжений на единичном сопротивлении)

Квадрат нормы вектора х в этом случае

При выполнении условия (2.14) в пространстве ^(с0) определены и соотношения (2.15) и (2.16) при Т -> ^
В дальнейшем, говоря о функции с интегрируемым квадратом в пространстве L^(w), имеем в виду выполнение условия (2.13) или условия (2.14) при Т-> со. Квадрат расстояния между двумя векторами в вещественном пространстве L^(T) определяется соотношением

Форму (2.18) можно использовать и при Т -> оо для сигналов с конечной средней мощностью.
Пространство L-^ представляет собой естественное обобщение пространства Rf,, получаемое путём перехода от дискретизнрованной функции к функции непрерывного аргумента, В курсе ТЭС пространство L^ имеет особое значение, ибо оно позволяет применить общие геометрические представления к сообщениям, сигналам и помехам, определённые как функции непрерывного аргумента. Устремляя в (2.6) п -> со, получаем представление непрерывной функции х{!) в пространстве Гильберта:

Операторы и функционалы. В задачах преобразования сообщений и сигналов нам потребуются некоторые обобщения функциональных зависимостей. Величина у называется функцией независимой переменной х, если каждому значению х (из множества его возможных значений) соответствует определённое значение у. Иначе говоря, функциональная зависимость у = flx) устанавливает соответствие между некоторым множеством чисел х и множеством чисел у или, что то же, функция устанавливает зависимость одного числа от другого.
Более общим понятием является понятие функционала- Функционал устанавливает соответствие между множеством чисел, с одной стороны, и некоторым множеством функций — с другой. Можно сказать, что функционал Ф устанавливает зависимость числа от функции: .)'^ Ф(/М) • Примером функционала является определенный интеграл, величина которого (при неизменных пределах) зависит от вида подынтегральной функции.
Очень полезным является понятие функционального оператора, устанавливающего соответствие между двумя множествами функций, т-е, с помощью оператора L устанавливается зависимость функции от функции: у(!) = Цх(1)]. Так как функции могут быть представлены векторами и множество функций определяется как векторное пространство, то действие оператора может быть описано в геометрических терминах как преобразование пространства Х векторов х в пространство Y векторов у. Обратное преобразование Y в Х обозначают
L"1. В задачах преобразования сообщений и сигналов используются наряду с линейными операторами также нелинейные и параметрические операторы.
Векторное представление цифровых сигналов в пространстве Хэмминга, Если функция x(f) на каждом интервале /Д может принимать одно из т возможных
значений ^'t) (A=CUn-l), то на отрезке длительностью Гона будет полностью
Т определена п^— значениями -v!" или, что то же, совокупностью коэффициен-
Д
тов {х^\ -^/',.., х^, } (^ /, v eO,M-l), называемой л-набором, В частности, при
т = 2 коэффициент х^ принимает значение 0 или 1, л-набор представляет собой просто кодовую комбинацию л-значного двоичного (/л = 2) кода, отображающую символ (букву, цифру) передаваемого сообщения. Двоичные п-наборы отображаются векторами (точками) в пространстве Хэмминга 2д. Скалярное произведение в этом пространстве удобно задать функцией
35

где Ј - сумма в обычном смысле. Отсюда норма двоичного вектора

Можно видеть, что норма двоичного вектора определяется количеством содержащихся в нём единиц- Эту норму называют также весом вектора (кодовой комбинации) и обозначают о. Расстояние в пространстве Хэмминга

где знак ® означает операцию суммирования по модулю 2 (mod 2): 0 © 0 - О, 0©1=1,1®0-1,1Ф1=0. Приведём пример суммирования по пюс1 2 двух векторов:

Суммирование и вычитание по mod 2 эквивалентны. В пространстве Хэмминга расстояние между двоичными векторами определяется по числу позиций в кодовой комбинации, в которых векторы х и у имеют различающиеся символы^ В рассмотренном примере d(\, у) = 4 единицам- В более общем случае, если число различимых значений равно т, используется разность по модулю т.
1.3. РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ В ОБОБЩЁННЫЙ РЯД ФУРЬЕ
Важным понятием в пространствах Евклида, Гильберта и Хэмминга является ортогональность векторов. Два вектора х и у ортогональны, если
(х.у)=0.                                                 '(2.20) Легко показать, что если векторы у; и ^ при j Ф i взаимно ортогональны, то они также линейно независимы. Поэтому совокупность ортогональных векторов можно использовать в качестве базиса линейных пространств-
Представим непрерывную (во времени и по уровню) функцию x(l} с интегрируемым квадратом в пространстве L^(T) через произвольную ортонормиро-ванную систему базисных функций {^(/)}, для которых

Вместо (2Л9) имеем представление

где С/ - коэффициенты (координаты) разложения в ортонормированном базисе {^(/1}. Представление (2^22) называют обобщённым рядом Фурье^ Для определении коэффициентов С/ найдём скалярное произведение

С учётом (2.21) следует

Таким образом, коэффициенты обобщённого ряда Фурье С; являются проекциями вектора х на ортогональные оси (единичные орты) ^, С учетом (2.21) и (2.22) можно получить^

(2.24) язляется частным случаем равенства Парсеваля (см. ниже). С учётом ор-тонормированного базиса [\\^{1)} легко видеть, что скалярное произведение и норма в пространстве R^ можно находить по формулам (2.11) и (2.12).
Представим теперь приближённо функцию х(!) разложением в усечённый рад по орто-пормиронанным базисным функциям {\\'i{i)}

и определим коэффициенты у; так, чтобы минимизировать среднекнадратическую погрешность (СКП).

Погрешность Е3^) принимает минимальное значение, если у,-= С;, т,с, если коэффициенты разложении II усечённом представлении (2.25) иштяются коэффициентами обобщённого ряда
Фурье. Обозначш! е2}^ =д„, можно написать исходя из (2,26)

Неравенство (2.27) называют неравенством Бесссля, С ростом и величина йп уменьшается. Если при и->'.о СКП стремится к нулю, то систему базисных функций {Тг</)1 называют полной. Имея ввиду, что при и -> я? справедливо (2.24), можно утверждать, что в пространстве Гильберта система базисных функций {'|'/(/)} является полной. Эта система функций является также замкнутой, так как для любой функции x(f) из 1^{Т) неравенство (2,27) переходит при м-ко в равенство.

Спектральное представление периодических колебаний. При формировании и обработке сигналов часто приходится иметь дело с периодическими колебаниями сложной формы. Периодическую функцию х(!) - x(f- пТ) (Т — период повторения) можно представить разложением в обобщённый рад Фурье (2.22) по базисным функциям основной тригонометрической системы

Представление (2.29) называют рядом Фурье. Рад (2.29) можно записать в виде

Согласно формуле (2.31) периодическую функцию x(f) можно представить

суммой гармонических колебании с частотами, кратными основной частоте /I -= 1/Тс амплитудами /4 и начальными фазами фа. Совокупность амплитуд А^ (k = 0, 1,2, ,-.) образует амплитудный спектр сигнала, а совокупность фаз ф;;
(А = 0, 1, 2, ...) — фазовый спектр сигнала. Линейчатый амплитудный спектр периодического сигнала х(!) изображен на рис- 2.4. Ряд Фурье (2.31) часто пред' стааляется в комплексной форме

Следует обратить внимание на то, что сумма в (2-33) охватывает не только положительные значения k, но и отрицательные (появляются "отрицательные частоты").
Для перехода из (2-31) к (2.33) можно воспользоваться формулой Эйлера

Выражение (2.35) можно интерпретировать как представление гармонического сигнала единичной амплитуды с положительной частотой /:(d] в виде суммы двух гармонических колебаний (половинной амплитуды) на положительной частоте а:ш| и отрицательной частоте -kw}. Для вещественных функций x(f), как следует из (2.30) и (2.32), г^= а,^ Ь^= -Ь,^ А^ = А,^ ф^= -<р-^ (амплитудный спектр — чётная функция частоты, 4^зовый - нечётная функция частоты). Как

следствие

Комплексное представление ряда Фурье оказывается очень удобным при выполнении различных расчётов,
Спектральное представление непериодических функции. Разложение в тригонометрический ряд Фурье (2.33) может быть обобщено на случай непериодических функций x(f} путём устремления Т-> со или /i = 1/Г-> 0, Для этого запишем (2,33) так:

где а/—/) - 1/Г — частотный разнос между линиями спектра периодического сигнала.
Введем в рассмотрение текущую частоту спектра Atoi = со (kf\ ^/) и определим спектральную плотность (СП) по Фурье непериодического сигнала:

Тогда из (2.36) при А/-> 0 следует представление

а из (2,34) и (2.37) следует формула для определения СП

Согласно (2.38) непериодическая функция х{1) представляется суммой гармонических компонент е1"" (на положительных и отрицательных частотах) с бесконечно малыми амплитудами s(f)df. Модуль s(f) определяет .сплошной
(непрерывный) спектр непериодического сигнала, a a^S(f)-^(f)= — сплошной (непрерывный) фазовый спектр непериодического сигнала. Спектр по Фурье можно записать в виде

где

Из (2ЛО) видно, что для вещественных функций х(/) амплитудный спектр

является четной функцией частоты, фазовый спектр

Bit} <p(/)=-arctg—)"-( - нечётная функция частоты^ Дискретный (линейчатый)
^Ш спектр амплитуд С\ периодического сигнала х(1) = x(f + пТ) можно найти по
формуле

Пара преобразований Фурье x(i)->s(f} {прямое) и S(f)->x{t} (обратное}
описывается, как видно из (2.38) и (2.39), линейным оператором. Поэтому для этих преобразований справедлив прини,ип суперпозиции {наложения)'. СП для
N
сигнала x(t)=^x^t) определяется суммой СП слагаемых ^(/), Следует под-
i=i
черкнуть, что, строго говоря, СП (2-39) существует для функций х(г), удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости

Тем не менее можно определить СП и для сигналов x(f). не удовлетворяющих условию (2.42), если воспользоваться введенной выше обобщённой 5-функцией, Например, пусть
x^l)=e:lwt/. СП по Фурье такого сигнала ло определению

Скалярное произведение функций x(t) и y(t} (в общем случае комплексных) в пространстве Гильберта L^T) можно выразить и через их СП по Фурье:

Соотношение (2,44) называют обобщённой формулой Рэлея (или соотношением Парсеваля).

41

Если в (2.50) положить y(t) — x(t) и ввести обозначение 5^(т) для функции корреляции (ФК) сигнала x(t) с размерностью энергии, то из (2^50) следует

Вводя обозначение ^(т) =^ (х, х^) для ФК сигнала х(!} с размерностью мощности, получаем соотношение

Таким образом, ФК Дд(т) сигнала x(t) и его СП мощности <?,(/) (аналогично
ФК сигнала ^,(т) и его СП энергии W^{f}) образуют пару преобразований Фуиье.
В качестве иллюстраций в табл. 2.1 приведены примеры спектров некоторых импульсов (непериодических функций) и даны графики их амплитудных спектров в области положительных частот. Из приведенных примеров видно, что импульсы ограниченной длительности теоретически имеют бесконечный спектр- Практически под шириной спектра будем понимать эффективную область частот /з, в пределах которой сконцентрировано 90,„99% энергии. Для колокольного (гауссовского, см. ниже) и экспоненциального импульсов, имеющих теоретически бесконечную длительность, для удобства расчётов также вводят понятие эффективной длительности Тэ. понимая под этим интервал времени, в пределах которого сосредоточена основная доля энергии сигнала. Если принять за основную часть энергии Ј,= уЕ (у^0,9 -- 0,99), то эффективная ширина спектра и эффективная длительность находятся из выражений3)

Для сравнения в табл, 2.2 представлены значения произведений /^Тд при 7 = 0,9 для импульсов из табл, 2.1. Для импульсов с "плавными" фронтами, например гауссовского и косинусоидального, произведение ^т^ оказывается меньше, чем у импульсов со скачкообразными фронтами, например, прямоугольного и экспоненциального. Характерная особенность в том, что для всех импульсов (простых сигналов)2)

т.е, произведение /э^э ~" величина порядка единицы. Соотношение (2-54) указывает на явную связь между шириной спектра и длительностью импульса: чем короче импульс, тем шире его спектр,
Разложение сигналоц с и с пользе пан нем базисных функций Радемахера и Уолша. В последние годы успешно развишются цифровые методы передачи и обработки сигналов на

осноне дискретных ортогональных последовательностей в виде функций Радемдхера, Уолша и др. Функции Радемахера образуются из синусоидальных функций с помощью соотношения
^(6) - sign |sin (2^)], 0 < 6 ^ 1,
где аргумент 9 = S/T — безразмерное время; Т — период функции, а положительное целое число А—О, 1, 2, ... — порядок функции; sign(-() — знак действительного числа х, (sign(^) = +1 при х > 0 и sign(-c) = —1 при х < 0). Иначе говоря, функции Ралсмахера, принимающие значения ±1, можно трактовать как функции "прямоугольного синуса". На рис. 2.5 приведены в качестве примера графики первых четырёх функций Радемахера /^(6) для k = 0, I, 2, 3, Легко
Г           [^ "^ видеть, что функции ^(6) ортонормированны на интервале 0 ^ 9 ^ \   /-(6»^(0»&/0 = \
J                    0, г ? К. о                  -
Дальнейшим развитием систем функций, имеющих форму "прямоугольной волны" является система функций Уолша {\vaf(m, 9)}, Она образуется следующим образом. По определению вводятся функция м7/(0, 9) = 1 при т = 0. Для получения функции wal(m, 6) при т Ј 1 достаточно записать число т в двоичной системе счисления, т.е. представить суммой
т^211' +21l?+..+2J'F , где ц\ < ^ < ,. < ц? — положительные целые числа. При этом функция Уолша ml{m,Q\=r^ ,|(б)^,(б).. .^ ,^е). На рис. 2,6. приведены графики первых восьми функций Уолша wr/(0, Q), waf{\, 6), .., w!(7, 6), построенных по четырём функциям Радемахера.
Функции Уолша не только ортогональны, они обладают и свойством мультипликативности. Это означает, что произведение любых даух функций Уолша также является функцией Уолша: wal{i, Q)wal(k^ 0) = wtii{p^ 9), где р = /Ф k. В связи с возможностью применения к функциям Уолша логических операции, они находят применение при разработке устройств формирования и преобразования сигналов на базе микропроцессорной техники. Сигналы на основе функций Уолша используются в цифровых многоканальных системах передачи информации.
В теории связи, особенно в задачах аппроксимации, находят применение и другие ансамбли ортогональных функций. Среди них функции Лежандра, функции Лагерра, функции Эрмита |9],
2.4- ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ ВО ВРЕМЕНИ
Представление непрерывной функции дискретной последовательностью отсчётов её мгновенных значений. Для точного представления произвольной непрерывной функции x(t) на конечном интервале времени Г необходимо располагать данными о мгновенных значениях (отсчётах) этой функции во всех

точках интервала, т.е. непрерывным множеством отсчетов, отстоящих друг от друга на бесконечно малые интервалы. Некоторое приближённое представление о функции х(/) можно составить по ее отображению в виде дискретной последовательности импульсов, имеющих на интервалах Д значения х(й), называемых отсчётами (рис.2.3).
Операция замены непрерывной функции последовательностью отсчётов её мгновенных значений называется дискретизацией. В качестве простейшей физической модели дискретизации рассмотрим коммутационное устройство (рис. 2,7, а). С помощью ключа Кл обеспечивается периодическое с частотой дискретизации ./д = 1/Д подключение к источнику непрерывного сигнала x(t) (рис, 2.7, б) на время т, т.е. производится замена непрерывной функции x(l} последовательностью Хд(г) на интервалах т (рис. 2,7, в). Последовательность отсчётов Хд(0 можно трактовать как произведение х(!} на периодическую последовательность импульсов дискретизации/д(0 (рис. 2.8);

Множитель 1/т нор-
где импульсы дискретизации

мирует функцию ^(г) к единичной площади. Для этого в схеме рис. 2.7, а после ключа Кл введено масштабное звено. Чтобы перейти к отсчётам мгновенных значений х(!) в точках / = kA, необходимо рассмотреть особенности пе-

Спектральная трактовка дискретизации. Как было показано, процедура дискретизации сводится к образованию произведения дискрстизируемой функции x(t) на последовательность импульсов дискретизации fa(t). В спектральной области произведению функций времени соответствует свёртка их спектров (см- подробнее гл. 10), Пусть спектр вид, представленный на рис. 2.9, о, где Гц — верхняя р и од и ческой последовательности импульсов дискрстиза-
функиии x(f) финитен и имеет (граничная) частота. Спектр пе
риодической функции fn(f) при т -> 0. Нетрудно видеть, что при т -> 0 эта периодическая функция заменяется        решётчатой        функцией

нии является линейчатым (рис.2.9, и);
частота дискретизации определяется интервалом дискретизации F^= 1/й"', Спектры дискрстизиронанного сигнала представлены  для   случаев,   когда ^ = 2/в (рис.2,9, б), ^ > 2/-В (рис.2.9. ?) и Fn < 2^1, (рис,2,9, и). Для неискажённого воспроизведения функции x(l) по последовательности отсчетов посредством идеального фильтра низких частот необходимо выбирать частоту дискретизации так, чтобы спектральные компоненты свёртки ^,(/) с каждой из
дискретных составляющих периодической функции pF^ (p=Q, ±1, ±2, „,) располагались в непсрекры кающихся областях (рис. 2.9), Этому соответствуют значения Р^>1Рц. При Гц < 2Рц спектральные области перекрываются, в полосу частот (-Гц, Гц} дискретизирус-мого сигнала попадут спектральные компоненты смежных областей и возникнут искажения при вое стано плен ии функции по отсчётам. Далее будет показано, что для точного воспроизведения непрерывной функции с ограниченным (финитным) спектром достаточно располагать   значениями   функции (отсчётами) лишь в отдельных точках. Модели сигналов с ограниченным спектром часто используются и технике связи- В частности, в стандартном телефонном канале эа верхнюю граничную частоту принимают /^ = 3400 Гц,

при телевизионной передаче граничная частота определяется числом различимых элементов изображения и равна Гц = 6,5 МГц,
Теорема отсчётов. Фундаментальное значение для решения многих задач теории передачи сигналов имеет следующая теорема отсчётов2* Котельникова;
непрерывная функция х{!), не содержащая частот выше граничной /^ полностью определяется отсчётами мгновенных значений х(Щ в точках, отстоящих друг от друга на интервалы Д < 1/2/^- Интервал А называется интервалом Котельникова3). Эта теорема позволяет представить непрерывную функцию x(f) в виде ряда

" Спектр периодической последовательности /p(Q можно рассматривать как совокупность
лоднесущих, разнесённых на интервалы, кратные /д-
2) В иностранной литературе эту теорему свя-1Ывают с именами Найквиста и Шеннона.
д) В зарубежной литературе - интервалом Найквиста.

Из сопоставления ряда (2-55) с общим видом обобщённого ряда Фурье в пространстве Гильберта следует, что элементарными базисными функциями в разложении Котельникова являются отсчётньте функции11

Для коэффициентов разложения х{!) по элементарным функциям (2.56) в соответствии с (217) можем записать

гдс постоянная а вводится с учётом нормировки функций (2.56). Докажем, что коэффициенты Сд соответствуют мгновенным значениям функции x(f) в точках S = ад, Пусть 5(/) - преобразование Фурье функции x(f), тогда

Если x(f) имеет ограниченный спектр с наивысшей частотой Fs, то S(/) вне полосы ±F^ рав-

Сравнение (2.60) с (2.57) при а ^V^n/n показывает, что коэффициентами обобщённого ряда Фурье Гд разложения (2Л6) по ортогональным функциям (2,56) являются отсчёты х{/(7У^
мгновенных значений функции x{f) а моменты / = Ай. а
Восстановление непрерывной функции по отсчётам. Процедура восстановления непрерывной функции x(t) по отсчётам её мгновенных значений ^(М) вытекает непосредственно из (2.55); нужно перемножить значения отсчётов х(/сА) на соответствующие отсчётные функции (2,56) и просуммировать полученные произведения. Эти операции иллюстрирует рис, 2.10. Спектральная трактовка процесса восстановления x(Ј) следует из рис, 2-9.
11 Ортогональность функций (2.56) следует из соотношения

47

Для полного восстановления необходимо просуммировать бесконечное множество членов ряда (2.55), Однако если функция с ограниченным спектром х(?) рассматривается на конечном интервале Т (рис. 2.10, о), то точное разложение (2.55) можно заменить следующим приближённым разложением;

Параметр В - 2/дГ, играющий важную роль в ТЭС, называют базой сигнала, Очевидно, что погрешность представления сигнала при ограничении числа его отсчётов будет тем больше, чем меньшее число слагаемых учитывается при суммировании.
Оценим качественно погрешность \v.(f)\ ^ \x(f) - x,.(t)\. Поскольку все слагаемые ряда (2.55) обращаются при / = /Д в нуль ио всех точках^ за исключением слагаемого с номером k == /, то в этих сечениях значения x^(tf совпадают с x(f), т.е. погрешность е(м) равна нулю, погрешность достигнет наибольшей величины инугри промежутка между отсчётами. Кроме того, величина погрешности нарастает к краям рассматриваемого интервала.
Друпш причина погрешностей обусловлена тем, что спектры реальных финитных сигналов не обращаются в нуль за пределами граничной частоты. Хотя основная энергия сигналов расположена на частотах от нуля до Гц, некоторая часть приходится на частоты выше граничной. Относительная срсднеквЕЩратическая погрешность определяется соотношением

где Е - полная энергия сигнала х(!), а ^Е - та часть энергии, которая оказывается за пределами полосы частот [0, /ц] и не учитывается при восстановлении сигнала. Таким образом, при заданной погрешности (2,62) можно определить необходимую граничную частоту F^, a следовательно, и интервалы между отсчетами и - 1/2/в- Детальное исследование показывает, что погрешности за счет неучитываемой части спектра сигнала будут тем больше, чем медленнее убывает спектр :ia пределами граничной частоты,
Третьей причинен погрешностей являются исидеальные характеристики фильтра, формирующего отсчётные функции. Колебания, имеющие форму отсчстной функции вида (2.56), можно получить на выходе идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) с граничной частотой Гц при действии на его входе дельта-им пульс а 5(/), АЧХ идеального ФНЧ равномерна (рис. 2.11)

Импульсная характеристика g(f) фильтра определяется обратным преобразованием Фурье

Jt При достаточно больших значениях задержки т характеристика (2.63) может быть реализована (см. гл. 4).
48

Характеристики реальных фильтров K(f) и qi(/) отличаются от идеальных
(пунктирные кривые 2 на рис. 2-11), что приводит к отклонению реальной функции отсчётов от идеальной (кривая 2 на рис, 2,12) и, как следствие, к появлению дополнительных погрешностей восстановления функции х(!) по отсчетам.
2.5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Понятие случайного процесса* В основе большинства методов исследования общей теории связи лежит представление о процессе передачи сообщения как некоторого случайного процесса, развивающегося (чаще всего) во времени, Словом случайный подчеркивается то обстоятельство, что предопределить заранее точное протекание процесса невозможно- Типичным примером случайного процесса может служить напряжение Z(l) ^ s(t) + /V(0 на входе приёмника. Наблюдая напряжение в данный момент, мы не можем с полной определённостью предсказать, каково будет его значение в последующие моменты времени. Это объясняется тем, что параметры формируемого передатчиком канального сигнала s(t) (амплитуда, частота, фаза) изменяются случайным образом в соответствии с передаваемым сообщением a(t}. Кроме того, в процессе передачи сигнал подвергается воздействию различных аддитивных помех /V(/), имеющих
49

случайный характер, например в виде электрических разрядов в атмосфере, помех от электрического транспорта, помех от других радиостанций и т.д.
Случайность процесса X(t) проявляется в том, что вид наблюдаемой функции случайным образом меняется от одного наблюдения к другому. Однако получаемая в результате каждого отдельного опыта функция х(!} не случайна. Ее называют реализацией случайно!/ функции. Совокупность всех возможных
реализации {^(г)} и образует случайный процесс (или случайную функцию)
X(i}= {^(t)}- Для непрерывного случайного процесса число реализации образует несчётное множество,
На рис-2,13 показаны четыре реализации случайного процесса. Наличие случайности результатов многократных наблюдений одного и того же процесса не означает, что в этом процессе нет никаких закономерностей. Оказывается, что средние результаты, найденные по большому числу наблюдений, устойчивы. Иными словами, случайные явления и процессы подчиняются определённым статистическим закономерностям.
Если на графике множества реализации случайной функции X(t} (рис.2.13)
выбрать момент (сечение) Г|, то множество {^^i)j значений реализации в
этот момент образует случайную величину X. Значения этой случайной величины заранее неизвестны. Но можно установить некоторые закономерности, по которым можно судить о том, что в данном сечении случайная величина с вероятностью Р будет принимать значение в определённых пределах \х, х + Лх|,
Плотность вероятности и интегральная функция распределения (ИФР). Для непрерывных процессов X(t) распределение вероятностей в заданном сечении 1\ характеризуется одномерной плотностью вероятностей (ПВ)

выражающей отношение вероятности того, что случайная величина Х{!) примет значения в интервале х < Х и -v ^ й^:, к величине интервала Ах. На рис. 2Л4, а изображён типовой график одномерной ПВ.
Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (х\; х^) определяется выражением

50

Интеграл в бесконечных пределах от функции wi.x) р^вен единице 1 (условие нормировки для достоверного события)

Другой важной характеристикой случайных величин Х является ИФР Г(х), определяемая как вероятность того, что случайная величина Х не превзойдет некоторого значения х:

График ИФР Л,х) приведён на рис. 2-14, б.
В прикладных .задачах часто предполагают, что ИФР являются дифференцируемыми функциями и определяют w(x) как производную от ИФР'

Для более полного описания случайного процесса нужно располагать его л-мерной плотностью вероятности \v(x^ х^_, ...^ х^; ;ь h, ..., ;,/) или //-мерной ИФР Дл|, х^ ..., ^; ;э, ^ „., Q, выражающих свойства случайного процесса в произвольных сечениях l\, h, .„, !^. В общем случае ^-мерная ПВ определяется аналогично ИМ} как

Для полного описания непрерывного во времени СП приходится п -> o-l Подобно тому, как при одномерном распределении вероятность того, что СВ попадает ц заданный интервал на оси, равна плошади под кривой 1«<л), ограниченной указанным интервалом (рис.2.14,а), при двумерной ПВ вероятность того, что СВ попадает в заданную область S плоскости, равна

Нахождение л-мерной ПВ, равно как и п-мсрной ИФР — трудная задача, которую удается решить далеко не всегда
Числовые характеристики. На практике часто ограничиваются рассмотрением хотя и менее полных, но зато более простых характеристик случайных величин (процессов), называемых числовыми характеристиками или моментами. Числовой характеристикой случайной величины может служить момент k-го порядка, определяемый как

В частности, момент первого порядка, называемый математическим ожиданием (МО) СВ определяет среднее значение случайной величины

где черта сверху означает усреднение по множеству реализации. Аналогично вводится момент второго порядка

о
Разность между случайной величиной Х и её МО Х-Х=Х представляет собой отклонение СВ от среднего значения. Она называется центрированным значением СВ- МО квадрата этого отклонения называется дисперсией или иен-тиальным моментом второго порядка

Величину ст= ^id(x} называют стандартным или среднеквадратическим отклонением. С учетом (2.65) и (2.66) выражение (2,67) приводится к результату

Дисперсия характеризует разброс случайной величины относительно ее среднего значения. МО т\ и дисперсия ст2 являются важными характеристиками случайной величины, однако они не дают достаточного представления о изменчивости случайного процесса во времени. При совместном изучении центрированные случайных величин Х\=х{{^ и Xz^x{t^} сечений ;i и ^ центриро-
« ванного случайного процесса X{t}= X(l) -/к,(/) вводится понятие смешанного
момента второго порядка, называемого функцией корреляции (ФК):

где ЩХ[, х^; /ь ^) ~~ двумерная плотность вероятности. Функция корреляции характеризует степень статистической взаимосвязи значений Х\ и Х^ случайного процесса Х(Г) в моменты /| и h, разделённые интервалом i—^-^i (CM-рис. 2.15). Убывание ФК с увеличением т свидетельствует об ослаблении связи между мгновенными значениями процесса. Если ФК при каких-либо значениях т имеет отрицательное значение, это свидетельствует о том, что положительным отклонениям процесса в одном сечении соответствуют преимущественно отрицательные отклонения в другом сечении и наоборот. Если случайные величины Х\ и Х-^ статистически независимы, то их двумерные ПВ определяется произведением одномерных ПВ: w(x], х^; t\, !^) = w(X]; ?])w(x^; h}, ФК между двумя такими сечениями, как следует из (2.68), равна нулю^.
Нормальное (гяуссовское) распределение. В качестве примеров рассмотрим некоторые ти-лоиые ПВ и ИФР непрерывных случайных величин. Многие случайные величины, с которыми приходится встречаться в задачах практики, описываются так называемым двухпараметр и-чсскнм нормальным или шуссовским распределением (рис. 2Л6), для которого плотность

1) Математическое ожидание центрированной СВ всегда равно нулю. 52

вероятности представляется формулой

Как следует из (2.69), гауссовское распределение полностью определяется двумя параметрами т^ и сз^ Непосредственным вычислением интегралов легко убедиться в том, что эти параметры имеют смысл соответственно МО и дисперсии:

График ПВ iifc г) нормально распределённой случайной величины симметричен относительно ординаты в точке х =^ т\. Нормальный закон распределения имеет место практически но всех случаях, когда случайная величина образуется в результате суммирования очень большого числа случайных величин одного порядка малости (см. § 4,7). Если /щ = 0, то плот-

рис. 2Л6 следует, что наиболее вероятным значением гауссовской случайной величины ^является её МО.
Преобразованием s/ = {х - т\)/а нормальное распределение с произвольными параметрами т\ и сг приводится к стандартной нормальной плотности вероятности с параметрами
щ ~ 0, сг =- 1

В частности, вероятность того, что случайная величина Х превысит некоторый пороговый уровень а-пор, можно определить, положив в (2,71) jc? - вд и х\ =^ Лпор:

Равномерное распределение. Наиболее простым является равномерное распределение (рис, 2.17), для которого плотность вероятности постоянна для данного интервала (х\, х^) и равна нулю за его пределами, т.е.

Если, например, измерение какой-либо величины производится с точностью до целого числа делений шкалы измерительного прибора, так что ошибки, превосходящие по абсолютному значению половину деления (или половину шага квантования в приборах с цифровым
53

отсчётом), практически невозможны, то ошибка измерений & представляет собой равномерно распределенную СВ. Возможными значениями е являются в этом смысле действительные числа, не превосходящие по абсолютной величине половину деления шкалы.
Распределение вероятностен мгновенных значений гармонического колебания. Пусть

где амплитуда Ац и частота юц известны, а фаза Ф — случайна и принимает с равной вероятности i^(tp) = 1/2п любые значения в интервале (-те; +тс). Набор реализации процесса (2.72) дан
на рис, 2^й, а\ а на рис. 2Л8, б изображён график ПВ процесса (2.72). Аналитическое выражение этой плотности имеет вид

Наибольшую плотность, стремящуюся к бесконечности, имеет мгновенное значение U, равное по величине амплитудному А^. Среднее значение U = w^ = 0, дисперсия ст^ ^ А^/2. Справедливость формулы (2.73) доказывается путём вычисления плотности вероятности СВ У, связанной с другой случайной величиной Х функциональной зависимостью у=Ау]- Если эта

тервалс (о^ - я' uW + те) с той же плотностью. Для каждой отдельной реализации у ^ cos x следует х = arccos у. Последняя зависимость (на основном интервале периодичности х от -тг до +п) дана на рис. 2.19- Из рисунка видно, что каждому у соответствуют два значения х.

Распределения вероятностей дискретных случайных величин. Пусть некоторая случайная величина Х может принимать одно из т возможных значений {xq, ^ ..,, х/^ ..., х^}; i - порядковый номер соответствующего дискретного значения. Обозначим через Р(Х'= х,) = P(xi) вероятность того, что случайная величина Х примет конкретное значение х,- Пример закона
54

распределения этой случайной неличины показан в виде графика на рис. 2.20, а. Сумма вероятностей всех возможных значений СВ всегда равна единице, поскольку совокупность событий {х,} образует полную группу- Выберем на оси абсцисс рис. 2-20, а некоторую произвольную точку х, которую будем рассматривать как независимую переменную. Одномерная ИФР случайной величины -У

для дискретного распределения дана на рис.2,20,6, \(х - х,) - единичная функция, начинающаяся в точке х,. Суммирование в (2.75) проводится по всем х, < х. Таким образом, ИФР дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид со скачками в точках возможных значений случайной величины- Если использовать 5-функцию, то можно определить ПВ для дискретного распределения.

Распределение Пуассона. В ряде телекоммуникационных задач мы встречаемся со случайным точечным процессом (потоком), который представляет собой последовательность точек, расположенных случайным образом, например, на оси времени. Такие точки могут соответствовать различным событиям, например моментам времени поступления заявок на обслуживание, моментам времени наступления отказов в какой-либо системе и др. С точечным случайным потоком мы встречаемся и в задаче распределения вызовов на телефонной стан

ции в течение суток (рис, 2,21). Общее число вызовов в течение суток — величина случайная Для каждого временного интервала Т путем наблюдений можно установить среднее число вызовов vT (математическое ожидание). Коэффициент пропорциональности v характеризует интенсивность вызовов (среднее число вызовов в единицу времени). Вероятность появления k вызовов Р^(Т) на интервале (0, Т) чаще иссго определяется формулой Пуассона

Из (2.76) видно^ что вероятность появления на этом интервале 0 вызовов (вероятность отсутствия вызовов)

Докажем эти формулы. Разобьём единичный интервал времени (например, 1 секунду) на N~= 1/Д Т подынтервалов величины ДТи будем считать, что в пределах малого интервала ДГс определенной вероятностью Р^г появляется лишь один вызов (вероятность появления более одного вызова пренебрежимо мала), а вызовы на отдельных интервалах Л Г появляются
55

Пусть /VO -- это вероятность не иметь вызовов на интервале (0, 7). Тогда вероятность flitT-Ь Л7) не иметь вызовов на интервале (0, Г+ Д7) равна вероятности совместного события: нет вызовов на интервале (0; 7) и нет вьионон н-л интерни-пе (7, Т+ Л Т):

Начальное условие /^(0) = 1- Решение уравнения (2^79) приводит к (2.'!7). Аналогичными рассуждениями найдём вероятность получения А'Ј 1 вызовов на интервале (0, Т). Пусть Р^{Т) -вероятность появления k вызовов на интервале (0> Т), Тогда вероятность получения k вызовов

с начальным условием /^i(0)=0- Выражение (276) и является решением уравнения (2,НО), На
рис. 3.33 дина з^нисимость /\(7) от k при з;шанном параметре v.
Экспоненциальное распределение. О к;пы ищется, что для случайных точечных процессов с пуаесоновсклм распределением (3-7G) «сличина t. прсдстацляющая собой интервал между вызовами (рис,2.21), описывается экспоненциальным распределением с ПВ (рис, 2,23, а):

;\ ИФР при этом имеет вид (рис, 2.23, б)

С помощью формул (2.К1) и (2^2) можно няити, например, вероятность того, что интерв.ц] между соседними вызовами окажется .равным или меньше некоторого значения т^. Аналогичные формулы используются при определении ПВ интср1^1ла между двумя отказами (нсиспрЕшностнми) в работе аппаратуры. Обширные сведения об ИФР н ПВ можно найти в литературе по статистической радиотехнике, например в [1Й, 22|,
Стационарные случайные процессы» Случайные процессы можно разделить на стационарные и нестационарные. Стационарным случайным процессом в строгом смысле называется такой случайный процесс, для которого ПВ (или ИФР) любого порядка не зависит от сдвига процесса во времени на произвольную величину т. Это означает, что для любых /гит справедливо равенство

56

Отсюда следует, что все одномерные плотности вероятности должны быть идентичными, т.е, не должны зависеть от времени

Все двумерные плотности вероятности могут зависеть только от интервала

и не зависят от положения этого интервала во времени.
В дальнейшем будут рассматриваться только стационарные в широком смысле случайные процессы, свойства которых описываются только одномерной плотностью вероятности, удовлетворяющей условию (2.83) и двумерной плотностью вероятности, удовлетворяющей условию f2.84). Соответственно для СП, стационарного в широком смысле параметры т\ и ст2 на зависят от времени, а ФК зависит только от т. Из определения стационарности в широком смысле СП следует, что его ФК - чётная функции от т; 5(т) ^ ^(-т),

(2,85). Теория, охватывающая случайные процессы, стационарные в широком смысле, называется корреляционной. Очевидно, что процессы, стационарные в узком смысле, стационарны и в широком, но не наоборот,
Эргоднческие процессы. Стационарные в широком смысле процессы в большинстве практически важных ситуаций обладают так называемым эргоди-чсским свойством; усреднение по множеству реализации случайного процесса Л'(/) даёт примерно тот же результат, что и усреднение по времени одной реализации х{1), если время усреднения Гдостаточно велико. Достаточное условие (условие Слуцкого) эргодичности стационарного (в широком смысле) случайного процесса можно записать в виде

Математическое ожидание для эргодического СП можно определить путем усреднения во времени (обозначается волнистой чертой) единственной реализации x<t}:

Следовательно, для эргодического процесса нахождение MU сводится к простому интегрированию. Среднее значение квадрата центрированного эргодического СП можно найти так:

57

Эта величина есть не что иное, как средняя мощность переменной составляющей процесса x^{/)=x(f)-x (если х имеет размерность тока или напряжения),
В данном случае операция определения ст3 сводится к обычным операциям возведения в квадрат переменной составляющей процесса и интегрирования-Функцию корреляции эргодического СП также можно получить усреднением во времени:

Ясно, что a2- B(Q). Схема измерения функции корреляции согласно алгоритму (2.86) изображена на рис, 2.24, а графики типовых ФК - на рис. 2.25 (1 -корреляционные связи медленно убывают, 2 — корреляционные связи быстро убывают). Определим нормированную функцию корреляции

Определение интервала корреляции согласно f2.S7) называют методом равновеликого прямоугольника;
интервал корреляции равен основанию прямоугольника с высотой, равной 1, площадь которого равна площади под кривой |/?(т)| при т ^ 0 (см. рис, 2.26).
Пусть случайный процесс !(,!} образуется суммированием двух стационарных центрированных зрго-дических вещественных СП Z(t) - X(i) + Y(f), КФ процесса 2(t) определяется соотношением

взаимно-корреляционная функция (5ц.(т) = А^(т)). Случайные процессы Х(1} и Y(l} называют коррелированными при заданном т, если их взаимная корреля-
58

иионная функция В^т.) отлична от нуля. Если В^у{т) = 0, процессы X(f) и У(/) считаются некоррелированными при данном т,
Спектральная плотность мощности случайного процесса. Для описания случайных процессов наряду с корреляционными функциями Д(т) широко используются спектральные характеристики, в частности спектральная плотность
мощности <?(/)- Между В(т.) и с(/) существует пара преобразований Фурье,
аналогичных (2.52) и (2.53). Для случайных стационарных процессов эти соотношения строго установлены А.Я. Хинчиным и Н. Винером.
Поясним фнзичсскип смысл спектрально и плотности мощности 0'(/) для случайного процесса X{t). Рассмотрим функцию л- (0, совпадающую на интервале (-772, Т/2) с реализацией случайного процесса -^(/l, заданной, нообше говоря, в бесконечных пределах. Определим среднюю мощность сигнала х it) при Т-> ся с учетом (2.47):

Предел функции под интегралом [1.Щ \\ определяет СПМ - спектральную плотность мощности СП G(/) = lim ^(/). Строго говоря, прпнедсииос определение СПМ случайного про-
J-iy
цесса сп|Х1ведли|ю лишь для эргодичсских процессов, поскольку оно характеризует распределение мощности по частоте единстиснной реализации д-(/). Для определении СПМ для совокупности реализации {^''(/ii следонцло бы провести усреднение по ансамблю возможных
значений С^(/),т-с. .^{CM/lS'
Дисперсию (среднюю мощность) СП можно найти путём интегрирования C(f) по частоте

где G^f) - СПМ, определённая на положительных частотах- Методом равновеликого прямоугольника (или по иному критерию) можно найти не только интервал корреляции СП ("ширину" Д(т)), но и эффективную ширину его спектра /^ ("ширину" G„(f))- Произведение этих параметров удовлетворяет условию т,„,/-',-А\ где К^ константа, имеющая порядок единицы. Здесь просматривается аналогия с табл. 2.2, иллюстрирующей соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра.
Имеются случанные процессы, у которых паримст|>ы г^, и /^ принимают крайние значения (0 или со). Гармонически и сигнал со случайной раиномсрло распределенной фазой (2.72) является примером такого стационарного эргодичсского СП- Его ФК

59